Tipo di esercizi
Scelta multipla,
Completamento chiuso,
Vero o falso
INFO

Matematica

Integrale indefinito
Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false.
A: y=3x+2 e y=3x7 sono primitive della stessa funzione.
B: La derivata di (3x25)dx è 6x.
C: y=sinx è una primitiva di y=cosx.
D: y=x3 ha come unica primitiva y=x44.
Vero o falsoVero o falso
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Matematica

Prima proprietà di linearità
Quale delle seguenti uguaglianze descrive la prima proprietà di linearità?
A: f(x)g(x)dx=f(x)dxg(x)dx
B: [f(x)+g(x)]dx=f(x)dx+g(x)dx
C: f(x)g(x)dx=f(x)dxg(x)dx
D: kf(x)dx=kdxf(x)dx
Scelta multiplaScelta multipla
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Matematica

Seconda proprietà di linearità
L'integrale indefinito 3xf(x)dx è uguale a:
A: 3xdxf(x)dx.
B: 3xf(x)dx.
C: 3xf(x)dx.
D: f(x)3xdx.
Scelta multiplaScelta multipla
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Matematica

Integrale di una potenza dix.

Calcola il seguente integrale.
(3x1x2)dx

Per la ________ proprietà di linearità abbiamo:
(3x1x2)dx=3xdx+1x2dx.
Per la ________ proprietà di linearità abbiamo:
3xdx+1x2dx=3xdx1x2dx.
Utilizzando le formule degli integrali immediati troviamo:
3xdx1x2dx=32x2________+c.
Completamento chiusoCompletamento chiuso
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Matematica

Integrale di una potenza dix

Calcola il seguente integrale.
(x4+1x)dx

Per la ________ proprietà di linearità abbiamo:
(x4+14)dx=x4dx+1xdx.
Utilizzando le formule degli integrali immediati troviamo:
x4dx+1xdx=________+ln|x|+c.
Completamento chiusoCompletamento chiuso
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Matematica

Integrale di una potenza di x
Calcola il seguente integrale.
(x+2x3)dx

Per la ________ proprietà di linearità abbiamo:
(x+2x3)dx=xdx+2x3dx.
Per la ________ proprietà di linearità abbiamo:
xdx+2x3dx=xdx+21x3dx.
Notiamo che:
xdx+21x3dx=x12dx+2________
Utilizzando le formule degli integrali immediati troviamo:
________x3________+c.
Completamento chiusoCompletamento chiuso
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Matematica

Integrale di una potenza di x
Integrale di una potenza dix

Calcola il seguente integrale.
25xx2dx

Separiamo le frazioni all'interno dell'integrale in due frazioni:
25xx2dx=(2x25xx2)dx=(2x25x)dx.
Per la ________ proprietà di linearità abbiamo:
(2x25x)dx=2x2dx+5xdx.
Per la ________ proprietà di linearità abbiamo:
2x2dx+5x=21x2dx51xdx.
Utilizzando le formule degli integrali immediati troviamo:
21x2dx51xdx=
________2x5ln|x|+c.
Completamento chiusoCompletamento chiuso
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Matematica

Integrale delle funzioni esponenziali e goniometriche
Calcola il seguente integrale.
(3ex+2)dx

Per la ________ proprietà di linearità abbiamo:
(3ex+2)dx=3exdx+2dx.
Per la ________ proprietà di linearità abbiamo:
3exdx+2dx=3exdx+21dx.
Utilizzando le formule degli integrali immediati troviamo:
3exdx+21dx=3________+2x+c.
Completamento chiusoCompletamento chiuso
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Matematica

Integrale delle funzioni esponenziali e goniometriche
Calcola il seguente integrale.
(23x7ex)dx

Per la prima proprietà di linearità abbiamo:
(23x7ex)dx=23xdx________7exdx.
Per la seconda proprietà di linearità abbiamo:
23xdx+7exdx=23xdx7exdx.
Utilizzando le formule degli integrali immediati troviamo:
23xdx7exdx=2________7ex+c.
Completamento chiusoCompletamento chiuso
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Matematica

Integrale delle funzioni esponenziali e goniometriche
Calcola il seguente integrale.
(3x+5sinx)dx

Per la ________ proprietà di linearità abbiamo:
(3x+5sinx)dx=3xdx+5sinxdx.
Per la ________ proprietà di linearità abbiamo:
3xdx+5sinxdx=3xdx+5sinxdx.
Utilizzando le formule degli integrali immediati troviamo:
3xdx+5sinxdx=
32x2________5cosx+c.
Completamento chiusoCompletamento chiuso
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Matematica

Integrale delle funzioni esponenziali e goniometriche
Calcola il seguente integrale.
(1cos2x3cosx)dx

Per la ________ proprietà di linearità abbiamo:
(1cos2x3cosx)dx=1cos2xdx+3cosxdx.
Per la ________ proprietà di linearità abbiamo:
1cos2xdx+3cosxdx=
1cos2xdx3cosxdx.
Utilizzando le formule degli integrali immediati troviamo:
1cos2dx3cosxdx=
________3sinx+c.

Completamento chiusoCompletamento chiuso
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Matematica

Integrale delle funzioni la cui primitiva è una funzione composta
Calcola il seguente integrale.
x(5x24)3dx

Osserviamo che ________x=D[5x24], quindi, moltiplicando e dividendo la funzione integranda per ________ otteniamo l'integrale della forma
[f(x)]αf(x)dx,
con f(x)=________ e α=3.
Abbiamo perciò:
110(5x24)3________xdx=
110________+c.
Completamento chiusoCompletamento chiuso
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Matematica

Integrale delle funzioni la cui primitiva è una funzione composta
Calcola il seguente integrale.
5xex2dx

Osserviamo che ________=D[x2], quindi, moltiplicando e dividendo la funzione integranda per ________ otteniamo l'integrale della forma
f(x)ef(x)dx,
con ef(x)=ex2. Abbiamo perciò:
________________5xex2dx=
________ex2+c.



Completamento chiusoCompletamento chiuso
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Matematica

Integrale delle funzioni la cui primitiva è una funzione composta
Calcola il seguente integrale.
x3x4+5dx

Osserviamo che ________x3=D[x4+5], quindi, moltiplicando e dividendo la funzione integrale per ________ otteniamo l'integrale della forma
f(x)f(x)dx,
con f(x)=x4+5. Abbiamo perciò:
144x3x4+5dx=14________+c.



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Matematica

Integrale delle funzioni la cui primitiva è una funzione composta
Calcola il seguente integrale.
(3cos3x)dx

Osserviamo che 3=D[3x]. Abbiamo quindi l'integrale nella forma
f(x)cosf(x)dx,
con f(x)=________. Abbiamo perciò:
(3cos3x)dx=3cos3xdx=
________sin3x+c.
Completamento chiusoCompletamento chiuso
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Matematica

Problema con integrale indefinito
Tra le primitive della funzione f(x)=4x2x2x, determina quella il cui grafico interseca l'asse x nel punto di ascissa 2.

Osserviamo che ________=D[x2x], quindi, se raccogliamo il termine 2 nel numeratore di f(x), otteniamo l'integrale della forma
g(x)g(x)dx,
con g(x)=x2x. Abbiamo perciò:
f(x)dx=2(2x1)x2xdx=
22x1x2xdx=2ln________+c.
Sostituiamo adesso x=2 nell'integrale indefinito trovato:
0=2ln|222|+c
c=  ________2ln2.
Quindi la primitiva di f(x) che interseca l'asse x nel punto di ascissa 2 è:
y=2ln|x2x|________2ln2.
Completamento chiusoCompletamento chiuso
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