Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica.blu biennio (3ª edizione) Volume 1 Fai il punto sulle competenze - Le equazioni irrazionali

FIP01bbtblu21 - Le equazioni irrazionali

13 esercizi

SVOLGI

INFO

Le seguenti equazioni sono tutte impossibili tranne una. Quale? Rispondi senza fare calcoli e supponendo verificate le C.E. di ogni radicale.

\sqrt[3]{- x^{2}} = \sqrt{x - 1}

\sqrt[3]{x} = \sqrt{- x - 7}

\sqrt[3]{x - 6} = \sqrt{6 - x}

\sqrt{- x} + \sqrt[3]{- x + 1} = 0

Scelta multipla

Risolvi la seguente equazione irrazionale:

$\sqrt{3 x + 1} - \frac{1}{2} \sqrt{2 x + x^{2} + 4} = 0$ .

Le C.E. sono $x$ ________.

Portiamo un radicale al secondo membro ed eleviamo al quadrato:

$\sqrt[2]{3 x + 1} = \frac{1}{2} \sqrt[2]{2 x + x^{2} + 4} \to$

$3 x + 1 = \frac{1}{4} (2 x + x^{2} + 4) \to$

$x^{2}$ ________ $10 x = 0 \to x = 0, x = 10$ .

Controlliamo se sono soluzioni mediante verifica:

$x = 0 \to \sqrt[2]{1} = \frac{1}{2} \sqrt[2]{4}$ $\to$ $1 = 1$ quindi $x = 0$ ________ soluzione;
$x = 10 \to \sqrt[2]{31} = \frac{1}{2} \sqrt[2]{124}$ $\to$ $\sqrt[2]{31} = \sqrt[2]{31}$ quindi $x = 10$ ________ soluzione.

Completamento chiuso

Vero o falso?
L'equazione

x + 2 = - \sqrt{- 3 x - 2}

è equivalente a

(x + 2)^{2} = (- 3 x - 2)

ha una sola soluzione.

ha come C.E.

x \leq - \frac{2}{3}

è equivalente a

x + 2 = \sqrt{3 x + 2}

è impossibile.

Vero o falso

Risolvi la seguente equazione irrazionale:

$\sqrt{10 - x} = 2 \sqrt{x + 3} - \sqrt{x}$ .

Per l'esistenza dei radicali poniamo:

${\begin{cases} 10 - x \geq 0 \\ x + 3 \geq 0 \\ x \geq 0 \end{cases} \to$

${\begin{cases} \end{cases}$	$x$ ________ $10$	$\to$
	$x \geq - 3$
	$x \geq 0$

$0 \leq x \leq 10$ .

Eleviamo i due membri al quadrato:

$(\sqrt[2]{10 - x})^{2} = (2 \sqrt[2]{x + 3} - \sqrt[2]{x})^{2} \to$

$10 - x = 4 (x + 3) + x - 4 \sqrt[2]{x + 3} \sqrt[2]{x} \to$

$2 \sqrt[2]{x^{2} + 3 x} = 1 +$ ________.

Eleviamo al quadrato tenendo conto della condizione ________:

$4 x^{2} + 12 x = 1 + 9 x^{2} + 6 x \to$

$5 x^{2} - 6 x + 1 = 0 \to x = \frac{1}{5}, x = 1$ .

Le soluzioni ________ le condizioni, quindi $x = \frac{1}{5}, x = 1$ ________ soluzioni dell'equazione.

Completamento chiuso

Risolvi l'equazione

\sqrt[3]{x - \sqrt{4 + x^{2}}} = - 1

.

Le C.E. sono ________.
Eleviamo al ________:

x - \sqrt{4 + x^{2}} = - 1

.
Isoliamo la radice ed eleviamo al quadrato:

\sqrt{4 + x^{2}} = x + 1 \to

________

- 3 = 0 \to x =

________

\frac{3}{2}

Completamento chiuso

Risolvi la seguente equazione irrazionale:

$\frac{1}{\sqrt{x + 2} + \sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} - \sqrt{x + 2}} = - 3$ .

Per l'esistenza dei radicali poniamo

${\begin{cases} x \geq 0 \\ x + 2 \geq 0 \end{cases}$ $\to$ ________.

Risolviamo l'equazione:

$\sqrt{x} - \sqrt{x + 2} + \sqrt{x} + \sqrt{x + 2}$	$= - 3 \to$
________

$\sqrt{x} = 3 \to x = 9$ .

La soluzione ________ le condizioni, quindi $x = 9$ ________ soluzione dell'equazione.

Completamento chiuso

Risolvi la seguente equazione irrazionale.

1 - \sqrt[3]{- x^{3} + 10 x^{2} + 2 x - 9} = - x

.

