Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica.blu biennio (3ª edizione) Matematica.blu biennio (3ª edizione) / Volume 1 Fondamentali alla prova - La circonferenza, i poligoni inscritti e circoscritti

FAPbbtbluG5 - La circonferenza, i poligoni inscritti e circoscritti

10 esercizi

SVOLGI

Filtri

Matematica

Luoghi geometrici

Determina il luogo dei centri delle circonferenze tangenti a una circonferenza data e con raggio congruente a

r

.

Disegniamo la circonferenza data con raggio

R

.
Disegniamo anche alcune circonferenze di raggio

r

tangenti ad essa.

Il luogo dei punti che formano i centri delle circonferenze tangenti è una ________ e il suo raggio è ________.

Completamento chiuso

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Matematica

Circonferenza e cerchio

Indica se le seguenti affermazioni sono vere o false.

A: Il cerchio è il luogo dei punti che hanno distanza dal centro minore del raggio.

B: Per tre punti distinti passa sempre una e una sola circonferenza.

C: Il cerchio è una figura convessa e la circonferenza è concava.

D: Se due circonferenze passano entrambe per tre punti distinti, allora coincidono.

Vero o falso

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Matematica

Teoremi sulle corde

Luigi ha una piscina circolare di diametro

6

m. Per giocare con i suoi amici, vuole posizionare delle linee segnacorsia parallele in modo da formare quattro segmenti circolari distanziati in modo regolare. Quanti metri di segnacorsie gli servono in totale?

Segniamo alcuni punti in figura e i due raggi

O C

O D

.

Il raggio della circonferenza è ________ m.
Il triangolo

O C D

è ________ perché

O C = O D = 3

m. La sua altezza è uguale a metà del raggio, cioè

\frac{3}{2}

m.

Derminiamo quindi la lunghezza di

C D

C D = 2 C M = 2 \cdot

________

=

2 \cdot \frac{3}{2} \sqrt{3} =

________ m.
Infine troviamo

A B + 2 C D = 6 +

________ m.

Completamento chiuso

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Matematica

Circonferenze e rette

Date una circonferenza

C

e una retta

r

, quale di queste affermazioni è falsa?

A: Esistono infinite rette secanti

C

parallele a

r

B: Solo una retta parallela a

r

contiene un diametro di

C

C: Esiste solo una tangente a

C

perpendicolare a

r

D: Esistono due rette secanti

C

, equidistanti dal centro e parallele a

r

Scelta multipla

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Matematica

Tangenti per un punto esterno a una circonferenza

Disegna una circonferenza di centro

O

e da un punto

P

esterno a essa conduci le due tangenti in

A

B

. Traccia il diametro per

A

e dimostra che l'angolo

O \hat{A} B

è congruente a metà dell'angolo formato dalle due tangenti.

Disegniamo la figura.

Ipotesi

A C

diametro;

P A

P B

tangenti alla circonferenza.
Tesi

O \hat{A} B ≅ \frac{1}{2} A \hat{P} B

.

Il triangolo

O A B

è isoscele perché

O C ≅ O B

in quanto raggi, quindi

O \hat{A} B ≅ O \hat{B} A

.
Il triangolo

O B C

è isoscele perché

O C ≅ O B

in quanto raggi.
Il triangolo

P B A

è isoscele perché

A P ≅

________ in quanto segmenti di tangenza.
Il triangolo

A B C

è ________ perché è inscritto in una semicirconferenza.
Inoltre,

P \hat{A} B ≅ P \hat{A} O - O \hat{A} B ≅

A \hat{B} C

________

O \hat{B} A

≅ O \hat{B} C

.
Consideriamo i triangoli

O B C

P B A

. Essi hanno:
•

P \hat{A} B ≅ O \hat{B} C

per dimostrazione precedente;
•

P \hat{B} A ≅ O \hat{C} B

perché i triangoli sono isosceli;
quindi

O B C \sim P B A

per il ________ criterio di similitudine.
In particolare,

A \hat{P} B ≅ B \hat{O} C

.
Inoltre,

B \hat{O} C

è angolo al centro che sottende l'arco

B C

quindi

O \hat{A} B ≅

________ perché è il corrispondente angolo alla circonferenza.

Possiamo quindi concludere che

O \hat{A} B ≅ \frac{1}{2} A \hat{P} B

Completamento chiuso

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Matematica

Posizioni reciproche fra circonferenze

Due circonferenze hanno raggi di

12

cm e

21

cm. Determina la loro posizione reciproca nel caso la distanza tra i loro centri sia:
a.

