FAPlin03 - Coniche #419192 - Prove ed esercizi Zanichelli

Problema di massimo

Margherita rilancia la palla con un pallonetto. La palla torna nel campo avversario seguendo la traiettoria descritta dalla parabola di equazione

y = - 2 x^{2} + 2 x + 2

, in cui

y

rappresenta l'altezza rispetto a terra. Qual è l'altezza massima raggiunta dalla palla, sapendo che l'unità di misura utilizzata è il metro?

La parabola

y = - 2 x^{2} + 2 x + 2

ha la concavità rivolta verso ________ perciò l'altezza massima raggiunta dalla palla coincide con ________ del vertice:

y_{V} = \frac{- b^{2} + 4 a c}{4 a} =

________

=

________.
L'altezza massima raggiunta è quindi ________ m.

Completamento chiuso

Posizione di una retta rispetto a una parabola

Determina gli eventuali punti di intersezione tra la retta e la parabola che hanno le seguenti equazioni.

y = - x - 2

,

y = x^{2} + 6 x + 8

.

Mettiamo a sistema l'equazione della retta e quella della parabola:

{\begin{matrix} y = - x - 2 \\ y = x^{2} + 6 x + 8 \end{matrix} .

Per confronto, otteniamo:

x^{2} + 6 x + 8 = - x - 2 \to

________;

Δ =

________

> 0.

Quindi la retta è ________.
Le ascisse dei punti di intersezione sono:
________.
Sostituendo tali valori nell'equazione della retta, troviamo anche le ordinate dei punti di intersezione, che sono:
________.

Completamento chiuso

Determinare l'equazione di un'ellisse

Determina l'equazione dell'ellisse che ha un fuoco in

(4; 0)

e un vertice in

(- 5; 0)

.

________

Completamento chiuso

Determinare l'equazione di una parabola

Qual è l'equazione della parabola, con asse di equazione

x = 4

, passante per l'origine e per

A (1; \frac{7}{8})

.

A:

- \frac{1}{8} y^{2} + y = x

B:

\frac{1}{8} x^{2} - x = y

C:

- \frac{1}{8} x^{2} + 1 = y

D:

- \frac{1}{8} x^{2} + x = y

Scelta multipla

Equazione e grafico di una circonferenza

Determina le coordinate del centro e il raggio della circonferenza di equazione

x^{2} + y^{2} + 6 x - 2 y + 6 y = 0

e rappresentala graficamente.

Riscriviamo l'equazione della circonferenza:

x^{2} + y^{2} + 6 x +

________

= 0

.
Quindi

a =

________,

b =

________ e

c = 0

.
Sostituiamo questi parametri nella condizione di realtà:

\frac{a^{2}}{4} + \frac{b^{2}}{4} - c \geq 0 \to

\frac{36}{4} + \frac{16}{4} - 0 \geq 0 \to 13 \geq 0.

L'equazione data è quindi quella di una circonferenza di raggio

r =

________.
Le coordinate del centro

C

sono:

α =

________

= - 3

;

β =

________

= - 2

.
La circonferenza è quella rappresentata in figura ________.

Completamento chiuso

Equazione e grafico di una parabola

Associa ogni equazione al grafico corrispondente.

________

________

________

________

Posizionamento

Determinare l'equazione di una circonferenza

Scrivi l'equazione della circonferenza rappresentata in figura.

Dal grafico deduciamo che il centro è il punto

C (5; 2)

. Inoltre la circonferenza passa per il punto ________.
Calcoliamo il raggio della circonferenza:

r =

________

=

\sqrt{5}

Troviamo l'equazione della circonferenza:

(x - 5)^{2} + (y - 2)^{2} =

________

\to

x^{2} + y^{2} - 10 x - 4 y

________

= 0

.

Completamento chiuso

Equazione e grafico di un'ellisse

Traccia le ellissi di cui è data l'equazione e determina le coordinate dei vertici, quelle dei fuochi e l'eccentricità.
a.

x^{2} + 4 y^{2} = 9

b.

2 x^{2} + y^{2} = 4

c.

x^{2} + 36 y^{2} = 4

a. Scriviamo l'equazione in forma canonica:

\frac{x^{2}}{9} + \frac{4 y^{2}}{9} = 1

.
Determiniamo le misure dei semiassi:

a = 3

,

b =

________.
Poiché

a

________

b

i fuochi sono sull'asse ________.
Le coordinate dei vertici sono:

A_{1} (- 3; 0), A_{2} (3; 0)

,

B_{1} (0;

________

)

,

B_{2} (0;

________

)

.
Determiniamo i fuochi:

c =

________

= \sqrt{3^{2} - {(\frac{3}{2})}^{2}} = \frac{3 \sqrt{3}}{2}

.
Quindi:

F_{1} (

________

; 0)

e

F_{2} (\frac{3 \sqrt{3}}{2}; 0)

.
L'eccentricità è:

e =

________

=

\frac{\sqrt{3}}{2}

.
Il grafico è quello in figura ________

b. Scriviamo l'equazione in forma canonica:
________.
Determiniamo le misure dei semiassi:

a =

________,

b =

________.
Poiché

a

________

b

i fuochi sono sull'asse ________.
Le coordinate dei vertici sono:

A_{1} (

________;

0)

,

A_{2} (

________;

0)

,

B_{1} (0

;________,

)

,

B_{2} (0

; ________

) .

Determiniamo i fuochi:

c = \sqrt{b^{2} - a^{2}} =

________.
Quindi:

F_{1} (0;

________

)

,

F_{2} (0;

________

)

.
L'eccentricità è:

e =

________

=

________.
L'ellisse è quella in figura ________

c. Scriviamo l'equazione in forma canonica:

\frac{x^{2}}{4} + 9 y^{2} = 1

.
Determiniamo le misure dei semiassi:

a = 2

e

b = \frac{1}{3}

.
Poiché

a

________

b

, i fuochi sono sull'asse ________.
Le coordinate dei vertici sono:

A_{1} (- 2; 0)

,

A_{2} (2; 0)

,

B_{1} (0;

________

)

,

B_{2} (0;

________

)

.
Determiniamo i fuochi:

c =

________

= \frac{\sqrt{35}}{3}

.
Quindi:

F_{1}

________,

F_{2}

________.
L'eccentricità è:

e =

________

=

________.
L'ellisse è quella in figura ________

Completamento chiuso

Determinare l'equazione di un'iperbole

Determina l'equazione dell'iperbole con centro nell'origine e fuochi sull'asse

x

che passa per

P (1; 1)

e

Q (3; 5)

.

________

Completamento chiuso

Equazione e grafico di un'iperbole

Le due equazioni seguenti rappresentano un'ellisse e una retta. Stabilisci la posizione della retta rispetto all'ellisse e determina gli eventuali punti di intersezione.

3 x^{2} + 4 y^{2} = 12; 3 x - 2 y + 6 = 0.

________

Completamento chiuso