Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica in cucina, in sala, in albergo biennio (2ª edizione) Matematica in cucina, in sala, in albergo biennio (2ª edizione) / Volume 1 15. Equazioni di secondo grado - Fondamentali alla prova

FAPbbcucina15 - Equazioni di secondo grado

13 esercizi

SVOLGI

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Matematica

Scrivi in forma normale le seguenti equazioni e stabilisci se sono di secondo grado.
a.

x^{2} + 2 x = 4 x^{2} + x^{2} - 1

(x + 3)^{2}

5 x^{2} + x (x - 1) = 3 x + 1

a.
L'equazione ________.
È di secondo grado.

b.
L'equazione ________.
È di primo grado.

c.
L'equazione ________.
È di secondo grado.

Completamento chiuso

Il punteggio di un esercizio è determinato
dalla difficoltà: da 1 (più facile) a 5 (più
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Matematica

Soluzioni di un'equazione di secondo grado

Associa a ciascuna equazione una sua soluzione.

a.

x^{2} - 3 x - 10 = 0

________

b.

3 x^{2} + x - 14 = 0

________

c.

x^{2} - 2 = 0

________

d.

4 x^{2} + 2 x - 2 = 0

________

Posizionamento

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Matematica

Equazioni incomplete

Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false.

4 x^{2} = 0 \to x = 4

x^{2} + 9 = 0 \to x = 3 \lor x = - 3

5 x^{2} - 4 x = 0 \to x = 0 \lor x = \frac{5}{4}

x^{2} - 16 = 0 \to x = 4 \lor x = - 4

Vero o falso

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Matematica

Equazioni pure

Risolvi le seguenti equazioni.
a.

2 x^{2} + 1 = 0

5 (x + 4 x^{2}) = 5 (1 + x)

- x^{2} + 30 = - 6

a. Poiché

2 x^{2} + 1 = 0

è un binomio di secondo grado ________ in

R

, con

Δ =

________, l'equazione è soddisfatta per ________.

b.

5 (x + 4 x^{2}) = 5 (1 + x) \to

5 x +

________

x^{2}

= 5 + 5 x \to

20 x^{2} = 5 \to x = \pm

________

=

\pm \frac{1}{2}

.

c.

- x^{2} + 30 = - 6 \to

x^{2} =

________

36

\to

x =

________.

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Matematica

Equazioni spurie

Le soluzioni dell'equazione

3 (x - 1) + 4 x (x - 3) + 4 (x^{2} + x) + 3 = 0

sono:

x = 0 \lor x = - \frac{8}{5}

x = 0 \lor x = - \frac{5}{8}

x = 0 \lor x = \frac{5}{8}

x = \frac{5}{8} \lor x = - \frac{5}{8}

Scelta multipla

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Matematica

Equazioni complete

Risolvi le seguenti equazioni.

a. $(x - 3)^{2} + 2 x (x - 2) = 2$

b. $3 - (3 - x) (x + 5) + 13 = 0$

a. $(x - 3)^{2} + 2 x (x - 2) = 2$

$x^{2} - 6 x + 9 + 2$ ________ $- 4 x - 2 = 0$

$3 x^{2} - 10 x + 7 = 0$

$\frac{Δ}{4} = {(\frac{10}{2})}^{2} -$ ________ $= 4$

$x_{1, 2}$ $=$ $\frac{5 \pm 2}{3} =$	$↗$	$\frac{5 + 2}{3} = \frac{7}{3}$ ;
$x_{1, 2}$ $=$ $\frac{5 \pm 2}{3} =$	$↘$	$\frac{5 - 2}{3} =$ ________.

b. $3 - (3 - x) (x + 5) + 13 = 0$

$3 x - 15$ ________ $x^{2}$ $+ 5 x + 16 = 0$

$x^{2} + 2 x + 1 = 0$

Riconosciamo il quadrato del binomio $(x$ ________ $1)^{2}$ .

Quindi la soluzione è $x =$ ________ $1$ con molteplicità doppia.

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Matematica

Problema con un'equazione di secondo grado

Trova un numero naturale tale che la differenza tra il quadrato del numero che lo precede e il doppio del suo successivo sia $20$ .

Indichiamo con $n$ il numero naturale. Traduciamo il testo del problema in un'equazione e la risolviamo.

$(n - 1)^{2} - 2 (n + 1) = 20$

________ $- 2 n$ ________ $2 - 20 = 0$

$n^{2} - 4 n - 21 = 0$

$\frac{Δ}{4} = {(\frac{4}{2})}^{2}$ ________ $21 = 25$

$n_{1, 2} =$	$2 \pm \sqrt{25}$	$=$	$↗$	$2 + 5 = 7$
$n_{1, 2} =$	________	$=$	$↘$	$2 - 5 = - 3$

Accettiamo come soluzione $n =$ ________, poiché $n$ deve essere un numero naturale.

