Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Lineamenti di matematica Lineamenti di matematica / Volume unico Integrali

FAPlin11 - Integrali

12 esercizi

SVOLGI

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Matematica

Integrale indefinito

Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false.

y = 3 x + 2

y = 3 x - 7

sono primitive della stessa funzione.

B: La derivata di

\int (3 x^{2} - 5) d x

6 x

y = - \sin x

è una primitiva di

y = \cos x

y = x^{3}

ha come unica primitiva

y = \frac{x^{4}}{4}

Vero o falso

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Matematica

Integrale di una potenza di

x

.

Calcola il seguente integrale.

\int (3 x - \frac{1}{x^{2}}) d x

Per la ________ proprietà di linearità abbiamo:

\int (3 x - \frac{1}{x^{2}}) d x = \int 3 x d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x

.
Per la ________ proprietà di linearità abbiamo:

\int 3 x d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x = 3 \int x d x - \int \frac{1}{x^{2}} d x .

Utilizzando le formule degli integrali immediati troviamo:

3 \int x d x - \int \frac{1}{x^{2}} d x = \frac{3}{2} x^{2}

________

+ c

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Matematica

Integrale di una potenza di

x

Calcola il seguente integrale.

\int (x^{4} + \frac{1}{x}) d x

Per la ________ proprietà di linearità abbiamo:

\int (x^{4} + \frac{1}{4}) d x = \int x^{4} d x + \int \frac{1}{x} d x .

Utilizzando le formule degli integrali immediati troviamo:

\int x^{4} d x + \int \frac{1}{x} d x =

________

+ \ln | x | + c

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Matematica

Integrale delle funzioni esponenziali e goniometriche

Calcola il seguente integrale.

\int (3 e^{x} + 2) d x

Per la ________ proprietà di linearità abbiamo:

\int (3 e^{x} + 2) d x = \int 3 e^{x} d x + \int 2 d x .

Per la ________ proprietà di linearità abbiamo:

\int 3 e^{x} d x + \int 2 d x = 3 \int e^{x} d x + 2 \int 1 d x .

Utilizzando le formule degli integrali immediati troviamo:

3 \int e^{x} d x + 2 \int 1 d x = 3

________

+ 2 x + c .

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Matematica

Integrale delle funzioni la cui primitiva è una funzione composta

Calcola il seguente integrale.

\int x (5 x^{2} - 4)^{3} d x

Osserviamo che ________

x = D [5 x^{2} - 4]

, quindi, moltiplicando e dividendo la funzione integranda per ________ otteniamo l'integrale della forma

\int [f (x)]^{α} f^{'} (x) d x,

con

f (x) =

________ e

α = 3

.
Abbiamo perciò:

\frac{1}{10} \int (5 x^{2} - 4)^{3} \cdot

________

x d x =

\frac{1}{10}

________

+ c .

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Matematica

Integrale delle funzioni la cui primitiva è una funzione composta

Calcola il seguente integrale.

\int \frac{x^{3}}{x^{4} + 5} d x

Osserviamo che ________

x^{3}

= D [x^{4} + 5],

quindi, moltiplicando e dividendo la funzione integrale per ________ otteniamo l'integrale della forma

\int \frac{f^{'} (x)}{f (x)} d x,

con

f (x) = x^{4} + 5

. Abbiamo perciò:

\frac{1}{4} \int \frac{4 x^{3}}{x^{4} + 5} d x = \frac{1}{4}

________

+ c .

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Matematica

Calcolo dell'integrale definito

Calcola il seguente integrale definito.

\int_{- 1}^{2} (x^{3} + 2 x) d x

Per la ________ proprietà di linearità abbiamo:

\int_{- 1}^{2} (x^{3} + 2 x) d x = \int_{- 1}^{2} x^{3} d x + \int_{- 1}^{2} 2 x d x .

Risolviamo gli integrali con la formula di Leibniz-Newton:

\int_{- 1}^{2} x^{3} d x + \int_{- 1}^{2} 2 x d x =

[

________

]_{- 1}^{2}

+ [x^{2}]_{- 1}^{2} =

________

-

________

+ 4 - 1 =

________.

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Matematica

Calcolo dell'integrale definito

Calcola il seguente integrale definito.

\int_{1}^{3} (\frac{1}{x} + x) d x

Per la ________ proprietà di linearità abbiamo:

\int_{1}^{3} (\frac{1}{x} + x) d x = \int_{1}^{3} \frac{1}{x} d x + \int_{1}^{3} x d x .

Risolviamo gli integrali con la formula di Leibniz-Newton:

\int_{1}^{3} \frac{1}{x} d x + \int_{1}^{3} x d x =

[\ln | x |]_{1}^{3} + {[\frac{x^{2}}{2}]}_{1}^{3} =

\ln 3 -

________

+ \frac{9}{2} - \frac{1}{2} = \ln 3 +

________.

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Matematica

Valore medio di una funzione

Calcola il valore medio della seguente funzione nell'intervallo dato.

y = x^{2} + 1, [0; 2] .

Il valore medio della funzione

f (x)

[a; b]

si indica con

\bar{f} =

________
Quindi:

\bar{f} =

________

=

________

\frac{1}{2} ({[\frac{x^{3}}{3} + x]}_{0}^{2}) =

________

\frac{1}{2} (\frac{8}{3} + 2) =

________

\frac{7}{3}

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Matematica

Area compresa tra una curva e l'asse x

Calcola l'area colorata nella figura.

Il punto di intersezione della funzione

f (x)

con l'asse delle ascisse è dato da

x =

________. Determiniamo l'area colorata in figura calcolando due integrali: il primo con estremi di integrazione ________ e ________; il secondo con estremi di integrazione ________ e

2

. In particolare poniamo un meno davanti al ________ integrale perché

f (x) < 0

.
Quindi:
________

\int_{0}^{1} (x^{2} - 1) d x

________

\int_{1}^{2} (x^{2} - 1) d x =

________

{[\frac{x^{3}}{3} - x]}_{0}^{1}

________

{[\frac{x^{3}}{3} - x]}_{1}^{2} =

________

(- \frac{2}{3})

________

(\frac{7}{3} - 1) =

________.

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Matematica

Area compresa tra due curve

L'area della superficie evidenziata nella figura misura:

\frac{17}{6}

\frac{27}{2}

\frac{43}{2}

\frac{125}{6}

Scelta multipla

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Matematica

Volume di un solido di rotazione intorno all'asse x

Calcola il volume del solido generato dalla rotazione completa attorno all'asse

x

del grafico della funzione

y = \sqrt{4 - x^{2}}

nell'intervallo

[0; 2]

.

Calcoliamo il volume utilizzando la formula

V =

________

\cdot \int_{a}^{b} [f (x)]^{2} d x

.
Quindi:

V =

________

\cdot

\int_{0}^{2} [\sqrt{4 - x^{2}}]^{2} d x =

________

\cdot \int_{0}^{2} (4 - x^{2}) d x =

________

\cdot {[4 x - \frac{x^{3}}{3}]}_{0}^{2} = \frac{16}{3}

________.

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