FAPlin07 - Limiti #479932 - Prove ed esercizi Zanichelli

Limiti notevoli

Calcola il seguente limite.

lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + 5 x)}{x}

________

Completamento chiuso

Operazioni sui limiti

Calcola il seguente limite.

lim_{x \to + \infty} 4 (x + 3) e^{x}

Abbiamo:

lim_{x \to + \infty} 4 (x + 3) = + \infty

e

lim_{x \to + \infty} e^{x} =

________.
I segni dei due limiti sono ________, quindi

lim_{x \to + \infty} 4 (x + 3) e^{x} =

________.

Completamento chiuso

Operazioni sui limiti

Calcola il seguente limite.

lim_{x \to 1} \frac{4 x^{2} - 5}{(x - 1)^{2}}

Abbiamo:

lim_{x \to 1} (4 x^{2} - 5) = - 1

e

lim_{x \to 1} (x - 1)^{2} =

________.
I segni dei due limiti sono ________, quindi:

lim_{x \to 1} \frac{4 x^{2} - 5}{(x - 1)^{2}} =

________.

Completamento chiuso

Limiti notevoli

Calcola il seguente limite.

lim_{x \to 0} \frac{\sin 4 x}{5 x}

________

Completamento chiuso

Forme indeterminate

Calcola il seguente limite.

lim_{x \to - \infty} (- 4 x^{3} + x^{2} + x)

________

Completamento chiuso

Dal grafico ai limiti

Deduci i seguenti limiti indicati osservando il grafico della funzione

f (x)

in figura.

a.

lim_{x \to 1} f (x)

________
b.

lim_{x \to 3} f (x)

________
c.

lim_{x \to 2^{+}} f (x)

________
d.

lim_{x \to 2^{-}} f (x)

________
e.

lim_{x \to - \infty} f (x)

________
f.

lim_{x \to + \infty} f (x)

________

Completamento chiuso

Limiti notevoli

Calcola il seguente limite.

lim_{x \to 0} \frac{1 - e^{3 x}}{6 x}

Il limite si presenta nella forma indeterminata ________.
Riscriviamo il denominatore come ________ e raccogliamo un segno

-

al numeratore:

lim_{x \to 0} \frac{1 - e^{3 x}}{6 x} =

________.
Applicando il limite notevole

lim_{x \to 0} \frac{e^{f (x)} - 1}{f (x)} =

________, con

lim_{x \to 0} f (x) = 0

,
concludiamo che:

lim_{x \to 0} \frac{1 - e^{3 x}}{6 x} = - \frac{1}{2} \cdot lim_{x \to 0} \frac{e^{3 x} - 1}{3 x} =

________.

Completamento chiuso

Calcola il seguente limite.

lim_{x \to - \infty} \frac{- 6 x^{2} + 2}{2 x^{2} - 5 x}

________

Completamento chiuso

Funzioni continue

Stabilisci se la seguente funzione è continua in

R

.

y = \frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 4}

La funzione è il quoziente di due funzioni continue e il suo dominio è ________, quindi la funzione è continua ________.

Completamento chiuso

Ricerca degli asintoti

Determina le equazioni degli eventuali asintoti della seguente funzione.

y = \frac{5 x^{3} + x^{2}}{2 x^{2} + 3}

Il dominio della funzione è

D

:

R

.
Non ci possono quindi essere asintoti ________.
Calcoliamo i limiti agli estremi del dominio:

lim_{x \to \pm \infty} \frac{5 x^{3} + x^{2}}{2 x^{2} + 3} =

________,
quindi non ci sono asintoti orizzontali. La funzione può ammettere asintoto obliquo. Calcoliamo i limiti:

m = lim_{x \to \pm \infty} \frac{f (x)}{x} = lim_{\pm \infty} \frac{5 x^{3} + x^{2}}{2 x^{3} + 3 x} =

________;

q = lim_{x \to \pm \infty} [f (x) - m x] =

lim_{x \to \pm \infty} (\frac{5 x^{3} + x^{2}}{2 x^{2} + 3} - \frac{5}{2} x) =

lim_{x \to \pm \infty} \frac{2 x^{2} - 15 x}{2 (2 x^{2} + 3)} =

________.
L'asintoto obliquo della funzione è la retta di equazione

y = \frac{5}{2} x +

________.

Completamento chiuso

Funzioni continue

Stabilisci se la seguente funzione è continua in

R

.

f (x) = {\begin{cases} \frac{2 x^{2} - 6 x}{x^{2} - 9} & se x > 3 \\ 2 x + 1 & se x \leq 3 \end{cases}

f (x)

è costituita da due funzioni. La prima è definita per ________ quindi nell'intervallo

x > 3

è sempre definita.
La seconda funzione è continua in

R

, quindi in particolare in

x \geq 3

. Analizziamo la continuità in

x =

________. In

x = 3

la funzione è definita perché

f (3) = 7

. Calcoliamo i limiti sinistro e destro di

f (x)

in

x = 3

:

lim_{x \to 3^{-}} (2 x + 1) =

________ e

lim_{x \to 3^{+}} \frac{2 x^{2} - 6 x}{x^{2} - 9} =

________.
I due limiti sono diversi, quindi

f (x)

________ continua

x = 3

.
Concludiamo che

f (x)

è continua per ogni ________.

