Tipo di esercizi
Completamento chiuso,
Vero o falso
Libro
Lineamenti di matematica.azzurro triennio (2ª ed.) / Volume 3
Capitolo
Retta tangente. Derivabilità
INFO

Matematica

Retta tangente
Trova l'equazione della retta tangente alla funzione f(x)=(3x1)2 nel suo punto di ascissa 1.

________
Completamento chiusoCompletamento chiuso
1

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Matematica

Retta tangente
Scrivi l'equazione della tangente t alla curva di equazione y=2x3+4x nel punto A di ascissa 1 e verifica che esiste un'altra retta tangente alla curva parallela a t.

Determiniamo l'ordinata di A sostituendo x=1 nell'equazione della funzione, quindi A(1;________).
Troviamo il coefficiente angolare della tangente, cioé la derivata in xA.
Calcoliamo la derivata e troviamo il suo valore in x=1:
f(x)=6x2+4  f(1)=________.
L'equazione della retta t tangente alla funzione nel punto A è:
y2=________(x1)  
y=2x+4.
Detta s l'altra eventuale tangente, si ha ms=mt=2. Poniamo ________=ms:
6x2+4=________  x2=1  x=±1.
Quindi s è tangente alla curva nel punto di ascissa x=________.
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Matematica

Trova per quale valore di k la curva di equazione y=2x3+kx23 ha nel punto di ascissa 1 come tangente la retta di coefficiente angolare 2.

Posto f(x)=2x3+kx23, troviamo il valore di k imponendo la condizione di tangenza: f(1)=2.
Calcoliamo la derivata prima:
f(x)=________.
Imponiamo la condizione di tangenza:
________k=2.
Pertanto la funzione ha equazione:
y=2x3________3.
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Matematica

Retta normale
Scrivi l'equazione della retta normale al grafico di y=13x3 nel suo punto di ascissa 1.

Posto f(x)=13x3, determiniamo il valore di f(x) in x=1: f(1)=13.
Quindi il punto di tangenza è P(1;13).
Calcoliamo la derivata di f(x) e il suo valore in ________:
f(x)=________  f(1)=1.
Il coefficiente angolare della retta normale è m=________, quindi la retta ha equazione:
y+13=________(x1)  y=x43.
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Matematica

Studiare la derivabilità
Studia la derivabilità della seguente funzione.
y=(2x)5

La funzione ha come dominio ________ ed è anche continua su tutto il suo dominio.
Calcoliamo la derivata: f(x)=________.
f(x) è definita in R, quindi f(x) è derivabile ________.
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Matematica

Studiare la derivabilità
Studia la derivabilità della seguente funzione.
y={6x+1se x<13x22se x1

La funzione ha come dominio R. Inoltre, è continua e derivabile in ________.
Studiamo la continuità in x=1:
limx1(6x+1)=5 e limx1+(3x22)=________,
quindi la funzione è continua in x=1.
Calcoliamo la derivata:
f(x)={6se x<16xse x>1.
Calcoliamo le derivate sinistra e destra in x=1 applicando il criterio di derivabilità e confrontiamo i valori:
f(1)=limx16=6 e f+(1)=limx1+6x=________.
Poiché f(1)________f+(1), f(x) è derivabile in x=1.
Concludiamo che f(x) è derivabile in ________.
Completamento chiusoCompletamento chiuso
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Matematica

Punti di non derivabilità
La funzione rappresentata dal grafico in figura ha:
A: un punto angoloso in x=7.
B: f(2)= e f+(2)=+.
C: una cuspide in x=3.
D: f(5)=+.
Vero o falsoVero o falso
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Matematica

Classificare i punti di non derivabilità
Data la funzione y={2x2x1se x13x3se x>1, determina gli eventuali punti di non derivabilità deducendoli dal grafico e con i calcoli.

La funzione ha come dominio R. Inoltre è continua e derivabile in ________.
Studiamo la continuità in x=1:
limx1(2x2x1)=________ e limx1+(3x3)=0,
quindi la funzione è continua in x=1.
Calcoliamo la derivata:
f(x)={4x1se x<13se x>1.
Calcoliamo le derivate sinistra e destra in x=1 applicando il criterio di derivabilità e confrontiamo i valori:
f(1)=________=3,
f+(1)=limx1+3=3.
Poiché f(1)________f+(1), f(x) è derivabile in x=1.
Concludiamo che f(x) è derivabile in ________.
Completamento chiusoCompletamento chiuso
1

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Matematica

Applicazioni delle derivate alla fisica
Un corpo si muove in linea retta seguendo la legge oraria s(t)=4t2+t+1. Determina la velocità e l'accelerazione del corpo al variare del tempo e trova in quale istante la velocità è 17 m/s.

La velocità è la derivata della posizione rispetto al tempo:
v(t)=s(t)=________+1.
L'accelerazione è la derivata della velocità rispetto al tempo:
a(t)=v(t)=________.
Per determinare l'istante richiesto imponiamo v(t)=17:
________+1=17  t=________.
Quindi la velocità è 17 m/s quando
t=________ s.
Completamento chiusoCompletamento chiuso
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