Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica.blu biennio (3ª edizione) Matematica.blu biennio (3ª edizione) / Volume 1 Fai il punto sulle competenze - Le equazioni di secondo grado

FIP01bbtblu18 - Le equazioni di secondo grado

14 esercizi

SVOLGI

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Matematica

Vero o falso?

A: L'equazione

x^{2} + 2 a x + a^{2} - 4 = 0

ha sempre due soluzioni distinte al variare di

a

B: L'equazione

x^{2} - (5 - a) x + a = 0

è completa solo se

a \neq 5

C: L'equazione

(1 + a^{2}) x^{2} + 6 x - (a + 1) = 0

è spuria per

a = - 1

x = 0

è una soluzione di

(b + 1) x^{2} + b^{2} x = 5 x

per ogni

b \in R

Vero o falso

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Matematica

Completa le seguenti equazioni in modo che abbiano per soluzioni i valori indicati nella riga sottostante.

a. ________

x^{2} - 12 x = 0

Soluzioni:

0

4

;

b.

4 x^{2} -

________

= 0

Soluzioni:

- \frac{3}{2}

\frac{3}{2}

;

c.

x^{2} -

________

x + 6 = 0

Soluzioni:

2

3

;

d.

2 x^{2} +

________

x + 98 = 0

Soluzioni:

- 7

soluzione doppia.

Completamento chiuso

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Matematica

Risolvi la seguente equazione.

2 (x - 1) (x - 3) = - (3 + 2 x)^{2} + 4 x + 21

2 (x - 1) (x - 3) = - (3 + 2 x)^{2} + 4 x + 21

2 x^{2} -

________

x + 6 =

- 9

________

12 x - 4 x^{2} + 4 x + 21

________

x^{2} - 6 = 0

x^{2} =

________
________

Completamento chiuso

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Matematica

Risolvi la seguente equazione.

2 x^{2} + 4 x + \sqrt{3} = 0

2 x^{2} + 4 x + \sqrt{3} = 0

\frac{Δ}{4} =

________

- 2 \sqrt{3} =

(1

________

\sqrt{3})^{2}

x_{1, 2} =

________

x_{1} = - \frac{1 + \sqrt{3}}{2}, x_{2} = \frac{- 3 + \sqrt{3}}{2}

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Matematica

Risolvi la seguente equazione.

(2^{- 17} x - 2^{34})^{2} = 2^{18} (2^{51} - x)

(2^{- 17} x - 2^{34})^{2} = 2^{18} (2^{51} - x)

2^{- 34} x^{2} -

________

x +

________

= 2^{69} - 2^{18} x

2^{- 34} x^{2} = 2^{69} -

________

x^{2} = 2^{102}

x =

________

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Matematica

Risolvi la seguente equazione senza svolgere i quadrati di binomio.

(26 x - 40500)^{2} - (24 x - 500)^{2} = 0.

(26 x - 40500)^{2} = (24 x - 500)^{2}

________

26 x - 40500 = 24 x - 500

\lor

26 x - 40500 = - 24 x + 500

________

= 40000

\lor

________

= 41000

x =

________

\lor

x =

________

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Matematica

Risolvi la seguente equazione di secondo grado fratta.

\frac{x^{2} - 1}{x} + \frac{3}{2 x} = \frac{3}{2}

Il minimo comune denominatore è ________ quindi le C.E. sono

x \neq 0

\frac{2 (x^{2} - 1) + 3}{2 x} = \frac{3 x}{2 x}

Semplifichiamo il denominatore e risolviamo

2 (x^{2} - 1) + 3 = 3 x

2 x^{2}

________

3 x +

________

= 0

Δ = 9 -

________

=

________

x_{1, 2} =

________

x_{1} = 1, x_{2} = \frac{1}{2} .

Completamento chiuso

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Matematica

Risolvi la seguente equazione di secondo grado fratta.

\frac{2}{\sqrt{3} x^{2}} = \frac{1}{2 x} - \sqrt{3}

Il minimo comune denominatore è

2 \sqrt{3} x^{2}

quindi le C.E. sono ________.
L'equazione diventa:

\frac{4}{2 \sqrt{3} x^{2}} = \frac{\sqrt{3} x - 6 x^{2}}{2 \sqrt{3} x^{2}} .

Semplifichiamo il denominatore e risolviamo

4 = \sqrt{3} x - 6 x^{2}

6 x^{2}

________

\sqrt{3} x

________

4 = 0

Δ = 3

________

96 =

________________

0

.
Quindi l'equazione è impossibile, cioè non ha alcuna soluzione ________.

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Matematica

Risolvi la seguente equazione di secondo grado fratta.

\frac{3}{x + 2} + \frac{2 x^{2} - 2}{x^{2} + 2 x} = 1

Il minimo comune denominatore è

x (x + 2)

quindi le C.E. sono ________.
L'equazione diventa:

\frac{3 x + 2 x^{2} - 2}{x (x + 2)} = \frac{x (x + 2)}{x (x + 2)}

.
Semplifichiamo il denominatore e risolviamo

3 x + 2 x^{2} - 2 = x (x + 2)

3 x + 2 x^{2} - 2 = x^{2} + 2 x

________

+

________

- 2 = 0

(x + 2) (x - 1) = 0

x =

________

2 \lor x =

________

1

.
Controlliamo le C.E. e otteniamo ________ come unica soluzione accettabile.

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Matematica

Risolvi la seguente equazione con un'opportuna sostituzione.