Completamento chiuso

Grafico probabile

Disegna il grafico probabile della seguente funzione.

y = x^{4} - 2 x^{2} + 1

Poniamo

f (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 1

. Il dominio di

f (x)

è

R

.
Determiniamo eventuali simmetrie:

f (- x) =

________

\to

f (- x) = f (x)

quindi la funzione è ________.
Determiniamo le intersezioni con gli assi:
• asse

y

:

{\begin{cases} x = 0 \\ y = 1 \end{cases} \to A

________;
• asse

x

:

{\begin{cases} y = x^{4} - 2 x^{2} + 1 \\ y = 0 \end{cases} \to

{\begin{cases} (x^{2} - 1)^{2} = 0 \\ y = 0 \end{cases} \to

________.
Studiamo il segno della funzione:

x^{4} - 2 x^{2} + 1 > 0 \to (x^{2} - 1)^{2} > 0

quindi

f (x)

è positiva per ogni

x \neq

________.
Calcoliamo i limiti agli estremi del dominio:

lim_{x \to \pm \infty} (x^{4} - 2 x^{2} + 1) = + \infty

Il grafico probabile è quello in figura ________

Completamento chiuso

Un problema

La funzione dell'offerta di divise da cuoco associa a ogni valore del prezzo

p

, in euro, di una divisa il numero

h (p)

, espresso in centinaia, di divise che i produttori sono disposti a mettere in commercio. Per un certo tipo di divise la funzione dell'offerta è:

h (p) = \frac{- 60}{p + 4} + 4.

a. Trova per quali valori di

p

l'offerta è positiva o nulla.
b. Disegna un grafico approssimativo di

h (p)

per

p > 0

.

a. Poniamo

h (p)

________

0

:

\frac{- 60}{p + 4} + 4

________

0

\to

\frac{4 p - 44}{p + 4} \geq 0.

Poiché

p

è un prezzo e quindi non può essere negativo,

p + 4 > 0

, quindi la disequazione diventa:

4 p - 44 \geq 0 \to p

________

11

.
Quindi l'offerta

f

è positiva o nulla per

f \geq 11

.

b. Studiamo la funzione. Per

p > 0

,

h (p)

è sempre definita; determiniamo le intersezioni con gli assi:
asse

h

\to

nessuna intersezione, poiché

p > 0

,
asse

p

\to

{\begin{cases} h = \frac{- 60}{p + 4} + 4 \\ h = 0 \end{cases}

\to

A

________.
Per il punto a. sappiamo che

h (p)

è positiva per

p > 11

.
Calcoliamo i limiti agli estremi del dominio:

lim_{p \to 0^{+}} (\frac{- 60}{p + 4} + 4) =

________,

lim_{p \to + \infty} (\frac{- 60}{p + 4} + 4) =

________

\to

y = 4

asintoto orizzontale destro.
Il grafico probabile è quello in figura ________

Completamento chiuso

Grafico probabile

Disegna il grafico probabile della seguente funzione.

y = \frac{3 x}{x^{2} - 4}

Poniamo

f (x) = \frac{3 x}{x^{2} - 4}

.
Il dominio di

f (x)

è

D

:

x \neq \pm 2

.
Determiniamo eventuali simmetrie:

f (- x) = \frac{- 3 x}{x^{2} - 4} \to f (- x) = - f (x)

,
quindi la funzione è ________, pertanto il grafico è simmetrico rispetto all'________.
Determiniamo le intersezioni con gli assi:
asse

y

:

{\begin{cases} x = 0 \\ y = 0 \end{cases}

\to

O (0; 0)

;
asse

x

:

y = \frac{3 x}{x^{2} - 4}

\to

________.
Studiamo il segno della funzione:

\frac{3 x}{x^{2} - 4} > 0

.

N > 0 \to x > 0

;

D > 0 \to x^{2} - 4 > 0 \to

________.
Dal quadro dei segni ricaviamo che

f (x)

è positiva per

- 2 < x < 2 \lor x > 2

.

Calcoliamo i limiti agli estremi del dominio:

lim_{x \to \pm \infty} \frac{3 x}{x^{2} - 4} =

________

\to

y =

________ asintoto orizzontale,

lim_{x \to - 2^{\pm}} \frac{3 x}{x^{2} - 4} = \pm \infty

\to

x = - 2

asintoto verticale.
Il grafico probabile è quello in figura ________

Completamento chiuso

Ricerca degli asintoti

Determina le equazioni degli eventuali asintoti della funzione

y = \frac{3 x^{2}}{x^{2} - 1}

.

Le equazioni degli asintoti orizzontali sono:
________

Le equazioni degli asintoti verticali sono:
________

Completamento chiuso