Isoliamo la radice ed eleviamo al ________:

\sqrt[3]{- x^{3} + 10 x^{2} + 2 x - 9} = x + 1 \to

- x^{3} + 10 x^{2} + 2 x - 9 =

x^{3} +

________

+ 3 x + 1 \to

2 x^{3} - 7 x^{2} + x + 10 = 0 \to

x = - 1, x =

________,

x = \frac{5}{2}

Completamento chiuso

Stéphan sostiene che per risolvere l'equazione

$\sqrt{x^{2} + 3 x} - 5 \sqrt{3 + x} = 5 - \sqrt{x}$

ha usato un metodo molto rapido, basato su un raccoglimento totale e la legge di annullamento del prodotto. Quale strategia ha utilizzato?

Per l'esistenza dei radicali poniamo

${\begin{cases} x^{2} + 3 x \geq 0 \\ x + 3 \geq 0 \\ x \geq 0 \end{cases}$ $\to$ ________.

Raccogliamo a fattore comune:

$\sqrt{x + 3}$ ________ $+ 1 (\sqrt{x} - 5) = 0 \to$

$(\sqrt{x + 3} + 1) (\sqrt{x} - 5) = 0.$

Per la legge dell'annullamento del prodotto abbiamo:

$\sqrt{x + 3} = - 1 \to$ ________;
$\sqrt{x} = 5 \to x = 25$ .

Completamento chiuso

In un triangolo rettangolo il cateto maggiore supera di

2

cm il doppio del cateto minore. Calcola l'area del triangolo sapendo che il perimetro misura

30

cm.

Indichiamo con

x

il cateto minore, abbiamo:

x + 2 x + 2 + \sqrt{x^{2} + (2 x + 2)^{2}} = 30 \to

________

= - 3 x + 28

.
Eleviamo al quadrato:

5 x^{2} + 4 + 8 x = 9 x^{2} - 168 x + 784 \to

x^{2} -

________

x + 195 = 0 \to

x = 5, x = 39.

La soluzione che soddisfa la condizione ________ è

x = 5

ed è quindi soluzione dell'equazione.
L'area del triangolo è

A =

\frac{5 \cdot 12}{2} = 30

cm².

Completamento chiuso

Considera l'equazione

\sqrt{\frac{1}{2} x^{2} - 8} = 9 - 4 k^{2}

, con

k \in R

e determina per quali valori di

k

l'equazione:
a. è impossibile.
b. ammette come soluzione

x = 3 \sqrt{2}

.
c. ammette come soluzione

x = 6 \sqrt{6}

.

a. L'equazione risulta impossibile se

9 - 4 k^{2}

________

0

cioé per ________.

b. L'equazione ammette come soluzione

x = 3 \sqrt{2}

\sqrt{\frac{1}{2} 18 - 8} = 9 - 4 k^{2} \to

________

= 9 - 4 k^{2} \to k^{2} = 2 \to k = \pm \sqrt{2}

.

c. L'equazione ammette come soluzione

x \sqrt{6}

se ________

= 9 - 4 k^{2} \to

10 = 9 - 4 k^{2} \to

k^{2} = - \frac{1}{4}

\to

________.

Completamento chiuso

Un numero naturale è tale che la somma tra la sua metà e la radice quadrata del suo doppio è

15

. Determina il numero.

Indichiamo con

x

il numero. Abbiamo:

\frac{x}{2} +

________

= 15

\to

\sqrt{2 x} = - \frac{x}{2} + 15 \to

2 x = \frac{x^{2}}{4} + 225 - 15 x \to

x^{2} -

________

x + 900 = 0 \to

x = 18, x = 50

.
La soluzione che soddisfa la condizione ________ è

x =

________ ed è quindi soluzione dell'equazione.

Completamento chiuso

Scrivi le soluzioni di $\sqrt[n]{x} + \sqrt[n]{x^{2} - 4 x} = 0$ considerando i casi di $n$ pari e $n$ dispari.

Se $x$ è pari:

$\sqrt[n]{x} = - \sqrt[n]{x^{2} - 4 x} \to$

$x = x^{2}$ ________ $4 x$ $\to$ $x = 0; x = 5$ .

Controlliamo se sono soluzioni mediante verifica:

$x = 0 \to \sqrt[n]{0} = - \sqrt[n]{0} \to$ $x = 0$ ________ soluzione.
$x = 5 \to \sqrt[n]{5} = - \sqrt[n]{5} \to$ $x = 5$ ________ soluzione.

Se $x$ è dispari:

$\sqrt[n]{x} = - \sqrt[n]{x^{2} - 4 x} \to$

$x = - x^{2}$ ________ $4 x$ $\to$ $x = 0; x = 3$ .

Completamento chiuso

Nel piano cartesiano determina le coordinate del punto

P

appartenente all'asse delle ascisse, tale che la distanza di

P

Q (0, 2)

sia uguale al valore dell'ascissa di

P

aumentato di

1

.

Indichiamo con

x

il valore dell'ascissa di

P

. Abbiamo:
________

= x + 1 \to

x^{2} + 4 = x^{2} +

________

+ 1 \to

2 x - 3 = 0 \to x = \frac{3}{2}

.
La soluzione soddisfa la condizione

x \geq - 1

ed è quindi soluzione dell'equazione. Pertanto abbiamo ________.

Completamento chiuso