Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica.blu biennio (3ª edizione) Matematica.blu biennio (3ª edizione) / Volume 1 Fondamentali alla prova - La proporzionalità e la similitudine

FAPbbtbluG7 - La proporzionalità e la similitudine

10 esercizi

SVOLGI

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Matematica

Proporzioni fra grandezze

In un triangolo rettangolo gli angoli acuti sono proporzionali a

10

8

. Determina la loro ampiezza.

Disegniamo la figura.

\hat{B} = 90^{\circ}

________

\hat{C}

perché il triangolo

A B C

è rettangolo in

\hat{A}

e la somma degli angoli ________ di un triangolo è di

180^{\circ}

\hat{B} : \hat{C} = 8 : 10 \to

(90^{\circ}

________

\hat{C}) : \hat{C} = 8 : 10 \to

90^{\circ} : \hat{C} = 18 : 10

per la proprietà del ________

\to

\hat{C} = \frac{90^{\circ} \cdot 10}{18} =

________.

Quindi

\hat{B} =

________.

Completamento chiuso

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Matematica

Teorema di Talete

Costruisci un triangolo

A B C

. Da un punto

P

A B

traccia la parallela a

C B

e chiama

Q

il suo punto di intersezione con

A C

. Da

P

traccia la parallela a

Q B

e indica con

R

la sua intersezione con

A C

. Dimostra che

A Q

è medio proporzionale fra

A R

A C

.

Disegniamo la figura.

Ipotesi

P Q ∥ B C

;

P R ∥ B Q

.
Tesi

A P : A Q =

________

: A C

A R :

________

=

A P :

________ per il teorema di Talete con parallele

P R

B Q

A P : A B = A Q : A C

per il teorema di Talete con parallele ________ e

B C

.
Quindi

A R :

________

= A Q : A C

per transitività dell'uguaglianza.

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Matematica

Teorema della bisettrice

Nel triangolo

A B C

, la bisettrice

A D

dell'angolo

\hat{A}

divide il lato

B C

in due segmenti lunghi

5

cm e

11

cm. Determina la lunghezza di

A B

A C

, sapendo che il perimetro del triangolo è di

128

cm.

Disegniamo la figura.

\bar{B D} : \bar{D C} =

________

:

________ per il teorema della bisettrice.

A B + A C = 128

________

(11 + 5) = 112

cm.
Quindi ________

:

________

=

(112

________

\bar{A C}) : \bar{A C}

.
________

:

11 = 112 : \bar{A C}

per la proprietà del ________ e quindi

A C =

________

=

________ cm.
Infine

A B = 35

cm.

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Matematica

Similitudine e triangoli

Sul lato $A B$ di un parallelogramma $A B C D$ individua un punto $P$ tale che $P B ≅ 2 A P$ . Traccia da $P$ la parallela al lato $B C$ , che interseca in $Q$ la diagonale $A C$ . Determina l'area del triangolo $A P Q$ , sapendo che l'area del parallelogramma è $36$ cm².

Disegniamo la figura.

Consideriamo i triangoli $A P Q$ e $A B C$ . Essi hanno:

$\hat{A}$ è in comune;
$A \hat{Q} P ≅ A \hat{C} B$ perché sono angoli ________ su rette parallele;

quindi $A P Q \sim A B C$ per il ________ criterio di similitudine.

In particolare, $A B ≅$ ________ per ipotesi quindi il rapporto di similitudine è $3$ .

Inoltre $A_{A B C D} = 2 A_{A B C}$ e
$A_{A B C} =$ ________ $A_{A P Q}$ quindi
$A_{A P Q} =$ ________ $=$ $2$ cm².

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Matematica

Teorema delle secanti

Nella circonferenza in figura di centro

O

, considera le secanti

P A

P C

. Determina

\bar{C D}

\bar{P A} :

________

=

\bar{P D} :

________ per il teorema delle secanti.

Quindi

(\frac{5}{2} x

________

2

)

:

(3

________

x)

= 3 : 2 \to

2 (\frac{5}{2} x

________

2

)

=

3 (3

________

x)

\to

2 x = 5 \to x =

________.
Quindi

\bar{C D} =

________.

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Matematica

Teorema delle corde

In una circonferenza di centro

O

, due corde

A B

C D

si intersecano in

E

. Sai che

\bar{A E} = 8

\bar{E B} = 3

\bar{C D} = 10

C D > E D

. Trova

E D

.

Disegniamo la figura.

