Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Lineamenti di matematica Lineamenti di matematica / Volume unico Studio delle funzioni

FAPlin09 - Studio delle funzioni

12 esercizi

SVOLGI

INFO

Matematica

Massimi e minimi relativi e flessi orizzontali di funzioni derivabili

Solo una delle seguenti funzioni ha un punto di flesso orizzontale e un punto di massimo relativo. Quale?

f (x) = x^{3} - x^{4}

f (x) = x^{2} + x^{4}

f (x) = x^{3} - x^{2}

f (x) = x^{3} + x^{4}

Scelta multipla

Il punteggio di un esercizio è determinato
dalla difficoltà: da 1 (più facile) a 5 (più
difficile). Vuoi saperne di più? Consulta il
Centro assistenza

Matematica

Calcolo dei limiti con il teorema di De L'Hospital

Calcola il seguente limite applicando il teorema di De L'Hospital.

lim_{x \to 0} \frac{1 - e^{x}}{x^{3} + 2 x}

Le funzioni

f (x) = 1 - e^{x}

g (x) = x^{3} + 2 x

________ continue in

R

, e derivabili in

R

, e

f (0) = g (0) = 0

.

Inoltre

g^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 \neq 0

R - {0}

. Esiste infine

lim_{x \to 0} \frac{- e^{x}}{3 x^{2} + 2}

.

Quindi possiamo scrivere che:

lim_{x \to 0} \frac{1 - e^{x}}{x^{3} + 2 x} = lim_{x \to 0}

________

=

________

\frac{1}{2}

Completamento chiuso

Il punteggio di un esercizio è determinato
dalla difficoltà: da 1 (più facile) a 5 (più
difficile). Vuoi saperne di più? Consulta il
Centro assistenza

Matematica

Un problema di minimo

Determina il numero naturale tale che la differenza fra il quadrato e il quadruplo del numero sia minima.

Sia

n \in N

; la funzione che stiamo considerando è

f (n) =

________.
Calcoliamo la derivata:

f^{'} (n) =

________.
Studiamo il segno della derivata:

f^{'} (n) > 0 \to

________

> 0

\to

n

________

2

.
Quindi

f (n)

è crescente per

n

________

2

e decrescente per

n

________

2

n = 2

è punto di ________.

Completamento chiuso

Il punteggio di un esercizio è determinato
dalla difficoltà: da 1 (più facile) a 5 (più
difficile). Vuoi saperne di più? Consulta il
Centro assistenza

Matematica

Calcolo dei limiti con il teorema di De L'Hospital

Calcola il seguente limite applicando il teorema di De L'Hospital.

lim_{x \to + \infty} \frac{\log x}{x^{2} - 2}

Il limite si presenta nella forma indeterminata ________.
La funzione

f (x) = \log x

è continua in

] 0; + \infty [

e la funzione

g (x) = x^{2} - 2

è continua in

R

. Inoltre,

f (x)

g (x)

sono entrambe derivabili nel loro dominio.
La funzione

f^{'} (x) = \frac{1}{x}

è continua in ________ e

g^{'} (x) = 2 x

è continua in

R

. Inoltre

g^{'} (x) = 2 x \neq 0

nell'intorno di

+ \infty

.
Esiste infine:

lim_{x \to + \infty} \frac{\frac{1}{x}}{2 x} = lim_{x \to + \infty}

________.
Quindi possiamo scrivere che:

lim_{x \to + \infty} \frac{\log x}{x^{2} - 2} = lim_{x \to + \infty}

________

=

________.

Completamento chiuso

Il punteggio di un esercizio è determinato
dalla difficoltà: da 1 (più facile) a 5 (più
difficile). Vuoi saperne di più? Consulta il
Centro assistenza

Matematica

Funzioni crescenti, decrescenti e derivate

La funzione

f (x) = \frac{x^{2}}{2 - x}

è decrescente nell'intervallo:

x < 0 \lor x > 4

x < - 4 \lor x > 0

- 4 < x < 0

0 < x < 4 \land x \neq 2.

Scelta multipla

Il punteggio di un esercizio è determinato
dalla difficoltà: da 1 (più facile) a 5 (più
difficile). Vuoi saperne di più? Consulta il
Centro assistenza

Matematica

Dal grafico alle caratteristiche

Osserva il grafico soprastante e indica se le seguenti affermazioni sono vere o false.

A: Il dominio di

f (x)

x \neq 1

f (x)

è pari.

lim_{x \to 1} f (x) = + \infty

D: Le intersezioni con gli assi sono

(0; - 2)

(0; 0)

E: C'è un minimo per

x = 2

Vero o falso

Il punteggio di un esercizio è determinato
dalla difficoltà: da 1 (più facile) a 5 (più
difficile). Vuoi saperne di più? Consulta il
Centro assistenza

Matematica

Calcolo dei limiti con il teorema di De L'Hospital.

