Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica in cucina, in sala, in albergo biennio (2ª edizione) Volume 1 16. Complementi di algebra - Fondamentali alla prova

FAPbbcucina16 - Complementi di algebra

10 esercizi

SVOLGI

INFO

Dal grafico all'equazione

La parabola rappresentata in figura ha equazione

y = a x^{2} - 4 x + c

. Indica se le seguenti affermazioni sono vere o false.

a > 0

c = - 1

x_{V} = 1

, allora

a = - 2

a = \frac{9}{4}

, la parabola interseca l'asse

x

nel punto di ascissa

x = 2

Vero o falso

Segno di un trinomio di secondo grado

Studia algebricamente il segno dei seguenti trinomi.
a.

- x^{2} + 3 x - 4

2 x^{2} - x - 3

9 x^{2} + 6 x + 1

- x^{2} + 3 x - 4

Risolviamo l'equazione associata

- x^{2} + 3 x - 4 = 0

Δ = 9

________

16

________

0

.
Il coefficiente di

x^{2}

è negativo, pertanto il trinomio è ________

\forall x \in R

.

b.

2 x^{2} - x - 3

Risolviamo l'equazione associata

2 x^{2} - x - 3 = 0

Δ = 1 + 24 = 25 > 0 \to x = \frac{1 \pm 5}{4} \to

x_{1} = - 1

x_{2} =

________.
Il coefficiente di

x^{2}

è ________, pertanto il trinomio è positivo per valori ________ dell'intervallo delle radici, nullo per

x = - 1 \lor x = \frac{3}{2}

e negativo per valori interni.

c.

9 x^{2} + 6 x + 1

Riconosciamo che il trinomio è un quadrato di binomio:

9 x^{2} + 6 x + 1 =

________.
Il coefficiente di ________ è positivo, quindi il trinomio è positivo per

x \neq

________ e nullo per

x = - \frac{1}{3}

Completamento chiuso

Problema di minimo

La differenza di due numeri è

9

. Calcola il valore minimo del loro prodotto.

Indichiamo con

x

y

i due numeri, con

x > y

. Dai dati del problema , sappiamo che

x - y = 9

, ovvero

y = x - 9

. Il prodotto dei due numeri è

x y = x (x - 9) =

________

- 9 x

.
Il valore ________ di

x

è in corrispondenza dell'ascissa del vertice

V

della parabola, che è:

x_{V} =

________

= \frac{9}{2}

.
Quindi i due numeri sono

\frac{9}{2}

e ________.

Completamento chiuso

Sistemi di secondo grado

Risolvi i seguenti sistemi.

a. ${\begin{cases} x - 3 y = 2 \\ 2 y^{2} - x + 3 = 0 \end{cases}$

b. ${\begin{cases} (x - y)^{2} = 3 - 2 x \\ 3 + x = 2 y \end{cases}$

a. ${\begin{cases} x - 3 y = 2 \\ 2 y^{2} - x + 3 = 0 \end{cases} \to$

${\begin{cases} \end{cases}$	$x = 2$ ________ $3 y$	$\to$
	$2 y^{2} - (2 + 3 y) + 3 = 0$

Risolviamo $2 y^{2} - 3 y + 1 = 0$

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{4} = \frac{3 \pm 1}{4} \to$

$y_{1} = \frac{1}{2}, y_{2} = 1$ .

Sostituiamo nella prima equazione:

${\begin{cases} \end{cases}$	$y_{1} = \frac{1}{2}$	$\lor$	${\begin{cases} \end{cases}$	$y_{2} = 1$	.
	$x_{1} =$ ________			$x_{2} =$ ________

b. ${\begin{cases} (x - y)^{2} = 3 - 2 x \\ 3 + x = 2 y \end{cases} \to$

${\begin{cases} \end{cases}$	$x =$ ________	$\to$
	$(2 y - 3 - y)^{2} = 3 - 2 (2 y - 3)$

${\begin{cases} \end{cases}$	$x = 2 y - 3$	$\to$
	$y^{2}$ ________ $6 y + 9 = 3 - 4 y + 6$

${\begin{cases} x = 2 y - 3 \\ y^{2} - 2 y = 0 \end{cases}$

Risolviamo $y (y - 2) = 0$ :

$y_{1} = 0, y_{2} =$ ________

Sostituiamo nella prima equazione:

${\begin{cases} \end{cases}$	$y_{1} = 0$	$\lor$	${\begin{cases} \end{cases}$	$y_{2} = 2$	.
	$x_{1} =$ ________			$x_{2} = 1$

Completamento chiuso

Disequazioni di secondo grado e problemi

In un triangolo l'altezza supera di

2

cm la metà della base relativa. Determina quali valori può assumere la misura

x

, in cm, della base in modo che l'area sia al massimo

24

cm².

Indichiamo con

h

l'altezza e con

b

la base del triangolo.
Dai dati del problema, possiamo scrivere:

h =

________.
L'area del triangolo è data da ________.
Dobbiamo quindi risolvere l'equazione

\frac{b \cdot h}{2} \leq 24

\to

b \cdot (2 + \frac{b}{2}) \leq 48 \to

\frac{b^{2}}{2} + 2 b - 48 \leq 0 \to b^{2} + 4 b - 96 \leq 0.

Risolviamo l'equazione associata

b^{2} + 4 b - 96 = 0

b = - 2 \pm \sqrt{4 + 96} = - 2 \pm 10 \to

b_{1} = - 12, b_{2} = 8

La disequazione è soddisfatta per ________. Poiché

x

rappresenta la misura della base, l'intervallo delle soluzioni si riduce a ________.

