Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica.blu biennio (3ª edizione) Matematica.blu biennio (3ª edizione) / Volume 1 Fai il punto sulle competenze - Le grandezze commensurabili e incommensurabili, le proporzioni fra grandezze

FIP01bbtbluG7 - Le grandezze commensurabili e incommensurabili, le proporzioni fra grandezze

9 esercizi

SVOLGI

Filtri

Matematica

Due angoli supplementari sono tali che il doppio del minore supera il maggiore di

15^{\circ}

. Calcola l'ampiezza dei due angoli.

Chiamiamo

α

β

i due angoli, con

α < β

.
Sappiamo che

α = 180^{\circ}

________

β

.
Inoltre,

2 α

=

β

________

15^{\circ}

, possiamo scrivere:

2 (180^{\circ}

________

β) = β

________

15^{\circ}

\to

________

=

________

\to

β =

________.
Quindi

α = 65^{\circ}

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Matematica

Date le relazioni

A B = \frac{4}{5} C D + \frac{2}{3} E F

\frac{3}{2} C D = \frac{1}{4} E F

, calcola la misura di

A B

rispetto a

C D

.

Riscriviamo

\frac{3}{2} C D = \frac{1}{4} E F

\to

E F =

________

C D

.
Quindi:

A B = \frac{4}{5} C D + \frac{2}{3} E F \to

A B = \frac{4}{5} C D +

________

C D

\to

A B =

________

C D

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Matematica

Una ruota avente il diametro di

5

cm è connessa a un'altra ruota tramite una cinghia di trasmissione. La prima ruota a

1000

giri al minuto. Che diametro dovrà avere la seconda ruota per ruotare a

200

giri al minuto?

20

25

27

50

E: Dipende dalla distanza fra gli assi delle ruote.

Scelta multipla

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Matematica

Disegna un triangolo

A B C

e la circonferenza in esso inscritta. Dimostra che, congiungendo il centro della circonferenza con

A

B

C

, si ottengono tre triangoli le cui aree sono proporzionali ai lati

A B C

.

Disegniamo la figura e scriviamo ipotesi e tesi.

Ipotesi

C

circonferenza inscritta.
Tesi

A_{A O B} = k_{1} A B

;

A_{A O C} = k_{2} A C

;

A_{B O C} = k_{3} B C

.

Dimostrazione
In tutti e tre i triangoli il raggio della circonferenza inscritta è ________ relativa al lato.
Troviamo quindi le tre aree:

A_{A O B} =

________;

A_{A O C} =

________;

A_{B O C} =

________.
Consideriamo quindi

\frac{r}{2}

come parametro di proporzionalità e abbiamo:

A_{A O B} =

\frac{r}{2}

________;

A_{A O C} =

\frac{r}{2}

________;

A_{B O C} =

\frac{r}{2}

________.

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Matematica

Vero o falso?

A: Condizione necessaria affinché due grandezze siano incommensurabili è che siano omogenee.

B: La lunghezza del lato di un esagono regolare e del relativo apotema sono grandezze incommensurabili.

C: Se due classi di grandezze omogenee sono contigue, allora ogni grandezza della prima classe è minore di ogni grandezza della seconda.

D: La misura della somma di due grandezze è minore della somma delle loro misure.

Vero o falso

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Matematica

In un trapezio rettangolo la differenza tra le basi è congruente ai

\frac{12}{5}

dell'altezza. Dimostra che il lato obliquo è commensurabile con l'altezza.

Disegniamo la figura e scriviamo ipotesi e tesi.

Ipotesi

A B C D

è trapezio rettangolo;

B H ≅ \frac{12}{5} C H

.
Tesi

B C

C H

sono commensurabili.

Dimostrazione
Sia

U

il segmento per cui vale che

C H ≅

________ e

B H ≅

________.
Nel quadrato di lato ________ ci sono

25

quadrati di lato

U

.
Nel quadrato di lato ________ ci sono

144

quadrati di lato

U

.
Nel quadrato di lato ________ ci sono

25 + 144 = 169

quadrati di lato

U

per il teorema di Pitagora.
Quindi

B C ≅

________

U

.
Poiché

U

è sottomultiplo di

B C

e di

C H

, possiamo concludere che il lato obliquo è ________ con l'altezza.

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Matematica

Dimostra che i raggi della circonferenza inscritta e di quella circoscritta a un quadrato sono incommensurabili.

Disegniamo la figura e scriviamo ipotesi e tesi.

Ipotesi

A B C D

quadrato;

O H

raggio inscritto;

O A

raggio circoscritto.
Tesi

O H

O A

incommensurabili.

Dimostrazione
Innanzitutto sappiamo che

A H ≅ O H

perché entrambi congruenti ________ del quadrato.
Ragionamo quindi per assurdo.
Se i due raggi fossero commensurabili, esisterebbe un ________ comune

U

tale che:

A H ≅

________

≅

m U

e ________

≅

n U

con

m

n \in N

.
Nel triangolo rettangolo

A O H

i quadrati di lato

A H

O H

hanno ________ quadrati di lato

U

ciascuno mentre il quadrato di lato

O A

ne ha ________.
Quindi ________

= n^{2}

per il teorema di Pitagora.
Nel membro a sinistra il fattore

2

è presente un numero ________ di volte mentre lo è un numero ________ di volte nel membro a destra.
Abbiamo così raggiunto un assurdo, quindi i due raggi sono incommensurabili.

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Matematica

Il perimetro di un triangolo isoscele è

64

cm. Il rapporto fra il lato obliquo e metà base è

\frac{5}{3}

. Determina la lunghezza della base e del lato.

Sia

U

il sottomultiplo comune per cui il lato obliquo è

A C ≅

________ e metà della base è

A H ≅

________.
Quindi la base è

A B ≅

________ e il perimetro è ________.
Troviamo quanto è lungo

U

64 :

________

=

________ cm.
Quindi la lunghezza della base

A B

è ________ cm e il lato obliquo è ________ cm.

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Matematica

A

B

C

D

E

F

G

sono grandezze omogenee (

F

D

B

G

non nulle). Nell'ipotesi che

A : F = G : D

F : B = C : G

, dimostra che

A : B = C : D

.

Dalle proporzioni tra le grandezze passiamo alle proporzioni tra le misure:

\bar{A} : \bar{F} = \bar{G} : \bar{D}

\bar{F} : \bar{B} = \bar{C} : \bar{G}

.
Sappiamo che ________ fra i medi proporzionali è uguale ________ fra gli estremi, cioè:

\bar{A} \cdot

________

= \bar{F} \cdot

________ e

\bar{F} \cdot \bar{G} = \bar{B} \cdot \bar{C}

.
Quindi

\bar{A} \cdot \bar{D} = \bar{B} \cdot \bar{C}

per la transitività dell'uguaglianza e cioè

\bar{A} :

________

=

________

: \bar{D}

.
Infine, dalla proporzione tra le ________ possiamo concludere la proporzione tra le ________ quindi

A : B = C : D

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