FIP01bbtbluG6 - Equivalenza di superfici e equivalenza di parallelogrammi

Associa le figure equivalenti utilizzando l'equiscomponibilità per verificare l'equivalenza.

a   ________
b   ________
c   ________
d   ________

È data una semicirconferenza di diametro $PQ$ e centro $O$. Detto $PQRS$ un quadrilatero circoscritto alla semicirconferenza, dimostra che il triangolo $ROS$ è equivalente alla metà di $PQRS$.

Rappresentiamo il problema in figura.

Il quadrilatero $PQRS$ circoscritto alla semicirconferenza di diametro $PQ$ è un ________ di area ________, dove $r$ è il raggio della semicirconferenza. Il triangolo $ROS$ ha area ________. Abbiamo quindi che $ROS\doteq {\displaystyle \frac{1}{2}PQRS}$.

Nella figura $ABCD$ e $BQPC$ sono due parallelogrammi. Dimostra che:
a.   $AQPD$ è un parallelogramma;
b.   $AQPD$ è equivalente alla somma di $ABCD$ e $BQPC$.


a.   Poiché $ABCD$ e $BQPC$ sono due parallelogrammi, abbiamo che $AD$ è parallelo e congruente a $BC$ e $BC$ è parallelo e congruente a $PQ$. Per proprietà ________ abbiamo che $AD$ è congruente e parallelo a ________. Abbiamo quindi che $AQPD$ è un ________.

b.   Consideriamo i triangoli $AQB$ e $DPC$. Essi hanno tre coppie di lati congruenti perché rispettivamente coppie di lati ________ di tre parallelogrammi. Quindi per il terzo criterio di congruenza sono congruenti. Notiamo che sottraendo al parallelogramma $AQPD$ il triangolo $ABQ$ otteniamo la stessa figura ottenuta sottraendo alla somma dei parallelogrammi $ABCD$ e ________ il triangolo ________. Il parallelogramma $AQPD$ e la somma dei parallelogrammi $ABCD$ e $BQPC$ sono quindi figure equicomposte e quindi equivalenti.

Disegna un esagono regolare $ABCDEF$ e unisci i vertici $A$, $C$ ed $E$ per formare il triangolo $ACE$. Dimostra che $ABCDEF\doteq 2ACE$.

Rappresentiamo l'esagono in figura e congiungiamo i vertici $A$, $C$ ed $E$.


Consideriamo i triangoli $EDC,EOC,AOC,ABC,$________ e $AFE$, essendo $ABCDEF$ un esagono regolare, per costruzione, i triangoli sono tutti congruenti fra di loro.

Il triangolo $ACE$ è quindi composto da ________ triangoli equivalenti, mentre l'esagono $ABCDEF$ è composto da ________ triangoli equivalenti. Abbiamo quindi che $ABCDEF$$\doteq$________.

Dato il trapezio $ABCD$ di base maggiore $CD$, congiungi il vertice $A$ con il punto medio $M$ di $BC$ e costruisci il parallelogramma $AMND$. Dimostra che $AMND$ è equivalente ad $ABCD$. (SUGGERIMENTO Prolunga $AM$ fino a intersecare la retta $CD$.)


Prolunghiamo $AM$ fino ad intersecare la retta $CD$ nel punto $Q$. I triangoli $MBA$ e ________ sono congruenti per il ________ criterio in quanto $BM\cong MC$, due angoli opposti al vertice $M$ e una coppia di angoli alterni interni formati dalle stesse rette parallele tagliate dalla trasversale ________.

Abbiamo quindi che il trapezio $ABCD$ e il triangolo ________
sono equicomposti e quindi equivalenti.

Sia $E$ il punto di intersezione di $CD$ con $MN$. Consideriamo i triangoli $MEQ$ e $END$. Essi sono congruenti per il secondo criterio in quanto $DN\cong MA$, due coppie di angoli alterni interni formati dalle stesse rette parallele tagliate dalla trasversale ________ e $QD$.

Abbiamo quindi che il parallelogramma $AMND$ e il triangolo ________ sono equicomposti e quindi equivalenti per proprietà transitiva il trapezio $ABCD$ è equivalente al parallelogramma $AMND$.