Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica.blu biennio (3ª edizione) Matematica.blu biennio (3ª edizione) / Volume 1 Fondamentali alla prova - L'equivalenza e le aree, i teoremi di Euclide e di Pitagora

FAPbbtbluG6 - L'equivalenza e le aree, i teoremi di Euclide e di Pitagora

10 esercizi

SVOLGI

Filtri

Matematica

Equivalenza di superfici e aree

Indica se le seguenti informazioni sono vere o false.

A: Due superfici con la stessa area sono equiscomponibili.

B: Due superfici equiscomponibili sono equivalenti.

C: Due superfici congruenti sono equiscomponibili.

D: Due superfici equivalenti sono congruenti.

Vero o falso

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Matematica

Equivalenza di parallelogrammi

Dimostra che, se tracci da ciascun vertice di un triangolo la retta parallela al lato opposto, ottieni tre parallelogrammi equivalenti.

Disegniamo la figura e scriviamo ipotesi e tesi.

Ipotesi

E F ∥ A C

;

D F ∥ B C

;

D E ∥ A B

.
Tesi

A C B F

________

A B C D

________

A B E C

.

Per definizione i quadrilateri

A C B F

A B C D

A B E C

sono parallelogrammi.

A C B F

A B E C

hanno entrambi base

A C

e altezza uguale all'altezza del triangolo

A B C

relativa al lato ________.
Quindi

A C B F ≐

________per il teorema di equivalenza tra parallelogrammi.
Analogamente,

A C B F

A B C D

hanno entrambi base ________ e altezza uguale all'altezza del triangolo

A B C

relativa al lato

B C

.
Quindi ________

≐ A B C D

per il teorema di equivalenza tra parallelogrammi.
Infine, possiamo concludere che

A C B F ≐ A B C D ≐ A B E C

per la ________ dell'equivalenza tra superfici.

Completamento chiuso

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Matematica

Equivalenza fra triangolo e parallelogramma

Considera la figura, in cui

r ∥ s

. Indica se le seguenti affermazioni sono vere o false.

\frac{1}{2} A B C ≐ H B E

A B D > A B C

H B E ≐ A H C

A B D ≐ A H C + H B E

Vero o falso

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Matematica

Equivalenza tra triangolo e trapezio

Il trapezio isoscele

A B C D

ha base maggiore

A B

e altezza

C H

. Dimostra che

A B C D

è equivalente al doppio del triangolo

A C H

.

Disegniamo la figura e scriviamo ipotesi e tesi.

Ipotesi

A D ≅ B C

.
Tesi

A B C D ≐ 2 A C H

A B C D

è equivalente al triangolo con base ________ e stessa altezza.
A sua volta, il triangolo è equivalente al doppio del triangolo con base

\frac{A B + D C}{2}

e ________ altezza.
Inoltre

A H ≅ A B - (\frac{A B - D C}{2}) ≅

________.
Quindi il triangolo

A C H

ha base ________ e altezza la stessa del trapezio.
Possiamo concludere infine che

A B C D

è equivalente ________ di

A C H

per la transitività dell'equivalenza tra superfici.

Completamento chiuso

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Matematica

Equivalenza fra un poligono circoscritto e un triangolo

Disegna un esagono regolare circoscritto a una circonferenza. Dimostra che è equivalente a un triangolo che ha la base congruente al doppio del lato dell'esagono e l'altezza corrispondente congruente al triplo dell'apotema dell'esagono.

Disegniamo l'esagono e il triangolo.
Siano

ℓ

il lato dell'esagono e

a

il suo apotema.

Ipotesi

A B ≅ 2 ℓ

;

C H ≅ 3 a

.
Tesi
Esagono

≐ A B C

.

Troviamo l'area di

A B C

\frac{2 ℓ \cdot 3 a}{2} =

________.
Troviamo l'area del triangolo che ha per base il perimetro dell'esagono e come altezza il suo apotema:

\frac{2 p_{esagono} \cdot a}{2} =

________

= 3 a ℓ

.
Quest'ultimo triangolo e il triangolo

A B C

sono equivalenti perché hanno la stessa ________.
Concludiamo che l'esagono è equivalente al triangolo

A B C

per la transitività dell'equivalenza tra superfici e per l'equivalenza tra poligoni ________ a una circonferenza e triangoli.

Completamento chiuso

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Matematica

Aree di poligoni

Nel rombo

A B C D

congiungi i punti medi

L

M

N

O

dei lati. Sapendo che la somma delle diagonali del rombo è di

31

cm e la loro differenza è di

7

cm, calcola l'area del rettangolo

L M N O

e l'area del rombo

A B C D

.
Disegniamo la figura.

