Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Lineamenti di matematica Lineamenti di matematica / Volume unico Studio delle funzioni

FAPlin09 - Studio delle funzioni

12 esercizi

Funzioni crescenti, decrescenti e derivate

La funzione

f (x) = \frac{x^{2}}{2 - x}

è decrescente nell'intervallo:

x < 0 \lor x > 4

x < - 4 \lor x > 0

- 4 < x < 0

0 < x < 4 \land x \neq 2.

Scelta multipla

Calcolo dei limiti con il teorema di De L'Hospital.

Calcola il seguente limite applicando il teorema di De L'Hospital.

lim_{x \to + \infty} x^{3} e^{- 2 x}

Riscriviamo il limite come quoziente di due funzioni:

lim_{x \to + \infty} x^{3} e^{- 2 x} = lim_{x \to + \infty} \frac{x^{3}}{e^{2 x}} .

Il limite si presenta nella forma indeterminata ________. Le funzioni

f (x) = x^{3}

g (x) = e^{2 x}

sono continue in

R

, derivabili in

R

, e inoltre

g^{'} (x) = 2 e^{2 x} \neq 0

. Il

lim_{x \to + \infty} \frac{3 x^{2}}{2 e^{2 x}}

, costituito dal quoziente delle derivate, ________.
Quindi possiamo scrivere che

lim_{x \to + \infty} \frac{x^{3}}{e^{2 x}} = lim_{x \to + \infty} \frac{3 x^{2}}{2 e^{2 x}} .

Il limite presenta ancora una forma indeterminata; reiterando il ragionamento otteniamo:

lim_{x \to + \infty} \frac{3 x^{2}}{2 e^{2 x}} = lim_{x \to + \infty} \frac{6 x}{4 e^{2 x}} =

lim_{x \to + \infty} \frac{6}{8 e^{2 x}} =

________.

Completamento chiuso

Calcolo dei limiti con il teorema di De L'Hospital

Calcola il seguente limite applicando il teorema di De L'Hospital.

lim_{x \to 0} \frac{1 - e^{x}}{x^{3} + 2 x}

Le funzioni

f (x) = 1 - e^{x}

g (x) = x^{3} + 2 x

________ continue in

R

, e derivabili in

R

, e

f (0) = g (0) = 0

.

Inoltre

g^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 \neq 0

R - {0}

. Esiste infine

lim_{x \to 0} \frac{- e^{x}}{3 x^{2} + 2}

.

Quindi possiamo scrivere che:

lim_{x \to 0} \frac{1 - e^{x}}{x^{3} + 2 x} = lim_{x \to 0}

________

=

________

\frac{1}{2}

Completamento chiuso

Studio di funzioni

Studia e rappresenta graficamente la seguente funzione.

y = x^{3} - 3 x

a. Il dominio della funzione è ________.

b. Determiniamo

f (- x)

per individuare le simmetrie:

f (- x) = (- x)^{3} - 3 (- x) =

- x^{3} + 3 x = - f (x)

Quindi la funzione è ________, quindi il suo grafico è simmetrico rispetto ________.

c. L'intersezione con l'asse

y

(0; 0)

e le intersezioni con l'asse

x

sono

(\pm \sqrt{3}; 0)

.

d. Studiamo il segno della funzione:

x^{3} - 3 x = x (x^{2} - 3)

F_{1} > 0

x > 0

;

F_{2} > 0

x^{2} - 3 > 0

\to

x < - \sqrt{3} \lor x > \sqrt{3}

.
Compiliamo il quadro dei segni.

