Tipo di esercizi
Scelta multipla,
Completamento chiuso,
Vero o falso
Libro
Lineamenti di matematica.azzurro triennio (2ª ed.) / Volume 3
Capitolo
Teoremi del calcolo differenziale. Funzioni crescenti, decrescenti e derivate
INFO

Matematica

Teorema di Lagrange

a. Quale delle seguenti due funzioni soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange nell'intervallo [1;2]?
•   f(x)=12x
•   f(x)=2x
 
b. Per la funzione individuata trova il punto (o i punti) la cui esistenza è assicurata dal teorema.


a. Affinché sia soddisfabile il teorema di Lagrange una funzione deve essere continua in [1;2] e derivabile in ]1;2[.

La funzione f(x)=12x non è definita in x=2, quindi ________ continua in [1;2].

La funzione del punto A non soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange.

La funzione f(x)=2x è definita in x________, in particolare è continua in [1;2].

Inoltre f(x)=122x è definita per x];2[, quindi f(x)________ derivabile in ]1;2[.


b. Possiamo applicare il teorema di Lagrange: per il teorema esiste un punto c]1;2[ tale che:

f(c)=f(2)________f(1).
2(1)

Quindi:

122c=________

122c=________33

2c=________323

2c=34c=54.

Il punto c=54________]1;2[; è il punto di cui il teorema di Lagrange garantisce l'esistenza.


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Matematica

Teorema di Rolle
Indica se la funzione f(x)=1x2x2+4 verifica le ipotesi del teorema di Rolle nell'intervallo [2;2] e, se le soddisfa, trova il punto (o i punti) la cui esistenza è assicurata dal teorema.

La funzione f(x)=1x2x2+4 è continua xR, e ha derivata
f(x)=________10x(x2+4)2,
definita xR.
Quindi f(x) è continua in [2;2] e derivabile in ________.
Inoltre f(2)=f(2)=38.
Per il teorema di Rolle esiste quindi un punto c]2;2[ tale per cui f(c)=0.
Quindi:
10x(x2+4)=010x=0x=0
Il punto cercato è x=0.

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Matematica

Calcolo dei limiti con il teorema di De L'Hospital
Calcola il seguente limite applicando il teorema di De L'Hospital.
limx01exx3+2x

Le funzioni f(x)=1ex e g(x)=x3+2x________ continue in R, e derivabili in R, e f(0)=g(0)=0.

Inoltre g(x)=3x2+20 in R{0}. Esiste infine limx0ex3x2+2.

Quindi possiamo scrivere che:
limx01exx3+2x=limx0________=________12.
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Matematica

Calcolo dei limiti con il teorema di De L'Hospital.
Calcola il seguente limite applicando il teorema di De L'Hospital.
limx+x3e2x

Riscriviamo il limite come quoziente di due funzioni:
limx+x3e2x=limx+x3e2x.
Il limite si presenta nella forma indeterminata ________. Le funzioni f(x)=x3 e g(x)=e2x sono continue in R, derivabili in R, e inoltre g(x)=2e2x0. Il limx+3x22e2x, costituito dal quoziente delle derivate, ________.
Quindi possiamo scrivere che
limx+x3e2x=limx+3x22e2x.
Il limite presenta ancora una forma indeterminata; reiterando il ragionamento otteniamo:
limx+3x22e2x=limx+6x4e2x=
limx+68e2x=________.
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Matematica

Calcolo dei limiti con il teorema di De L'Hospital
Calcola il seguente limite applicando il teorema di De L'Hospital.
limx+logxx22

Il limite si presenta nella forma indeterminata ________.
La funzione f(x)=logx è continua in ]0;+[ e la funzione g(x)=x22 è continua in R. Inoltre, f(x) e g(x) sono entrambe derivabili nel loro dominio.
La funzione f(x)=1x è continua in ________ e g(x)=2x è continua in R. Inoltre g(x)=2x0 nell'intorno di +.
Esiste infine:
limx+1x2x=limx+________.
Quindi possiamo scrivere che:
limx+logxx22=limx+________=________.
Completamento chiusoCompletamento chiuso
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Matematica

Funzioni crescenti, decrescenti e derivate
La funzione f(x)=x22x è decrescente nell'intervallo:
A: x<0  x>4.
B: x<4  x>0.
C: 4<x<0.
D: 0<x<4  x2.
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Matematica

Funzioni crescenti, decrescenti e derivate
Trova gli intervalli in cui la funzione f(x)=ln(x2x) è crescente e quelli in cui è decrescente.

Il dominio della funzione è D: ________.
Calcoliamo la derivata di f(x):
f(x)=________.
Poniamo f(x)>0________>0.
Abbiamo:
N: x>________ e D: x(x1)>0x<0x>1.
Compiliamo il quadro dei segni:

Poiché la funzione è definita solo per ________, abbiamo che la funzione è crescente per ________, e decrescente per ________.
Completamento chiusoCompletamento chiuso
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Matematica

Funzioni crescenti, decrescenti e derivate
Dal grafico, che rappresenta la derivata prima, f(x), di una funzione f(x) definita e continua in R{3;1}, puoi dedurre che:
A: f(x) è decrescente per 3<x<0.
B: f(x) è decrescente per 0<x<2.
C: f(x) è crescente per x>2.
D: f(x) è crescente per x<3.
Vero o falsoVero o falso
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