Calcola il seguente limite applicando il teorema di De L'Hospital.

lim_{x \to + \infty} x^{3} e^{- 2 x}

Riscriviamo il limite come quoziente di due funzioni:

lim_{x \to + \infty} x^{3} e^{- 2 x} = lim_{x \to + \infty} \frac{x^{3}}{e^{2 x}} .

Il limite si presenta nella forma indeterminata ________. Le funzioni

f (x) = x^{3}

g (x) = e^{2 x}

sono continue in

R

, derivabili in

R

, e inoltre

g^{'} (x) = 2 e^{2 x} \neq 0

. Il

lim_{x \to + \infty} \frac{3 x^{2}}{2 e^{2 x}}

, costituito dal quoziente delle derivate, ________.
Quindi possiamo scrivere che

lim_{x \to + \infty} \frac{x^{3}}{e^{2 x}} = lim_{x \to + \infty} \frac{3 x^{2}}{2 e^{2 x}} .

Il limite presenta ancora una forma indeterminata; reiterando il ragionamento otteniamo:

lim_{x \to + \infty} \frac{3 x^{2}}{2 e^{2 x}} = lim_{x \to + \infty} \frac{6 x}{4 e^{2 x}} =

lim_{x \to + \infty} \frac{6}{8 e^{2 x}} =

________.

Completamento chiuso

Il punteggio di un esercizio è determinato
dalla difficoltà: da 1 (più facile) a 5 (più
difficile). Vuoi saperne di più? Consulta il
Centro assistenza

Matematica

Studio di funzioni

Studia e rappresenta graficamente la seguente funzione.

y = \frac{2 x - 1}{x + 2}

a. Il dominio della funzione è ________.

b Determiniamo

f (- x)

per individuare le simmetrie:

f (- x) = \frac{2 (- x) - 1}{- x + 2}

________

- f (x)

.
Possiamo concludere che la funzione è ________.

c L'intersezione con asse

x

(\frac{1}{2}; 0)

e l'intersezione con asse

y

(0;

________

)

.

d Studiamo il segno della funzione:

N > 0

2 x - 1 > 0 \to x > \frac{1}{2}

;

D > 0

x + 2 > 0 \to x > - 2

.

Dal quadro dei segni deduciamo che la funzione è positiva per ________ e negativa per ________.

e Calcoliamo i limiti agli estremi del dominio:
•

lim_{x \to \pm \infty} \frac{2 x - 1}{x + 2} =

________;
•

lim_{x \to - 2^{-}} \frac{2 x - 1}{x + 2} =

________

\infty

;
•

lim_{x \to - 2^{+}} \frac{2 x - 1}{x + 2} = - \infty

.

f La derivata prima della funzione è

f^{'} (x) = \frac{5}{(x + 2)^{2}}

. È positiva ________. Quindi la funzione è crescente nel suo dominio.

g Tracciamo infine il grafico probabile della funzione.

Completamento chiuso

Il punteggio di un esercizio è determinato
dalla difficoltà: da 1 (più facile) a 5 (più
difficile). Vuoi saperne di più? Consulta il
Centro assistenza

Matematica

Studio di funzioni

Studia e rappresenta graficamente la seguente funzione.

y = - x^{3} + 6 x^{2}

a. Il dominio della funzione è ________.

b. Determiniamo

f (- x)

per individuare le simmetrie:

f (- x) = - (- x)^{3} + 6 (- x)^{2} =

________

x^{3} + 6 x^{2} \neq f (x)

.
Determiniamo anche

- f (x)

- f (x) =

________

x^{3} - 6 x^{2} \neq f (x)

.
La funzione quindi è ________.

c. Le intersezioni con gli assi sono
asse

y

{\begin{matrix} y = 0 \\ x = 0 \end{matrix};

asse

x

{\begin{matrix} y = 0 \\ - x^{2} (x - 6) = 0 \end{matrix} \to

{\begin{matrix} y = 0 \\ x = 0 \lor x = + 6 \end{matrix} .

d. Studiamo il segno della funzione:

- x^{3} + 6 x^{2} = - x^{2} (x - 6)

F_{1} > 0

- x^{2} > 0 \to ∄ x \in R

;

F_{2} > 0

x - 6 > 0 \to x > 6

.
Compiliamo il quadro dei segni.

La funzione quindi è positiva per

x

________

6

ed è negativa per

x

________

6

.

e. Calcoliamo i limiti agli estremi del dominio:

lim_{x \to - \infty} - x^{3} + 6 x^{2} =

________

\infty

;

lim_{x \to + \infty} - x^{3} + 6 x^{2} =

________

\infty

.

f. Calcoliamo la derivata prima:

f^{'} (x) =

________

x^{2} + 12 x

e ne studiamo il segno:

- 3 x^{2} + 12 x > 0 \to 3 x^{2} - 12 x < 0 \to

3 x (x - 4) < 0

.
Quindi la funzione è crescente per ________ e decrescente per ________.
Deduciamo inoltre che la funzione ha un ________ in

(0; 0)

e un massimo in

(4; 32)

.

g. Rappresentiamo quindi il grafico probabile di

f (x)

nel piano cartesiano.

