FIP01bbtblu19 - Le equazioni di grado superiore al secondo #374532

Indica per quali valori di $n \in N$ e $a \in R$ l'equazione

$a x^{n} - a + 1 = 0$

ammette almeno una soluzione reale.

L'equazione ammette almeno una soluzione reale se:

$n$ dispari e $a \in$ ________;
$n > 0$ e pari e $\frac{a - 1}{a} \geq 0$ ovvero per ________.

Completamento chiuso

Suppose

1

and

7

are roots of

x^{3} + a x^{2} + b x + c = 0

, and

a + b = - 15

.
Find the final root.

We denote with

k

the final root.
We have that

(x

________

1) (x + 7) (x - k) = 0 \to

x^{3} +

________

x^{2} + (- 6 k - 7) x + 7 k = 0

.
Therefore,

6 - k

________

= - 15

\to

k = 2

.

Completamento chiuso

Vero o falso?

A:

L'equazione

x^{4} + 6 x^{2} + 5 = 0

non ammette soluzioni reali.

B:

Un'equazione biquadratica è trinomia.

C:

Un'equazione trinomia ammette almeno una soluzione.

D:

Se un'equazione reciproca ammette soluzione

a

, allora avrà anche soluzione

\frac{1}{a}

.

Vero o falso

Determina il valore del parametro

a

in modo che l'equazione

- x^{4} + a x^{2} - 1 = 0

ammetta esattamente due soluzioni reali opposte.

Poniamo

t = x^{2}

, l'equazione diventa

- t^{2} + a t - 1 = 0

e ha esattamente una soluzione se

Δ = 0

, cioè se

a^{2}

________

= 0

\to

a = \pm 2

.

Abbiamo quindi che

t = x^{2} = \frac{a}{2}

, pertanto per

a =

________ l'equazione

- x^{2} + a x - 1 = 0

ammette esattamente due soluzioni reali opposte pari a

\pm 1

.

Completamento chiuso

Determina per quali valori del parametro

a \in R

l'equazione

(2 - a) x^{4} - 8 = 0

:
a. è impossibile;
b. ha

\pm 2

come soluzioni.

a. L'equazioni ammette soluzioni per i valori del parametro

a \in R

per cui vale

\frac{8}{2 - a} \geq 0 \to 2 - a > 0 \to

________.
L'equazione è quindi impossibile per ________.

b. L'equazione ha

\pm 2

come soluzioni se:

\frac{8}{2 - a} =

________

\to

8 = 16 (2 - a) \to

a =

________.

Completamento chiuso

Associa a ciascuna equazione le relative soluzioni:

1.

x^{4} + 5 x^{2} + 4 = 0

________

2.

8 x^{6} + 7 x^{3} - 1 = 0

________

3.

x^{6} - 27 = 0

________

4.

x^{8} - 16 = 0

________

Posizionamento

Scrivi le condizioni di esistenza della frazione

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} + x}{2 x^{4} - 5 x^{3} + 5 x - 2}$

e semplificala.

Le condizioni di esistenza sono

$2 x^{4} - 5 x^{3} + 5 x - 2 \neq 0 \to$

$(x - 1) (x + 1)$ ________ $(x - \frac{1}{2})$ $\neq 0$ $\to$

$x \neq 1$ , $x \neq - 1$ , $x \neq$ ________ $2$ , $x \neq \frac{1}{2}$ .

Semplifichiamo la frazione:

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} + x}{2 x^{4} - 5 x^{3} + 5 x - 2} =$

$x (x - 1)$ ________	$=$
$(x - 1) (x + 1) (x - 2) (x - \frac{1}{2})$

$x$	$=$
$(x + 1)$ ________

$\frac{x}{x^{2} - x - 2}$ .

Completamento chiuso

Risolvi l'equazione

${(\frac{x}{x - 1})}^{4} - 5 {(\frac{x}{x - 1})}^{2} + 4 = 0.$

Poniamo $t = {(\frac{x}{x - 1})}^{2}$ con $x \neq 1$ .

L'equazione diventa

________ $- 5$ ________ $+ 4 = 0$

e ha come soluzioni $t_{1} = 4$ e $t_{2} =$ ________.

Risostituiamo $t = {(\frac{x}{x - 1})}^{2}$ :

${(\frac{x}{x - 1})}^{2} = 4$ $\to$ $3 x^{2} - 8 x + 4 = 0$ $\to$ $x_{1} =$ ________, $x_{2} = \frac{2}{3}$ ;
${(\frac{x}{x - 1})}^{2} =$ ________ $\to$ $- 2 x + 1 = 0 \to x_{3} = \frac{1}{2}$ .

Completamento chiuso

Per quali valori di

a

l'equazione

x^{4} + (a - 3) x^{2} - 2 a + 3 = 0

ammette esattamente due soluzioni reali e opposte?

Poniamo

t = x^{2}

. L'equazione diventa

t^{2} + (a - 3) t - 2 a + 3 = 0

e ha esattamente una soluzione se

Δ = 0

:

(a - 3)^{2} - 4

________

= 0

\to

a^{2} + 2 a - 3 = 0 \to

a_{1} =

________,

a_{2} = 1

.

Abbiamo quindi che

t = x^{2} = - \frac{a - 3}{2}

, pertanto per

a =

________

\lor

a = 1

l'equazione

x^{4} + (a - 3) x^{2} - 2 a + 3 = 0

ammette esattamente due soluzioni reali opposte.

Completamento chiuso

Determina per quali valori del parametro le seguenti equazioni soddisfano la condizione indicata.
a.

x^{10} + a x^{5} + 2 a = 0

ha una sola soluzione;
b.

a x^{4} - 5 + a = 0

ha almeno una soluzione.

a.

x^{10} + a x^{5} + 2 a = 0

Poniamo

t = x^{5} \to t^{2} + a t + 2 a = 0

, ha una sola soluzione se ________

\to

a^{2} - 8 a = 0 \to

________.

b.

a x^{4} - 5 + a = 0

L'equazione ha almeno una soluzione se ________

\geq 0

\to

________.

Completamento chiuso

Considera l'equazione

(2 h + 2) x^{4} + (k - 3) x^{3} - 26 x^{2} - 9 x + h + 3 = 0

.
a. Per quali valori di

h

e

k

l'equazione è reciproca di quarto grado?
b. In corrispondenza di tali valori, quali sono le sue soluzioni?

a. L'equazione è reciproca di quarto grado per

2 h + 2 =

________

\to

h = 1

e

k - 3 = - 9 \to k =

________.

b. L'equazione per

h = 1

e

k = - 6

diventa:

4 x^{4} - 9 x^{3} - 26 x^{2} - 9 x + 4 = 0

.
Scomponiamo in fattori:

4 (x^{2} + \frac{1}{x^{2}}) - 9 (x + \frac{1}{x}) - 26 = 0

.
Poniamo

t = x + \frac{1}{x}

; le soluzioni di

4 t^{2} - 9 t - 34 = 0

sono

t_{1} =

________,

t_{2} = \frac{17}{4}

\to

x = - 1

,

x = \frac{1}{4}

,

x =

________.

Completamento chiuso