Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Lineamenti di matematica.azzurro triennio (2ª ed.) Lineamenti di matematica.azzurro triennio (2ª ed.) / Volume 3 Calcolo dei limiti

FIP01AZZino17 - Calcolo dei limiti

18 esercizi

SVOLGI

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Matematica

Operazioni con i limiti

Con le informazioni che puoi dedurre dal grafico, calcola i seguenti limiti.
a.

lim_{x \to 0} [f (x) + 4]

lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{f (x)}

lim_{x \to 2} (x - 1) f (x)

lim_{x \to + \infty} [f (x)]^{3}

a. Abbiamo:

lim_{x \to 0} f (x) =

________ e

lim_{x \to 0} 4 = 4

,
quindi per il teorema del limite della somma:

lim_{x \to 0} [f (x) + 4] =

________

+ 4 =

________.

b. Abbiamo:

lim_{x \to 1} (x - 1) = 0

lim_{x \to 1} f (x) =

________,
quindi il limite è
________.

c. Abbiamo:

lim_{x \to 2} (x - 1) = 1

lim_{x \to 2} f (x) =

________,
quindi per il teorema del limite del prodotto:

lim_{x \to 2} (x - 1) f (x) =

1 \cdot

________

=

________.

d. Abbiamo:

lim_{x \to + \infty} f (x) =

________,
quindi per il teorema del limite di una potenza:

lim_{x \to + \infty} [f (x)]^{3} =

________.

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Matematica

Operazioni sui limiti

Calcola il seguente limite.

lim_{x \to + \infty} 4 (x + 3) e^{x}

Abbiamo:

lim_{x \to + \infty} 4 (x + 3) = + \infty

lim_{x \to + \infty} e^{x} =

________.
I segni dei due limiti sono ________, quindi

lim_{x \to + \infty} 4 (x + 3) e^{x} =

________.

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Matematica

Operazioni sui limiti

Calcola il seguente limite.

lim_{x \to - \infty} - \frac{3}{x^{2}}

Abbiamo:

lim_{x \to - \infty} 3 = 3

lim_{x \to - \infty} x^{2} =

________.
Il numeratore tende a un numero positivo, il denominatore tende a ________ quindi hanno segno ________, pertanto:

lim_{x \to - \infty} - \frac{3}{x^{2}} =

________.

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Matematica

Operazioni sui limiti

Calcola il seguente limite.

lim_{x \to 1} \frac{4 x^{2} - 5}{(x - 1)^{2}}

Abbiamo:

lim_{x \to 1} (4 x^{2} - 5) = - 1

lim_{x \to 1} (x - 1)^{2} =

________.
I segni dei due limiti sono ________, quindi:

lim_{x \to 1} \frac{4 x^{2} - 5}{(x - 1)^{2}} =

________.

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Matematica

Forme indeterminate

Fra i seguenti limiti solo uno si presenta in forma indeterminata. Quale?

lim_{x \to 0} (x \cdot 2^{x})

lim_{x \to 0} \frac{x}{2^{x}}

lim_{x \to + \infty} \frac{x}{2^{x}}

lim_{x \to + \infty} (x \cdot 2^{x})

Scelta multipla

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Matematica

Forme indeterminate

\frac{0}{0}

\frac{\infty}{\infty}

Indica quale delle seguenti è una forma indeterminata del tipo

\frac{0}{0}

\frac{\infty}{\infty}

lim_{x \to 6^{+}} \frac{\ln (x - 6)}{x^{2} - 6 x}

lim_{x \to - \infty} lim_{- \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} - 1}

lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4 x + 4}{x (x - 2)^{2}}

lim_{x \to 0^{+}} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{\ln x}

Scelta multipla

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Matematica

Forme indeterminate

Calcola il seguente limite.

lim_{x \to - \infty} (- 4 x^{3} + x^{2} + x)

________

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Matematica

Forma indeterminate

Calcola il seguente limite.

lim_{x \to + \infty} \frac{- x^{4} + 2 x}{3 x^{2} - 1}

________

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Matematica

Calcola il seguente limite.

lim_{x \to - \infty} \frac{- 6 x^{2} + 2}{2 x^{2} - 5 x}

________

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Matematica

Limiti notevoli

Calcola il seguente limite.

lim_{x \to 0} \frac{\sin 4 x}{5 x}

________

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Matematica

Limiti notevoli

Calcola il seguente limite.

lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + 5 x)}{x}

________

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Matematica

Limiti notevoli

Calcola il seguente limite.

lim_{x \to 0} \frac{1 - e^{3 x}}{6 x}

Il limite si presenta nella forma indeterminata ________.
Riscriviamo il denominatore come ________ e raccogliamo un segno