Completamento chiuso

Il punteggio di un esercizio è determinato
dalla difficoltà: da 1 (più facile) a 5 (più
difficile). Vuoi saperne di più? Consulta il
Centro assistenza

Matematica

Dalle caratteristiche all'espressione analitica

Una funzione

f (x)

interseca l'asse

x

in un punto di ascissa

2

e ha due asintoti verticali, di cui uno di equazione

x = - 1

. Quale può essere la funzione

f (x)

f (x) = \frac{x + 2}{x^{2} + x}

f (x) = \frac{x - 2}{x^{2} + x}

f (x) = \frac{x - 2}{x^{2} - x}

f (x) = \frac{x - 2}{x + 1}

Scelta multipla

Il punteggio di un esercizio è determinato
dalla difficoltà: da 1 (più facile) a 5 (più
difficile). Vuoi saperne di più? Consulta il
Centro assistenza

Matematica

Studio di funzioni

Studia e rappresenta graficamente la seguente funzione.

y = \frac{4 - x^{2}}{x}

a. Il dominio della funzione è ________.

b. Determiniamo

f (- x)

per individuare le simmetrie:

f (- x) = \frac{4 - (- x)^{2}}{(- x)}

________

- f (x)

.
Quindi la funzione è ________.

c. L'intersezione con asse

y

________ e le intersezioni con asse

x

sono

(2; 0)

(- 2; 0)

.

d. Studiamo il segno della funzione:

N > 0

4 - x^{2} > 0

\to

________;

D > 0

x > 0

.

Dal quadro dei segni vediamo che la funzione è positiva per ________, e negativa altrimenti.

e. Calcoliamo i limiti agli estremi del dominio:
•

lim_{x \to \pm \infty} \frac{4 - x^{2}}{x} =

________

\infty

;
•

lim_{x \to 0^{-}} \frac{4 - x^{2}}{x} = - \infty

;
•

lim_{x \to 0^{+}} \frac{4 - x^{2}}{x} =

________

\infty

.

f. La derivata prima della funzione è

f^{'} (x) = \frac{- (x^{2} + 4)}{x^{2}}

ed è sempre ________ nel suo dominio.

g. Tracciamo il grafico probabile della funzione data.

Completamento chiuso

Il punteggio di un esercizio è determinato
dalla difficoltà: da 1 (più facile) a 5 (più
difficile). Vuoi saperne di più? Consulta il
Centro assistenza

Matematica

Studio di funzioni

Studia e rappresenta graficamente la seguente funzione.

y = x^{3} - 3 x

a. Il dominio della funzione è ________.

b. Determiniamo

f (- x)

per individuare le simmetrie:

f (- x) = (- x)^{3} - 3 (- x) =

- x^{3} + 3 x = - f (x)

Quindi la funzione è ________, quindi il suo grafico è simmetrico rispetto ________.

c. L'intersezione con l'asse

y

(0; 0)

e le intersezioni con l'asse

x

sono

(\pm \sqrt{3}; 0)

.

d. Studiamo il segno della funzione:

x^{3} - 3 x = x (x^{2} - 3)

F_{1} > 0

x > 0

;

F_{2} > 0

x^{2} - 3 > 0

\to

x < - \sqrt{3} \lor x > \sqrt{3}

.
Compiliamo il quadro dei segni.

Quindi la funzione è ________ per

- \sqrt{3} < x < 0 \lor x > \sqrt{3}

e ________ per

x < - \sqrt{3} \lor 0 < x < \sqrt{3}

.

e. Calcoliamo i limiti agli estremi del dominio:

lim_{x \to - \infty} x^{3} - 3 x =

________

\infty

;

lim_{x \to + \infty} x^{3} - 3 x =

________

\infty

.

f. Calcoliamo la derivata prima:

f^{'} (x) = 3 x^{2}

________,
e ne studiamo il segno:

f^{'} (x) > 0 \to 3 x^{2} - 3 > 0 \to

3 (x - 1) (x + 1) > 0

.
La funzione è crescente per ________ e decrescente altrimenti.
Deduciamo inoltre che in

(- 1; 2)

ha un ________ e in

(1; - 2)

ha un ________.

g. Rappresentiamo quindi il grafico probabile di

f (x)

Completamento chiuso

Il punteggio di un esercizio è determinato
dalla difficoltà: da 1 (più facile) a 5 (più
difficile). Vuoi saperne di più? Consulta il
Centro assistenza