Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Lineamenti di matematica.azzurro triennio (2ª ed.) Lineamenti di matematica.azzurro triennio (2ª ed.) / Volume 3 Teoremi del calcolo differenziale. Funzioni crescenti, decrescenti e derivate

FIP01AZZino19 - Teoremi del calcolo differenziale

8 esercizi

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Matematica

Teorema di Lagrange

a. Quale delle seguenti due funzioni soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange nell'intervallo $[- 1; 2]$ ?
• $f (x) = \frac{1}{2 - x}$
• $f (x) = \sqrt{2 - x}$

b. Per la funzione individuata trova il punto (o i punti) la cui esistenza è assicurata dal teorema.

a. Affinché sia soddisfabile il teorema di Lagrange una funzione deve essere continua in $[- 1; 2]$ e derivabile in $] - 1; 2 [$ .

La funzione $f (x) = \frac{1}{2 - x}$ non è definita in $x = 2$ , quindi ________ continua in $[- 1; 2]$ .

La funzione del punto A non soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange.

La funzione $f (x) = \sqrt{2 - x}$ è definita in $x \in$ ________, in particolare è continua in $[- 1; 2]$ .

Inoltre $f^{'} (x) = - \frac{1}{2 \sqrt{2 - x}}$ è definita per $x \in] - \infty; 2 [$ , quindi $f (x)$ ________ derivabile in $] - 1; 2 [$ .

b. Possiamo applicare il teorema di Lagrange: per il teorema esiste un punto $c \in] - 1; 2 [$ tale che:

$f^{'} (c) =$	$f (2)$ ________ $f (- 1)$	.
	$2 - (- 1)$

Quindi:

$- \frac{1}{2 \sqrt{2 - c}} =$ ________ $\to$

$- \frac{1}{2 \sqrt{2 - c}} =$ ________ $\frac{\sqrt{3}}{3} \to$

$\sqrt{2 - c} =$ ________ $\frac{3}{2 \sqrt{3}} \to$

$2 - c = \frac{3}{4} \to c = \frac{5}{4}$ .

Il punto $c = \frac{5}{4}$ ________ $] - 1; 2 [$ ; è il punto di cui il teorema di Lagrange garantisce l'esistenza.

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Matematica

Teorema di Rolle

Indica se la funzione

f (x) = \frac{1 - x^{2}}{x^{2} + 4}

verifica le ipotesi del teorema di Rolle nell'intervallo

[- 2; 2]

e, se le soddisfa, trova il punto (o i punti) la cui esistenza è assicurata dal teorema.

La funzione

f (x) = \frac{1 - x^{2}}{x^{2} + 4}

è continua

\forall x \in R

, e ha derivata

f^{'} (x) =

________

\frac{10 x}{(x^{2} + 4)^{2}}

,
definita

\forall x \in R .

Quindi

f (x)

è continua in

[- 2; 2]

e derivabile in ________.
Inoltre

f (- 2) = f (2) = - \frac{3}{8}

.
Per il teorema di Rolle esiste quindi un punto

c \in] - 2; 2 [

tale per cui

f^{'} (c) = 0

.
Quindi:

- \frac{10 x}{(x^{2} + 4)} = 0 \to 10 x = 0 \to x = 0

Il punto cercato è

x = 0

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Matematica

Calcolo dei limiti con il teorema di De L'Hospital

Calcola il seguente limite applicando il teorema di De L'Hospital.

lim_{x \to 0} \frac{1 - e^{x}}{x^{3} + 2 x}

Le funzioni

f (x) = 1 - e^{x}

g (x) = x^{3} + 2 x

________ continue in

R

, e derivabili in

R

, e

f (0) = g (0) = 0

.

Inoltre

g^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 \neq 0

R - {0}

. Esiste infine

lim_{x \to 0} \frac{- e^{x}}{3 x^{2} + 2}

.

