FIP01AZZino3 - La risoluzione delle equazioni di secondo grado

Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false.

Risolvi e interpreta graficamente le seguenti equazioni.
a.   $7x^2+4x+1=0$
b.   $2x+15-x^2=0$
c.   $4x^2+4x+1=0$

a.   Calcoliamo il discriminante.
Poiché $\mathrm{\Delta }$________$0$, l'equazione ________ soluzioni.
Concludiamo che la parabola $y=7x^2+4x+1$ è ________ all'asse $x$.

b.   Calcoliamo il discriminante:
$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=$________$=$________.
Poiché $\mathrm{\Delta }>0$, l'equazione ha due soluzioni ________: ________.
Allora la parabola $y=2x+15-x^2$ è ________ all'asse $x$.

c.   Calcoliamo il discriminante:
$\mathrm{\Delta }=$________.
Poiché $\mathrm{\Delta }$________$0$, l'equazione ha due soluzioni reali e ________:
________.
Allora la parabola $y=4x^2+4x+1$ è ________ all'asse $x$.

Risolvi le seguenti equazioni.
a.   $(x-3{)}^2+2x(x-2)=2$
b.  $3-(3-x)(x+5)+13=0$

a.   Sviluppiamo i prodotti e portiamo nella forma normale.
$x^2$________$+9+2x^2$________$=0$$\to$
$3x^2$________$+7=0$
Calcoliamo il discriminante.
$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=($________${)}^2-4\cdot 3\cdot 7=$________
Poiché $\mathrm{\Delta }$________$0$ l'equazione ________.
${\displaystyle x=\frac{-b\pm \sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}=}$________
Le soluzioni sono ________.

b.  Sviluppiamo i prodotti e portiamo nella forma normale.
$3-3x-15+x^2$________$+13=0\to$
$x^2$________$+1=0$
L'equazione ottenuta è ________ e $\mathrm{\Delta }$________$0$, quindi ha due soluzioni ________:
________.

Calcola il discriminante delle seguenti equazioni. Quale tra queste è impossibile?

Risolvi le seguenti equazioni numeriche fratte.
a.   ${\displaystyle \frac{7}{x^2-8x}+\frac{2}{x}-1=0}$
b.   ${\displaystyle \frac{x}{x+3}+\frac{2+x}{x-3}=0}$

a.   Scomponiamo i denominatori e poniamo le C.E.:
${\displaystyle \frac{7}{x(x-8)}+\frac{2}{x}-1=0\to }$
C.E.: $x\ne 0\wedge x\ne$________.
Riduciamo a denominatore comune e portiamo in forma normale.
${\displaystyle \frac{7+2x-16-x^2+8x}{x(x-8)}=0\to }$
$x^2-10x$________$=0$
Calcoliamo il discriminante:
$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=$________
Applichiamo la formula risolutiva:
$x=$________.
Quindi $x_1=$________, che ________ accettabili; $x_2=$________, che ________ accettabile.

b.   I denominatori sono già scomposti e le C.E. sono: ________.
Riduciamo a denominatore comune e portiamo in forma normale;
$x(x-3)+(2+x)($________$)=0\to$________$=0$.
Poiché $\mathrm{\Delta }$________$0$, l'equazione ________ soluzioni.

L'equazione $(a-1)x^2-x+1=0$ nell'incognita $x$:

Rappresenta graficamente le parabole di equazioni:
a.   $y={\displaystyle -\frac{1}{2}{x}^2}$;
b.   $y=x^2-x-2$;
c.    $y=-x^2+4x$.




a.   Poiché $a$________$0$, la parabola ha la concavità verso ________.
Il vertice della parabola coincide con l'origine $(0;0)$ poiché ________.
Per $x=2$$y=$________, quindi la parabola passa per il punto ________.
Per la simmetria della parabola, anche il punto ________ appartiene al suo grafico.
Concludiamo che il grafico è quello in figura ________.

b.   La parabola ha la concavità verso ________ poiché $a$________$0$.
L'ascissa del vertice è $x_v=$________$={\displaystyle \frac{1}{2}}$.
L'ordinata del vertice è $y_v={\displaystyle -\frac{9}{4}}$.
La parabola è simmetrica rispetto alla retta ________.
Determiniamo i punti di intersezione della parabola con l'asse $x$:
$x^2-x-2=0\to$
$x=$________$\to$________.
Concludiamo che il grafico è quello in figura ________.

c.   La parabola ha la concavità verso ________ poiché $a$________$0$.
Essa passa per l'origine $(0;0)$ poiché ________.
L'ascissa e l'ordinata del vertice sono:
$x_v=$________ e $y_v=$________.
La parabola è simmetrica rispetto alla retta $x=$________.
Determiniamo i punti di intersezione della parabola con l'asse $x$:
$-x^2-4x=0\to x=0\vee x=$________.
Concludiamo che il grafico è quello in figura ________.

Risolvi la seguente equazione nell'incognita $x$, discutendola al variare del parametro reale $m$.
$5x^2+4mx-m^2=0$

L'equazione è già in forma normale normale ed è sempre di secondo grado poiché ________.
Calcoliamo il discriminante.
$\mathrm{\Delta }=($________${)}^2$$-4\cdot 5($________$)=$________.
Se $m=0$, $\mathrm{\Delta }$________$0$ e le soluzioni sono reali e ________:
$x_1=x_2=$________$=$________.
Se $m\ne 0$, $\mathrm{\Delta }$________$0$ e le soluzioni sono reali e ________:
$x=$________$\to$
$x_1=$________, $x_2=$________.
In sintesi:
•   se $m=0$, $x=$________
•   se $m\ne 0$, ________.