{(\frac{x^{2} + 6}{x^{2} - 4 x})}^{2} + 4 \cdot \frac{x^{2} + 6}{x (x - 4)} = 5

Le C.E. sono ________.
Scegliamo

y = \frac{x^{2} + 6}{x (x - 4)}

e risolviamo

y^{2} + 4 y = 5

y^{2} + 4 y

________

5 = 0 \to

(y

________

5) (y - 1) = 0 \to

y =

________

5 \lor y = 1

.
Quindi:

\frac{x^{2} + 6}{x (x - 4)} =

________

5

\to

x^{2} + 6 =

________

5 x (x - 4) \to

6 x^{2} - 20 x + 6 = 0 \to

3 x^{2} - 10 x + 3 = 0 \to

\frac{Δ}{4} =

________

- 9 = 16

x_{1, 2} = \frac{5 \pm 4}{3}

x_{1} =

________,

x_{2} =

________
oppure

\frac{x^{2} + 6}{x (x - 4)} = 1 \to x^{2} + 6 = x (x - 4) \to

________

= - 6 \to x =

________.
Le soluzioni dell'equazione sono quindi ________, ________ e ________.

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Matematica

Considera l'equazione letterale

(a + 1) x^{2} + 2 a x + a - 3 = 0

.
Determina per quali valori di

a

l'equazione:

a. è di secondo grado;
b. è impossibile;
c. ammette una soluzione doppia;
d. ammette due soluzioni distinte, di cui una è

x_{1} = 2

.

a. Il termine di secondo grado ________ annullarsi quindi

a

________

- 1

.

b. Calcoliamo il determinante

\frac{Δ}{4} = a^{2} - (a + 1) (a - 3) =

________

2 a

________

3

.
Deve essere

\frac{Δ}{4}

________

0

, quindi

a <

________.

c. In questo caso, deve essere

\frac{Δ}{4}

________

0

, quindi

a

________

- \frac{3}{2}

.

d. In questo caso, deve essere

\frac{Δ}{4}

________

0

, quindi

a

________

- \frac{3}{2}

.
Sostituiamo quindi

x = 2

e otteniamo:
________

(a + 1) +

________

+ a - 3 = 0 \to

________

+ 1 = 0

.
Quindi

a =

________ che soddisfa le condizioni sul determinante quindi ________ accettabile.

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Matematica

Risolvi la seguente equazione nell'incognita $x$ discutendo al variare di $k$ .
$\frac{4 x^{2}}{k^{2}} - x^{2} = \frac{x}{k}$

Le C.E. per il parametro $k$ sono $k \neq 0$ .
Troviamo il minimo comune denominatore, ________, e semplifichiamo:

$\frac{4 x^{2} - k^{2} x^{2}}{k^{2}} = \frac{k x}{k^{2}} \to$

$(4 - k^{2}) x^{2}$ ________ $k x = 0$ .

Se $k =$ ________ allora l'equazione è di ________ grado e la soluzione è
$x =$ ________.
Se $k \neq \pm 2$ allora l'equazione è binomia ________.
Quindi raccogliamo e risolviamo:
$x [(4 - k^{2}) x$ ________ $k] = 0 \to$ $x = 0 \lor x =$ ________.

In sintesi:

se $k = 0$ l'equazione ________;
se $k = \pm 2$ l'equazione ha una sola soluzione, $x =$ ________;
se ________ l'equazione ha due soluzioni, $x = 0$ e $x = \frac{k}{4 - k^{2}}$ .

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Matematica

Considera l'equazione

\frac{3 x}{x + 3} = \frac{a x}{x^{2} - a}

.
a. Per quali valori di

a

le C.E. sono

x \neq - 3 \land x \neq \pm \sqrt{2}

?
b. Per quali valori di

a

l'equazione ammette come soluzione

x = 1

?
c. Per quali valori di

a

il minimo comune denominatore è un polinomio di secondo grado?

a.

x^{2} - a = (x - \sqrt{a}) (x + \sqrt{a})

.
Per le C.E.

x \neq

________ quindi

a =

________.

b. Sostituiamo

x = 1

\frac{3}{4} = \frac{a}{1 - a}

con C.E.

a \neq

________.

3 (1 - a) = 4 a \to

________

= 3 \to

a =

________.

c. Il minimo comune denominatore è

(x + 3) (x^{2} - a)

che è di ________ grado a meno che

x + 3

non sia un ________ di

x^{2} - a

x^{2} - a = (x - \sqrt{a}) (x + \sqrt{a})

.
Imponiamo quindi

x + \sqrt{a} = x + 3

, cioè

a =

________.

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Matematica

Discuti la seguente equazione di secondo grado nell'incognita $x$ , al variare di $a$ e $b$ .
$\frac{3}{2} a^{2} x^{2} - (b - 1) = 0$

Se $a = 0$ il termine con l'incognita ________ e rimane solo
$- b$ ________ $1 = 0$ . Quindi se $b =$ ________ è indeterminata e se $b \neq$ ________ è ________.

Se $a \neq 0$ l'equazione è ________ quindi:
$x^{2} = \frac{2 (b - 1)}{3 a^{2}} \to x = \pm \sqrt{\frac{2 (b - 1)}{3 a^{2}}}$ .

Il denominatore del radicando è sempre ________; il numeratore invece è positivo se $b$ ________ $1$ .

In conclusione:

se $a = 0$ e $b = 1$ l'equazione è ________;
se $a = 0$ e $b \neq 1$ l'equazione è ________;
se $a \neq 0$ e $b < 1$ l'equazione è ________;
se $a \neq 0$ e $b$ ________ $1$ l'equazione ha come soluzioni $x = \pm \sqrt{\frac{2 (b - 1)}{3 a^{2}}}$ .

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