FAPlin08 - Derivate #481089 - Prove ed esercizi Zanichelli

Definizione di derivata

Quale delle seguenti scritture rappresenta la derivata di

f (x)

nel punto

c

?

A:

lim_{h \to 0} \frac{f (c) - f (h)}{h}

B:

lim_{h \to 0} \frac{f (c + h) - f (h)}{h}

C:

lim_{h \to 0} \frac{f (c + h) - f (c)}{h}

D:

lim_{h \to 0} \frac{f (c + h) - f (c)}{c}

Scelta multipla

Derivate fondamentali

Associa a ogni funzione la sua derivata.
a.

y = 7 x

________
b.

y = x^{7}

________
c.

y = 7^{x}

________
d.

y = \log_{7} x

________

Posizionamento

Derivata della somma

Quali sono le derivate delle seguenti funzioni?
a.

y = 2 x^{3} + x^{2} - \frac{1}{x}

b.

y = 3 \sin x - \frac{e^{x}}{2}

A: a.

6 x^{2} + 2 x + \frac{1}{x^{2}}

b.

3 \cos x - \frac{e^{x}}{2}

B: a.

6 x^{2} + 2 x - \frac{1}{x^{2}}

b.

3 \cos x - \frac{e^{x}}{2}

C: a.

6 x^{2} + 2 x + \frac{2}{x}

b.

- 3 \cos x - \frac{e^{x}}{2}

D: a.

6 x^{2} + 2 x + \frac{1}{x^{2}}

b.

- 3 \cos x - \frac{e^{x}}{2}

Scelta multipla

Derivata del quoziente

Calcola la derivata delle seguenti funzioni.

a. $y = \frac{x^{2} - 1}{x + 2}$

b. $y = \frac{e^{x}}{1 + x}$

a. $y = \frac{x^{2} - 1}{x + 2} \to$

$y^{'} =$	________ $\cdot$ $(x + 2)$ $- (x^{2} - 1) \cdot$ ________	$=$
	$(x + 2)^{2}$

$\frac{x^{2} + 4 x + 1}{(x + 2)^{2}}$

b. $y = \frac{e^{x}}{1 + x} \to$

$y^{'} =$	________ $(1 + x) - e^{x}$	$=$
	$(1 + x)^{2}$

$\frac{e^{x} \cdot x}{(1 + x)^{2}}$

Completamento chiuso

Derivata del prodotto

Quali sono le derivate delle seguenti funzioni?
a.

y = (x^{2} + 3 x + 1) \ln x

b.

y = (e^{x} + x) x^{3}

A: a.

(2 x + 3) \ln x + x + 3 + \frac{1}{x}

b.

(e^{x} + 3) x^{3} + 3 x^{2} e^{x}

B: a.

(2 x + 3) \ln x - x - 3 - \frac{1}{x}

b.

3 (e^{x} + 3) x^{2} + 3 x^{2} e^{x}

C: a.

\frac{2 x + 3}{x} + (x^{2} + 3 x + 1) \ln x

b.

(e^{x} + 3) x^{3} + 3 x^{2} e^{x}

D: a.

(2 x + 3) \ln x + x + 3 + \frac{1}{x}

b.

e^{x} x^{3} + 4 x^{3}

Scelta multipla

Significato geometrico di derivata

Scrivi la derivata della funzione nei punti

A

e

B

, considerando il suo significato geometrico.

La derivata di una funzione in un punto rappresenta il coefficiente angolare della retta ________ in quel punto. Dal grafico ricaviamo che il punto

A

ha coordinate ________.
La derivata in

A

è:

f^{'} (2) =

\frac{- 2 - 0}{4 - 2}

=

________
La derivata in

B

è:

f^{'} (6) =

________

= 2

.

Completamento chiuso

Rapporto incrementale

Determina il rapporto incrementale della funzione

y = x^{2} - 5 x

nel punto generico

c

del dominio, per un incremento

h

generico diverso da

0

.

________

Completamento chiuso

Derivata di una funzione composta

Associa ad ogni funzione la sua derivata.

y = (1 - 3 x)^{4}

________

y = \ln (x^{2} + x)

________

y = e^{1 - 2 x^{2}}

________

Posizionamento

Applicazioni delle derivate alla fisica

Un corpo si muove in linea retta seguendo la legge oraria

s (t) = 4 t^{2} + t + 1

. Determina la velocità e l'accelerazione del corpo al variare del tempo e trova in quale istante la velocità è

17

m/s.

La velocità è la derivata della posizione rispetto al tempo:

v (t) = s^{'} (t) =

________

+ 1

.
L'accelerazione è la derivata della velocità rispetto al tempo:

a (t) = v^{'} (t) =

________.
Per determinare l'istante richiesto imponiamo

v (t) = 17

:
________

+ 1 = 17 \to t =

________.
Quindi la velocità è

17

m/s quando

t =

________ s.

Completamento chiuso

Retta tangente

Scrivi l'equazione della tangente

t

alla curva di equazione

y = - 2 x^{3} + 4 x

nel punto

A

di ascissa

1

e verifica che esiste un'altra retta tangente alla curva parallela a

t

.

Determiniamo l'ordinata di

A

sostituendo

x = 1

nell'equazione della funzione, quindi

A (1;

________

)

.
Troviamo il coefficiente angolare della tangente, cioé la derivata in

x_{A}

.
Calcoliamo la derivata e troviamo il suo valore in

x = 1

:

f^{'} (x) = - 6 x^{2} + 4 \to f^{'} (1) =

________.
L'equazione della retta

t

tangente alla funzione nel punto

A

è:

y - 2 =

________

\cdot (x - 1) \to

y = - 2 x + 4

.
Detta

s

l'altra eventuale tangente, si ha

m_{s} = m_{t} = - 2

. Poniamo ________

= m_{s}

:

- 6 x^{2} + 4 =

________

\to

x^{2} = 1

\to

x = \pm 1

.
Quindi

s

è tangente alla curva nel punto di ascissa

x =

________.

Completamento chiuso

Classificare i punti di non derivabilità

Data la funzione

y = {\begin{matrix} 2 x^{2} - x - 1 & se x \leq 1 \\ 3 x - 3 & se x > 1 \end{matrix}

, determina gli eventuali punti di non derivabilità deducendoli dal grafico e con i calcoli.

La funzione ha come dominio

R

. Inoltre è continua e derivabile in ________.
Studiamo la continuità in

x = 1

:

lim_{x \to 1^{-}} (2 x^{2} - x - 1) =

________ e

lim_{x \to 1^{+}} (3 x - 3) = 0

,
quindi la funzione è continua in

x = 1

.
Calcoliamo la derivata:

f^{'} (x) = {\begin{matrix} 4 x - 1 & se x < 1 \\ 3 & se x > 1 \end{matrix}

.
Calcoliamo le derivate sinistra e destra in

x = 1

applicando il criterio di derivabilità e confrontiamo i valori:

f_{-}^{'} (1) =

________

= 3

,

f_{+}^{'} (1) = lim_{x \to 1^{+}} 3 = 3

.
Poiché

f_{-}^{'} (1)

________

f_{+}^{'} (1)

,

f (x)

è derivabile in

x = 1

.
Concludiamo che

f (x)

è derivabile in ________.

Completamento chiuso

Punti di non derivabilità

La funzione rappresentata dal grafico in figura ha:

A: un punto angoloso in

x = 7

.

B:

f_{-}^{'} (2) = - \infty

e

f_{+}^{'} (2) = + \infty

.

C: una cuspide in

x = 3

.

D:

f^{'} (5) = + \infty

.

Vero o falso