Dai dati del problema, ricaviamo le misure delle diagonali del rombo:

2 \bar{A C} = \bar{B D} - (\bar{B D} - \bar{A C}) =

31

________

7

=

________

\to

A C =

________ cm.
Quindi

B D =

________ cm.
Inoltre

E F =

________ cm e

E H =

________ cm per costruzione.
Calcoliamo l'area del rettangolo:

A_{L M N O} =

________

= 57

cm².
Infine l'area del rombo è:

A_{A B C D} =

________

=

114

cm².

Completamento chiuso

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Matematica

Primo teorema di Euclide

Calcola la lunghezza dei cateti di un triangolo rettangolo, sapendo che l'ipotenusa è lunga

85

cm e le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa sono una i

\frac{2}{3}

dell'altra.

Disegniamo la figura.

Determiniamo le misure delle proiezioni dei cateti sull'ipotenusa:

\frac{2}{3} \bar{A H} + \bar{A H} = 85 \to \frac{5}{3} \bar{A H} = 85 \to

A H =

________ cm.
Quindi

B H

=

34

cm.
Inoltre,

\bar{A H} :

________

=

________

: \bar{A B}

per il primo teorema di Euclide.
Quindi ________

= 85 \cdot 51

e cioè

A C = 17 \sqrt{15}

cm.
Analogamente,
________

: \bar{B C} = \bar{B C} : \bar{A B}

per il primo teorema di Euclide.
Quindi

{\bar{B C}}^{2} = 85 \cdot

________ e cioè

\bar{B C} = 17 \sqrt{10}

cm.

Completamento chiuso

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Matematica

Teorema di Pitagora

Con riferimento alla figura, individua l'affermazione errata.

{\bar{C K}}^{2} = {\bar{A D}}^{2} - {\bar{B K}}^{2}

{\bar{D B}}^{2} = {\bar{A B}}^{2} - {\bar{A D}}^{2}

{\bar{B K}}^{2} = {\bar{D B}}^{2} - {\bar{D K}}^{2}

{\bar{B C}}^{2} = {\bar{D B}}^{2} + {\bar{C D}}^{2}

Scelta multipla

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Matematica

Applicazioni del teorema di Pitagora

Il triangolo

A B C

ha gli angoli adiacenti alla base

B C

30^{\circ}

45^{\circ}

.
Calcola il perimetro, sapendo che ha un'area di

32 (1 + \sqrt{3})

cm².

Disegniamo la figura e chiamiamo

ℓ

l'altezza

A H

.

Il triangolo

A H C

è metà ________.
Quindi

C H ≅

________ e

A C ≅ \sqrt{2} ℓ

perché è la sua diagonale.
Il triangolo

A B H

è metà triangolo equilatero.

A H

è metà del lato quindi

A B ≅

________ e l'altezza

B H

è uguale a

\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2 ℓ =

________.
Possiamo quindi scrivere:

32 (1 + \sqrt{3}) = \frac{\bar{B C} \cdot \bar{A H}}{2} \to

32 (1 + \sqrt{3}) = \frac{(\sqrt{3} ℓ + ℓ) \cdot ℓ}{2} \to

64 (1 + \sqrt{3}) = (\sqrt{3} + 1) ℓ^{2} \to

ℓ =

________.
Quindi

C H = 8

cm,

A C =

________ cm,

A B =

________ cm e

B H = 8 \sqrt{3}

cm.
Infine il perimetro è

2 p = (8 + 8 \sqrt{2} + 16 + 8 \sqrt{3})

=

[8 (3 + \sqrt{2} + \sqrt{3})]

cm.

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Matematica

Secondo teorema di Euclide

In un rombo

A B C D

, il raggio

O H

della circonferenza inscritta divide il lato

A D

in due parti

D H

A H

tali che

A H

supera

D H

6

cm. Determina la lunghezza di

O H

, sapendo che

O H ≅ \sqrt{3} D H

.

Disegniamo la figura.

Consideriamo il triangolo

D O A

\bar{D H} :

________

= \bar{O H} : \bar{A H}

per il secondo teorema di Euclide.
Riscriviamo tutti in termini di

\bar{D H}

:
________

:

\sqrt{3} \bar{D H}

=

\sqrt{3} \bar{D H} : (\bar{D H} + 6) \to

(\sqrt{3} \bar{D H})^{2} = \bar{D H} (\bar{D H} + 6) \to

________

=

{\bar{D H}}^{2} + 6 \bar{D H} \to

2 {\bar{D H}}^{2} - 6 \bar{D H} = 0 \to

2 \bar{D H} (\bar{D H}

________

3) = 0 \to

\bar{D H} = 0 \lor \bar{D H} =

________.
Quindi

\bar{D H} = 3

cm e

\bar{O H} = 3 \sqrt{3}

cm.

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