-

al numeratore:

lim_{x \to 0} \frac{1 - e^{3 x}}{6 x} =

________.
Applicando il limite notevole

lim_{x \to 0} \frac{e^{f (x)} - 1}{f (x)} =

________, con

lim_{x \to 0} f (x) = 0

,
concludiamo che:

lim_{x \to 0} \frac{1 - e^{3 x}}{6 x} = - \frac{1}{2} \cdot lim_{x \to 0} \frac{e^{3 x} - 1}{3 x} =

________.

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Matematica

Confronto tra infiniti

Calcola il seguente limite.

lim_{x \to + \infty} \frac{\ln x^{2}}{e^{2 x}}

Il limite si presenta nella forma indeterminata ________.
Applichiamo le proprietà dei logaritmi e dividiamo sia il numeratore che il denominatore per

x

. Otteniamo:

lim_{x \to + \infty} \frac{\ln x^{2}}{e^{2 x}} = lim_{x \to + \infty} \frac{2 \cdot \frac{\ln x}{x}}{\frac{e^{2 x}}{x}}

.

Applicando i limiti

lim_{x \to + \infty} \frac{e^{x}}{x^{α}} =

________, con

α > 0

lim_{x \to + \infty} \frac{(\log_{a} x)^{α}}{x^{β}} =

________ con

a > 1

α > 0

β > 0

, concludiamo che:

lim_{x \to + \infty} \frac{\ln x^{2}}{e^{2 x}} = 2 \cdot lim_{x \to + \infty} \frac{\frac{\ln x}{x}}{\frac{e^{2 x}}{x}} =

________.

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Matematica

Confronto tra infiniti

Calcola il seguente limite.

lim_{x \to - \infty} \frac{x^{6}}{e^{- x}}

Il limite si presenta nella forma indeterminata ________.
Dividiamo numeratore e denominatore per

x^{6}

e otteniamo:

lim_{x \to - \infty} \frac{x^{6}}{e^{- x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{e^{- x}}{x^{6}}}

.
Poniamo

y = - x

, cioé

x = - y

. Per

x \to - \infty

y \to

________.
Il limite dato diventa:

lim_{x \to - \infty} \frac{x^{6}}{e^{- x}} = lim_{y \to + \infty} \frac{1}{\frac{e^{y}}{y^{6}}}

.
Applichiamo il limite

lim_{x \to + \infty} \frac{e^{x}}{x^{α}} =

________, con

α > 0

e concludiamo che:

lim_{x \to - \infty} \frac{x^{6}}{e^{- x}} =

________.

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Matematica

Confronto tra infiniti

Calcola il seguente limite.

lim_{x \to + \infty} \frac{2 x^{4}}{3 e^{x}}

Il limite si presenta nella forma indeterminata ________.
Riscriviamo la frazione all'interno del limite:

lim_{x \to + \infty} \frac{2 x^{4}}{3 e^{x}} = lim_{x \to + \infty} \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\frac{e^{x}}{x^{4}}}

.
Applichiamo il limite

lim_{x \to + \infty} \frac{e^{x}}{x^{α}} =

________, con

α > 0

, e ricordiamo che

\frac{1}{\infty} \to 0

per

x \to \infty

. Quindi otteniamo:

lim_{x \to + \infty} \frac{2 x^{4}}{3 e^{x}} = lim_{x \to + \infty} \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\frac{e^{x}}{x^{4}}} =

________.

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Matematica

Limiti di successioni

Calcola il seguente limite di successione.

lim_{n \to + \infty} (n^{2} - 3 n^{2} + 10)

Il limite si presenta nella forma indeterminata ________.
Poiché

n \to + \infty

, possiamo considerare

n \neq 0

;
quindi, ________

n^{3}

, abbiamo:

lim_{n \to + \infty} n^{3} (\frac{1}{n} - 3 + \frac{10}{n^{3}}) =

lim_{n \to + \infty} n^{3} \cdot lim_{n \to + \infty} (\frac{1}{n} - 3 + \frac{10}{n^{3}}) =

________.

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Matematica

Limiti di successioni

Calcola il seguente limite di successione.

lim_{n \to + \infty} \frac{n - n^{2}}{2 n^{2} + 1}

Il limite si presente nella forma indeterminata ________.
Poiché

n \to + \infty

, possiamo considerare

n \neq 0

; quindi, raccogliendo

n^{2}

, abbiamo:

lim_{n \to + \infty} \frac{n - n^{2}}{2 n^{2} + 1} = lim_{n \to + \infty} \frac{n^{2} (\frac{1}{n} - 1)}{n^{2} (2 + \frac{1}{n^{2}})} =

________.

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Matematica

Limiti di successioni

Calcola il seguente limite di successione.

lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n} \cdot (e^{- n})

Abbiamo:

lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n} =

________ e

lim_{n \to + \infty} e^{- n} =

________,
quindi, per il teorema del limite del prodotto:

lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n} \cdot (e^{- n}) =

________.

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