\bar{A E} : \bar{C E} = \bar{E D} : \bar{E B}

per il teorema delle ________.
Quindi
________

:

(10

________

\bar{E D})

=

\bar{E D} :

________

\to

10 \bar{E D}

________

{\bar{E D}}^{2} = 24 \to

{\bar{E D}}^{2}

________

10 \bar{E D} + 24 = 0 \to

\bar{E D} = 6 \lor \bar{E D} = 4

.
Quindi

E D =

________ cm.

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Matematica

Teorema della secante e della tangente

Da un punto

P

esterno a una circonferenza di raggio

20

cm traccia una retta tangente in

T

e una retta secante che interseca la circonferenza in

A

B

(con

P A > P B

). La distanza dal centro della corda

A B

2 \sqrt{19}

cm e

P A = 42

cm. Trova la lunghezza di

P T

.

Disegniamo la figura.

Nel triangolo rettangolo

O H B

possiamo trovare

\bar{B H}

B H =

________

= \sqrt{324} =

________ cm per il teorema di Pitagora.
Quindi

P B = 42 -

________

=

________ cm.
Inoltre,

\bar{P A} : \bar{P T} =

________

:

\bar{P B}

per il teorema della secante e della tangente.

42 : \bar{P T} =

________

:

________

\to

{\bar{P T}}^{2} = 252 \to \bar{P T} = 6 \sqrt{7}

cm.

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Matematica

Lunghezza della semicirconferenza e area del cerchio

Completa.

a. Il rapporto tra l'area di un cerchio e il quadrato del raggio è ________.

b. Dati due cerchi di raggio

r

2 r

, il rapporto tra le lunghezze delle circonferenze è ________.

c. Il raggio di un cerchio di area

100 π

cm² misura ________ cm.

d. Una circonferenza di diametro

13

cm è lunga ________ cm.

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Matematica

Lunghezza di un arco e area di un settore circolare

Un triangolo equilatero

A B C

è inscritto in un cerchio di area

144 π

cm². Determina l'area del segmento circolare individuato da un suo lato e la lunghezza dell'arco

\overset{⌢}{B C}

.

Disegniamo la figura.

Troviamo il raggio della circonferenza:

r = \sqrt{\frac{A}{π}} =

________ cm.

L'altezza relativa al lato

B C

è ________ per l'applicazione del teorema di Pitagora ai triangoli equilateri.

Scriviamo quindi l'area del triangolo

A B C

come

\frac{1}{2} \bar{B C} \cdot

________

=

\frac{\sqrt{3}}{4} {\bar{B C}}^{2}

.

Inoltre

r = \frac{{\bar{B C}}^{3}}{4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}} {\bar{B C}}^{2} = \frac{\sqrt{3}}{3} \bar{B C}

.

Quindi ________

= \frac{\sqrt{3}}{3} \bar{B C}

, cioè

B C = 12 \sqrt{3}

cm e l'area di

A B C

\frac{\sqrt{3}}{4} (12 \sqrt{3})^{2} = 108 \sqrt{3}

cm².

S =

________

=

12 (4 π

________

3 \sqrt{3}

)

cm².

Infine, l'angolo

B \hat{O} C =

________ quindi

\overset{⌢}{B C}

=

________

= 8 π

cm.

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Matematica

Raggio della circonferenza inscritta e circoscritta

Un triangolo ha i lati di

12

cm,

18

cm e

24

cm. Calcola la misura dell'area compresa tra la circonferenza inscritta e quella circoscritta al triangolo.

Disegniamo la figura.

Troviamo il perimetro del triangolo

A B C

2 p = 12 + 18 + 24 = 54

cm.

Troviamo l'area del triangolo

A B C

A = \sqrt{27 \cdot (27 - 12) \cdot (27 - 18) \cdot (27 - 24)} =

27 \sqrt{15}

cm² per la formula di Erone.

Quindi il raggio della circonferenza inscritta è

r =

________

=

\frac{27 \sqrt{15}}{27} = \sqrt{15}

cm.
E il raggio della circonferenza circoscritta è

R =

________

=

________

=

\frac{16}{5} \sqrt{5}

cm.
Calcoliamo le aree delle due circonferenze:

A_{c} =

________ cm²

A_{C} =

{(\frac{16}{\sqrt{5}})}^{2} π = \frac{768}{5} π

cm².
Infine troviamo

A_{C c} = \frac{768}{5} π

________

15 π =

\frac{693}{5} π = 138, 6 π

cm².

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