Quindi la funzione è ________ per

- \sqrt{3} < x < 0 \lor x > \sqrt{3}

e ________ per

x < - \sqrt{3} \lor 0 < x < \sqrt{3}

.

e. Calcoliamo i limiti agli estremi del dominio:

lim_{x \to - \infty} x^{3} - 3 x =

________

\infty

;

lim_{x \to + \infty} x^{3} - 3 x =

________

\infty

.

f. Calcoliamo la derivata prima:

f^{'} (x) = 3 x^{2}

________,
e ne studiamo il segno:

f^{'} (x) > 0 \to 3 x^{2} - 3 > 0 \to

3 (x - 1) (x + 1) > 0

.
La funzione è crescente per ________ e decrescente altrimenti.
Deduciamo inoltre che in

(- 1; 2)

ha un ________ e in

(1; - 2)

ha un ________.

g. Rappresentiamo quindi il grafico probabile di

f (x)

Completamento chiuso

Calcolo dei limiti con il teorema di De L'Hospital

Calcola il seguente limite applicando il teorema di De L'Hospital.

lim_{x \to + \infty} \frac{\log x}{x^{2} - 2}

Il limite si presenta nella forma indeterminata ________.
La funzione

f (x) = \log x

è continua in

] 0; + \infty [

e la funzione

g (x) = x^{2} - 2

è continua in

R

. Inoltre,

f (x)

g (x)

sono entrambe derivabili nel loro dominio.
La funzione

f^{'} (x) = \frac{1}{x}

è continua in ________ e

g^{'} (x) = 2 x

è continua in

R

. Inoltre

g^{'} (x) = 2 x \neq 0

nell'intorno di

+ \infty

.
Esiste infine:

lim_{x \to + \infty} \frac{\frac{1}{x}}{2 x} = lim_{x \to + \infty}

________.
Quindi possiamo scrivere che:

lim_{x \to + \infty} \frac{\log x}{x^{2} - 2} = lim_{x \to + \infty}

________

=

________.

Completamento chiuso

Dal grafico alle caratteristiche

Osserva il grafico soprastante e indica se le seguenti affermazioni sono vere o false.

A: Il dominio di

f (x)

x \neq 1

f (x)

è pari.

lim_{x \to 1} f (x) = + \infty

D: Le intersezioni con gli assi sono

(0; - 2)

(0; 0)

E: C'è un minimo per

x = 2

Vero o falso

Un problema di minimo

Determina il numero naturale tale che la differenza fra il quadrato e il quadruplo del numero sia minima.

Sia

n \in N

; la funzione che stiamo considerando è

f (n) =

________.
Calcoliamo la derivata:

f^{'} (n) =

________.
Studiamo il segno della derivata:

f^{'} (n) > 0 \to

________

> 0

\to

n

________

2

.
Quindi

f (n)

è crescente per

n

________

2

e decrescente per

n

________

2

n = 2

è punto di ________.

Completamento chiuso

Massimi e minimi relativi e flessi orizzontali di funzioni derivabili

Solo una delle seguenti funzioni ha un punto di flesso orizzontale e un punto di massimo relativo. Quale?

f (x) = x^{3} - x^{4}

f (x) = x^{2} + x^{4}

f (x) = x^{3} - x^{2}

f (x) = x^{3} + x^{4}

Scelta multipla

Dalle caratteristiche all'espressione analitica

Una funzione

f (x)

interseca l'asse

x

in un punto di ascissa

2

e ha due asintoti verticali, di cui uno di equazione

x = - 1

. Quale può essere la funzione

f (x)

f (x) = \frac{x + 2}{x^{2} + x}

f (x) = \frac{x - 2}{x^{2} + x}

f (x) = \frac{x - 2}{x^{2} - x}

f (x) = \frac{x - 2}{x + 1}

Scelta multipla

Studio di funzioni

Studia e rappresenta graficamente la seguente funzione.

y = - x^{3} + 6 x^{2}

a. Il dominio della funzione è ________.

b. Determiniamo

f (- x)

per individuare le simmetrie:

f (- x) = - (- x)^{3} + 6 (- x)^{2} =

________

x^{3} + 6 x^{2} \neq f (x)

.
Determiniamo anche

- f (x)

- f (x) =

________

x^{3} - 6 x^{2} \neq f (x)

.
La funzione quindi è ________.

c. Le intersezioni con gli assi sono
asse

y

{\begin{matrix} y = 0 \\ x = 0 \end{matrix};

asse

x

{\begin{matrix} y = 0 \\ - x^{2} (x - 6) = 0 \end{matrix} \to

{\begin{matrix} y = 0 \\ x = 0 \lor x = + 6 \end{matrix} .

d. Studiamo il segno della funzione:

- x^{3} + 6 x^{2} = - x^{2} (x - 6)

F_{1} > 0

- x^{2} > 0 \to ∄ x \in R

;

F_{2} > 0

x - 6 > 0 \to x > 6

.
Compiliamo il quadro dei segni.