Completamento chiuso

Parabola di equazione $y = a x^{2} + b x + c$

Determina la concavità, il vertice, l'asse di simmetria e gli eventuali punti di intersezione con gli assi cartesiani delle seguenti parabole. Poi traccia il loro grafico.

a. $y = 2 x^{2} + x - 1$

Ha la concavità rivolta verso ________.
Il vertice ha le coordinate
$(- \frac{1}{4};$ ________ $)$ .
L'asse di simmetria è $x = - \frac{1}{4}$ .
Le intersezioni con l'asse $x$ ________. Non ci sono intersezioni con l'asse $y$ .

b. $y = - x^{2} + 2 x - 5$

Ha la concavità rivolta verso il basso.
Il vertice ha le coordinate ________.
L'asse di simmetria è ________ $= 1$ .
Le intersezioni con l'asse $x$ ________. L'intersezione con l'asse $y$ è in $y = - 5$ .

Tracciamo i grafici delle due parabole.

Completamento chiuso

Disequazioni di secondo grado

Risolvi le seguenti disequazioni.
a.

- 10 x^{2} + 3 x + 4 < 0

(x + 2)^{2} - 3 (x + 5) < 4 - x^{2}

3 x [2 (x - 1) - 3] < 3 (x - 4)

2 x (2 x - \frac{1}{4}) + \frac{5}{2} (x + 3) > \frac{1 - 2 x^{2}}{2}

- 10 x^{2} + 3 x + 4 < 0

Risolviamo l'equazione associata:

x =

________

\to

x_{1} = \frac{4}{5}, x_{2} = - \frac{1}{2} .

Quindi la disequazione è soddisfatta per
________.

b.

(x + 2)^{2} - 3 (x + 5) < 4 - x^{2}

x^{2} +

________

+ 4 - 3 x - 15 < 4 - x^{2}

2 x^{2} + x - 15 < 0

Risolviamo l'equazione associata:

x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{4} \to

x_{1} = 3, x_{2} =

________.
Quindi la disequazione è soddisfatta per ________.

c.

3 x [2 (x - 1) - 3] < 3 (x - 4)

3 x [2 x - 2 - 3] < 3 x - 12

6 x^{2}

________

< 3 x - 12

6 x^{2} - 18 x

________

< 0

x^{2} - 3 x + 2 < 0

Risolviamo l'equazione associata:

x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2} \to

x_{1} =

________,

x_{2} = 2

.
Quindi la disequazione è soddisfatta per ________

< x < 2

.

d.

2 x (2 x - \frac{1}{4}) + \frac{5}{2} (x + 3) > \frac{1 - 2 x^{2}}{2}

4 x^{2} - \frac{1}{2} x + \frac{5}{2} x + \frac{15}{2} > \frac{1}{2} - x^{2}

________

x^{2} - x + 5 x + 15 - 1

________

2 x^{2} > 0

10 x^{2} + 4 x +

________

> 0

5 x^{2} + 2 x + 7 > 0

Risolviamo l'equazione associata:

\frac{Δ}{4} = 1 - 35 < 0

.
Quindi la disequazione è soddisfatta ________.

Completamento chiuso

Sistemi di secondo grado e problemi

La differenza fra i due cateti di un triangolo rettangolo è di $6$ cm. L'area del triangolo è $216$ cm². Determina la somma dei cateti.

Indichiamo con $x$ e $y$ le lunghezze dei due cateti con $x > y$ . Dai dati del problema, possiamo scrivere il seguente sistema:

${\begin{cases} \end{cases}$	$x - y = 6$	.
	________ $= 216$

Risolviamo:

${\begin{cases} x = 6 + y \\ (6 + y) \cdot y = 432 \end{cases} \to$

${\begin{cases} \end{cases}$	$x = 6 + y$	.
	$y^{2} + 6 y$ ________ $432 = 0$

$y = - 3 \pm \sqrt{9 + 432} = - 3 \pm 21 \to$

$y_{1} = - 24, y_{2} = 18$ .

Poiché $y$ rappresenta la lunghezza di un cateto, accettiamo ________.

Quindi l'altro cateto è lungo ________ cm.

Completamento chiuso

Disequazione fratte

Risolvi la disequazione

\frac{4 x}{16 - x^{2}} > 0

.

Determiniamo le condizioni di esistenza:
C.E.:

x \neq

________.
Studiamo separatamente il numeratore e il denominatore:

N > 0

4 x > 0 \to x > 0

;

D > 0

16 - x^{2} > 0 \to

________.
Il quadro dei segni è quello in figura ________.

Quindi la disequazione è soddisfatta per ________.

Completamento chiuso

Sistemi di disequazioni

Risolvi il sistema

{\begin{cases} 9 x - 1 < 0 \\ 2 x^{2} + 9 x - 5 \geq 0 \end{cases} .

{\begin{cases} 9 x - 1 < 0 \\ 2 x^{2} + 9 x - 5 \geq 0 \end{cases} .

Risolviamo l'equazione associata:

2 x^{2} + 9 x - 5 = 0 \to

x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 40}}{4} =

________

\to

x_{1} = - 5, x_{2} = \frac{1}{2}

.
Quindi la seconda equazione è soddisfatta per ________.
Il sistema quindi diventa

{\begin{cases} x < \frac{1}{9} \\ x \leq - 5 \lor x \geq \frac{1}{2} \end{cases} .

Lo schema grafico degli intervalli delle soluzioni è quello in figura ________

Quindi il sistema è soddisfatto per ________.

Completamento chiuso