Quindi possiamo scrivere che:

lim_{x \to 0} \frac{1 - e^{x}}{x^{3} + 2 x} = lim_{x \to 0}

________

=

________

\frac{1}{2}

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Matematica

Calcolo dei limiti con il teorema di De L'Hospital.

Calcola il seguente limite applicando il teorema di De L'Hospital.

lim_{x \to + \infty} x^{3} e^{- 2 x}

Riscriviamo il limite come quoziente di due funzioni:

lim_{x \to + \infty} x^{3} e^{- 2 x} = lim_{x \to + \infty} \frac{x^{3}}{e^{2 x}} .

Il limite si presenta nella forma indeterminata ________. Le funzioni

f (x) = x^{3}

g (x) = e^{2 x}

sono continue in

R

, derivabili in

R

, e inoltre

g^{'} (x) = 2 e^{2 x} \neq 0

. Il

lim_{x \to + \infty} \frac{3 x^{2}}{2 e^{2 x}}

, costituito dal quoziente delle derivate, ________.
Quindi possiamo scrivere che

lim_{x \to + \infty} \frac{x^{3}}{e^{2 x}} = lim_{x \to + \infty} \frac{3 x^{2}}{2 e^{2 x}} .

Il limite presenta ancora una forma indeterminata; reiterando il ragionamento otteniamo:

lim_{x \to + \infty} \frac{3 x^{2}}{2 e^{2 x}} = lim_{x \to + \infty} \frac{6 x}{4 e^{2 x}} =

lim_{x \to + \infty} \frac{6}{8 e^{2 x}} =

________.

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Matematica

Calcolo dei limiti con il teorema di De L'Hospital

Calcola il seguente limite applicando il teorema di De L'Hospital.

lim_{x \to + \infty} \frac{\log x}{x^{2} - 2}

Il limite si presenta nella forma indeterminata ________.
La funzione

f (x) = \log x

è continua in

] 0; + \infty [

e la funzione

g (x) = x^{2} - 2

è continua in

R

. Inoltre,

f (x)

g (x)

sono entrambe derivabili nel loro dominio.
La funzione

f^{'} (x) = \frac{1}{x}

è continua in ________ e

g^{'} (x) = 2 x

è continua in

R

. Inoltre

g^{'} (x) = 2 x \neq 0

nell'intorno di

+ \infty

.
Esiste infine:

lim_{x \to + \infty} \frac{\frac{1}{x}}{2 x} = lim_{x \to + \infty}

________.
Quindi possiamo scrivere che:

lim_{x \to + \infty} \frac{\log x}{x^{2} - 2} = lim_{x \to + \infty}

________

=

________.

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Matematica

Funzioni crescenti, decrescenti e derivate

La funzione

f (x) = \frac{x^{2}}{2 - x}

è decrescente nell'intervallo:

x < 0 \lor x > 4

x < - 4 \lor x > 0

- 4 < x < 0

0 < x < 4 \land x \neq 2.

Scelta multipla

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Matematica

Funzioni crescenti, decrescenti e derivate

Trova gli intervalli in cui la funzione

f (x) = \ln (x^{2} - x)

è crescente e quelli in cui è decrescente.

Il dominio della funzione è

D

: ________.
Calcoliamo la derivata di

f (x)

f^{'} (x) =

________.
Poniamo

f^{'} (x) > 0 \to

________

> 0

.
Abbiamo:

N

x >

________ e

D

x (x - 1) > 0 \to

x < 0 \lor x > 1

.
Compiliamo il quadro dei segni:

Poiché la funzione è definita solo per ________, abbiamo che la funzione è crescente per ________, e decrescente per ________.

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Matematica

Funzioni crescenti, decrescenti e derivate

Dal grafico, che rappresenta la derivata prima,

f^{'} (x)

, di una funzione

f (x)

definita e continua in

R - {- 3; - 1}

, puoi dedurre che:

f (x)

è decrescente per

- 3 < x < 0

f (x)

è decrescente per

0 < x < 2

f (x)

è crescente per

x > 2

f (x)

è crescente per

x < - 3

Vero o falso

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