33

cm; b.

8

cm; c.

18

cm; d.

37

cm.

Calcoliamo la somma dei raggi delle due circonferenze

r_{1} + r_{2} = 33

cm e la loro differenza

r_{2} - r_{1} = 9

cm.
Chiamiamo la distanza tra i due centri

\bar{C C^{'}}

.

a.

\bar{C C^{'}} = r_{1} + r_{2}

quindi le due circonferenze sono ________;
b.

\bar{C C^{'}} < r_{2} - r_{1}

quindi la circonferenza col raggio minore è ________ all'altra;
c.

r_{2} - r_{1} < \bar{C C^{'}} < r_{1} + r_{2}

quindi le circonferenze sono ________;
d.

\bar{C C^{'}} > r_{1} + r_{2}

quindi le circonferenze sono ________ l'una all'altra.

Completamento chiuso

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Matematica

Angoli alla circonferenza

Osserva la figura e indica quale delle seguenti relazioni è falsa.

β < α

α ≅ \frac{1}{2} δ

δ ≅ 2 β

β ≅ δ - α

Scelta multipla

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Matematica

Punti notevoli di un triangolo

Dimostra che, se in un triangolo il baricentro e l'ortocentro coincidono, allora il triangolo è equilatero.

Disegniamo la figura con il segmento che parte dal vertice

C

e passa per il baricentro

G

che è anche ortocentro.

Ipotesi

G

è baricentro e ortocentro.
Tesi

A B C

è equilatero.

Consideriamo i triangoli rettangoli

A C M

B C M

. Essi hanno:
•

C M

è in comune;
•

A M ≅ B M

perché

C M

è ________;
quindi

A C M

________

B C M

per il primo criterio di congruenza dei triangoli rettangoli.
In particolare ________

≅ B C

perché elementi corrispondenti in triangoli congruenti.
Possiamo ripetere lo stesso ragionamento tracciando un'altra altezza e mediana e otteniamo anche

A B ≅ A C

.
Quindi concludiamo che

A B C

è ________.

Completamento chiuso

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Matematica

Quadrilateri inscrivibili e circoscrivibili

Dati una circonferenza di centro

O

e un punto esterno

A

, conduci le tangenti

A P

A Q

. Dimostra che il quadrilatero

A P O Q

è inscrivibile e circoscrivibile a una circonferenza.

Disegniamo la figura.

Ipotesi

A P

A Q

tangenti.
Tesi

\hat{A} + \hat{O} ≅ π ≅ \hat{P} + \hat{Q}

;

\bar{A P} + \bar{O Q} = \bar{A Q} + \bar{O P}

\hat{P} ≅ \frac{π}{2} ≅ \hat{Q}

perché tangente e raggio sono perpendicolari.
Quindi

\hat{P} + \hat{Q} ≅

________ e

\hat{A} + \hat{O} ≅ π

perché la somma di angoli interni di quadrilatero è

2 π

.
Quindi

A P O Q

è ________ in una circonferenza.

\bar{A P} = \bar{A Q}

perché ________.

\bar{O P} = \bar{O Q}

perché raggi.
Quindi

\bar{A P} + \bar{O Q} = \bar{A Q} + \bar{O P}

, cioè

A P O Q

è ________ in una circonferenza.

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Matematica

Poligoni regolari

Un quadrato ha il lato di

14

cm. Determina la lunghezza del lato dell'esagono regolare inscritto nella circonferenza circoscritta al quadrato.

Disegniamo la figura.

Notiamo che il lato dell'esagono inscritto è uguale al ________ della circonferenza.
Troviamo quindi prima la diagonale del quadrato:
________

=

\sqrt{2 \cdot 14^{2}}

=

________ per il teorema di Pitagora.
Quindi

b =

________

=

7 \sqrt{2}

cm.

Completamento chiuso

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