Tipo di esercizi
Completamento chiuso
Libro
Matematica.blu biennio (3ª edizione) / Volume 1
Capitolo
Fondamentali alla prova - La proporzionalità e la similitudine
INFO

Matematica

Proporzioni fra grandezze
In un triangolo rettangolo gli angoli acuti sono proporzionali a 10 e 8. Determina la loro ampiezza.

Disegniamo la figura.


B^=90________C^ perché il triangolo ABC è rettangolo in A^ e la somma degli angoli ________ di un triangolo è di 180.

B^:C^=8:10
(90________C^):C^=8:10
90:C^=18:10 per la proprietà del ________
C^=901018=________.

Quindi B^=________.
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Matematica

Teorema di Talete
Costruisci un triangolo ABC. Da un punto P di AB traccia la parallela a CB e chiama Q il suo punto di intersezione con AC. Da P traccia la parallela a QB e indica con R la sua intersezione con AC. Dimostra che AQ è medio proporzionale fra AR e AC.

Disegniamo la figura.


Ipotesi
PQBC;
PRBQ.
Tesi
AP:AQ=________:AC.

AR:________=AP:________ per il teorema di Talete con parallele PR e BQ.
AP:AB=AQ:AC per il teorema di Talete con parallele ________ e BC.
Quindi AR:________=AQ:AC per transitività dell'uguaglianza.
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Matematica

Teorema della bisettrice
Nel triangolo ABC, la bisettrice AD dell'angolo A^ divide il lato BC in due segmenti lunghi 5 cm e 11 cm. Determina la lunghezza di AB e AC, sapendo che il perimetro del triangolo è di 128 cm.

Disegniamo la figura.


BD¯:DC¯=________:________ per il teorema della bisettrice.
AB+AC=128________(11+5)=112 cm.
Quindi ________:________=(112________AC¯):AC¯.
________:11=112:AC¯ per la proprietà del ________ e quindi
AC=________=________ cm.
Infine AB=35 cm.
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Matematica

Similitudine e triangoli

Sul lato AB di un parallelogramma ABCD individua un punto P tale che PB2AP. Traccia da P la parallela al lato BC, che interseca in Q la diagonale AC. Determina l'area del triangolo APQ, sapendo che l'area del parallelogramma è 36 cm².


Disegniamo la figura.

Consideriamo i triangoli APQ e ABC. Essi hanno:

  • A^ è in comune;
  • AQ^PAC^B perché sono angoli ________ su rette parallele;

quindi APQABC per il ________ criterio di similitudine.

In particolare, AB________ per ipotesi quindi il rapporto di similitudine è 3.

Inoltre AABCD=2AABC e
AABC=________AAPQ quindi
AAPQ=________=2 cm².


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Matematica

Teorema delle secanti
Nella circonferenza in figura di centro O, considera le secanti PA e PC. Determina CD¯.


PA¯:________=PD¯:________ per il teorema delle secanti.

Quindi
(52x________2):(3________x)=3:2
2(52x________2)=3(3________x)
2x=5x=________.
Quindi CD¯=________.
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Matematica

Teorema delle corde
In una circonferenza di centro O, due corde AB e CD si intersecano in E. Sai che AE¯=8, EB¯=3, CD¯=10 e CD>ED. Trova ED.

Disegniamo la figura.


AE¯:CE¯=ED¯:EB¯ per il teorema delle ________.
Quindi
________:(10________ED¯)=ED¯:________
10ED¯________ED¯2=24 
ED¯2________10ED¯+24=0 
ED¯=6  ED¯=4.
Quindi ED=________ cm.
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Matematica

Teorema della secante e della tangente
Da un punto P esterno a una circonferenza di raggio 20 cm traccia una retta tangente in T e una retta secante che interseca la circonferenza in A e B (con PA>PB). La distanza dal centro della corda AB è 219 cm e PA=42 cm. Trova la lunghezza di PT.

Disegniamo la figura.


Nel triangolo rettangolo OHB possiamo trovare BH¯:
BH=________=324=________ cm per il teorema di Pitagora.
Quindi PB=42________=________ cm.
Inoltre, PA¯:PT¯=________:PB¯ per il teorema della secante e della tangente.
42:PT¯=________:________ 
PT¯2=252  PT¯=67 cm.


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Matematica

Lunghezza della semicirconferenza e area del cerchio
Completa.

a.   Il rapporto tra l'area di un cerchio e il quadrato del raggio è ________.

b.   Dati due cerchi di raggio r e 2r, il rapporto tra le lunghezze delle circonferenze è ________.

c.   Il raggio di un cerchio di area 100π cm² misura ________ cm.

d.   Una circonferenza di diametro 13 cm è lunga ________ cm.
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Lunghezza di un arco e area di un settore circolare
Un triangolo equilatero ABC è inscritto in un cerchio di area 144π cm². Determina l'area del segmento circolare individuato da un suo lato e la lunghezza dell'arco BC.

Disegniamo la figura.


Troviamo il raggio della circonferenza:
r=Aπ=________ cm.

L'altezza relativa al lato BC è ________ per l'applicazione del teorema di Pitagora ai triangoli equilateri.

Scriviamo quindi l'area del triangolo ABC come
12BC¯________=34BC¯2.

Inoltre r=BC¯3434BC¯2=33BC¯.

Quindi ________=33BC¯, cioè BC=123 cm e l'area di ABC è 34(123)2=1083 cm².

S=________=12(4π________33) cm².

Infine, l'angolo BO^C=________ quindi BC=________=8π cm.
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Matematica

Raggio della circonferenza inscritta e circoscritta
Un triangolo ha i lati di 12 cm, 18 cm e 24 cm. Calcola la misura dell'area compresa tra la circonferenza inscritta e quella circoscritta al triangolo.

Disegniamo la figura.


Troviamo il perimetro del triangolo ABC:
2p=12+18+24=54 cm.

Troviamo l'area del triangolo ABC:
A=27(2712)(2718)(2724)=
2715 cm² per la formula di Erone.

Quindi il raggio della circonferenza inscritta è
r=________=271527=15 cm.
E il raggio della circonferenza circoscritta è
R=________=________=1655 cm.
Calcoliamo le aree delle due circonferenze:
Ac=________ cm²
AC=(165)2π=7685π cm².
Infine troviamo
ACc=7685π________15π=
6935π=138,6π cm².
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