La funzione quindi è positiva per

x

________

6

ed è negativa per

x

________

6

.

e. Calcoliamo i limiti agli estremi del dominio:

lim_{x \to - \infty} - x^{3} + 6 x^{2} =

________

\infty

;

lim_{x \to + \infty} - x^{3} + 6 x^{2} =

________

\infty

.

f. Calcoliamo la derivata prima:

f^{'} (x) =

________

x^{2} + 12 x

e ne studiamo il segno:

- 3 x^{2} + 12 x > 0 \to 3 x^{2} - 12 x < 0 \to

3 x (x - 4) < 0

.
Quindi la funzione è crescente per ________ e decrescente per ________.
Deduciamo inoltre che la funzione ha un ________ in

(0; 0)

e un massimo in

(4; 32)

.

g. Rappresentiamo quindi il grafico probabile di

f (x)

nel piano cartesiano.

Completamento chiuso

Studio di funzioni

Studia e rappresenta graficamente la seguente funzione.

y = \frac{4 - x^{2}}{x}

a. Il dominio della funzione è ________.

b. Determiniamo

f (- x)

per individuare le simmetrie:

f (- x) = \frac{4 - (- x)^{2}}{(- x)}

________

- f (x)

.
Quindi la funzione è ________.

c. L'intersezione con asse

y

________ e le intersezioni con asse

x

sono

(2; 0)

(- 2; 0)

.

d. Studiamo il segno della funzione:

N > 0

4 - x^{2} > 0

\to

________;

D > 0

x > 0

.

Dal quadro dei segni vediamo che la funzione è positiva per ________, e negativa altrimenti.

e. Calcoliamo i limiti agli estremi del dominio:
•

lim_{x \to \pm \infty} \frac{4 - x^{2}}{x} =

________

\infty

;
•

lim_{x \to 0^{-}} \frac{4 - x^{2}}{x} = - \infty

;
•

lim_{x \to 0^{+}} \frac{4 - x^{2}}{x} =

________

\infty

.

f. La derivata prima della funzione è

f^{'} (x) = \frac{- (x^{2} + 4)}{x^{2}}

ed è sempre ________ nel suo dominio.

g. Tracciamo il grafico probabile della funzione data.

Completamento chiuso

Studio di funzioni

Studia e rappresenta graficamente la seguente funzione.

y = \frac{2 x - 1}{x + 2}

a. Il dominio della funzione è ________.

b Determiniamo

f (- x)

per individuare le simmetrie:

f (- x) = \frac{2 (- x) - 1}{- x + 2}

________

- f (x)

.
Possiamo concludere che la funzione è ________.

c L'intersezione con asse

x

(\frac{1}{2}; 0)

e l'intersezione con asse

y

(0;

________

)

.

d Studiamo il segno della funzione:

N > 0

2 x - 1 > 0 \to x > \frac{1}{2}

;

D > 0

x + 2 > 0 \to x > - 2

.

Dal quadro dei segni deduciamo che la funzione è positiva per ________ e negativa per ________.

e Calcoliamo i limiti agli estremi del dominio:
•

lim_{x \to \pm \infty} \frac{2 x - 1}{x + 2} =

________;
•

lim_{x \to - 2^{-}} \frac{2 x - 1}{x + 2} =

________

\infty

;
•

lim_{x \to - 2^{+}} \frac{2 x - 1}{x + 2} = - \infty

.

f La derivata prima della funzione è

f^{'} (x) = \frac{5}{(x + 2)^{2}}

. È positiva ________. Quindi la funzione è crescente nel suo dominio.

g Tracciamo infine il grafico probabile della funzione.

Completamento chiuso