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Matematica

Equazioni fratte

Risolvi le seguenti equazioni fratte.

a. $\frac{7}{x^{2} - 8 x} + \frac{2}{x} - 1 = 0$

b. $\frac{x}{x + 3} + \frac{2 + x}{x - 3} = 0$

a. $\frac{7}{x^{2} - 8 x} + \frac{2}{x} - 1 = 0$

$\frac{7}{x (x - 8)} + \frac{2}{x} - 1 = 0$

C.E.: $x \neq 0, x \neq$ ________ $8$ .

$7 + 2 (x - 8) - x^{2}$ ________ $8 x$	$= 0$
$x$ ________

$7 + 2 x - 16 - x^{2} + 8 x = 0$

$- x^{2} + 10 x - 9 = 0$

$\frac{Δ}{4} = {(\frac{10}{2})}^{2} -$ ________ $= 16$

$x_{1, 2} =$	$-$ ________ $\pm \sqrt{16}$	$=$	$↗$	$9$
$x_{1, 2} =$	$-$ ________	$=$	$↘$	$1$

b. $\frac{x}{x + 3} + \frac{2 + x}{x - 3} = 0$

C.E. $x + 3 \neq 0 \land x - 3 \neq 0 \to x \neq \pm 3$

$x (x - 3) + (2 + x) (x + 3)$	$= 0$
________

$x^{2} - 3 x + 2 x + 6 + x^{2} +$ ________ $= 0$

$2 x^{2} + 2 x + 6 = 0$

$x^{2} + x + 3 = 0$

$Δ = 1$ ________ $12$

$- 11$ ________ $0$ $\to$ Impossibile.

Completamento chiuso

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Matematica

Somma e prodotto delle soluzioni

Verifica che le seguenti equazioni hanno soluzioni reali e determina la somma e il prodotto delle soluzioni senza risolverle.
a.

2 x^{2} - x - 5 = 0

- x^{2} + x + 7 = 0

3 x^{2} + 5 x - 1 = 0

2 x^{2} - x - 5 = 0

Verifichiamo che l'equazione ha

Δ \geq 0

Δ = 1 + 40

________

0

\to

le radici sono reali.
Calcoliamo somma e prodotto:

s =

________

= \frac{1}{2}

;

p =

\frac{c}{a}

=

________

=

- x^{2} + x + 7 = 0

Verifichiamo che l'equazione ha

Δ \geq 0

Δ = 1

________

28

> 0

\to

le radici sono reali.
Calcoliamo somma e prodotto:

s =

- \frac{b}{a} =

________

= 1

;

p =

________

= \frac{7}{- 1} = - 7

.

c.

3 x^{2} + 5 x - 1 = 0

Verifichiamo che l'equazione ha

Δ \geq 0

Δ = - 5 +

________

> 0

\to

le radici sono reali.
Calcoliamo somma e prodotto.

s =

\frac{- b}{a} =

________

= - \frac{5}{3}

;

p =

________.

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Matematica

Scomposizioni di trinomi

Scomponi in fattori i seguenti trinomi.

a. $4 x^{2} - 13 x + 3$

b. $2 x^{2} + 5 x + 3$

c. $2 x^{2} - 9 x - 35$

a. $4 x^{2} - 13 x + 3$

$Δ = (13)^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 121 > 0$

quindi possiamo decomporre il trinomio.

Risolviamo l'equazione associata $4 x^{2} - 13 x + 3 =$ ________

$x_{1, 2} =$	________ $13 \pm \sqrt{121}$	$=$	$↗$	$\frac{13 + 11}{8} = 3$ ;
$x_{1, 2} =$	$8$	$=$	$↘$	$\frac{13 - 11}{8} = \frac{1}{4}$ .

La scomposizione è

$4 x^{2} - 13 x + 3 =$ ________ $(x - 3) (x - \frac{1}{4})$ .

b. $2 x^{2} + 5 x + 3$

$2 x^{2} + 5 x + 3$

$Δ = 25 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 1 > 0$

quindi possiamo decomporre il trinomio.

Risolviamo l'equazione associata $2 x^{2} + 5 x + 3 = 0$ :

$x_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 1}{4} =$	$↗$	________ $\frac{5 + 1}{4} = - \frac{3}{2}$ ;
$x_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 1}{4} =$	$↘$	________ $\frac{5 - 1}{4} = - 1$ .

La scomposizione è:

$2 x^{2} + 5 x + 3 = 2 (x$ ________ $\frac{3}{2}) (x + 1)$ .

c. $2 x^{2} - 9 x - 35$

$Δ = 81 + 4 \cdot 2 \cdot 35 = 361 > 0$ ,

quindi possiamo decomporre il trinomio.

Risolviamo l'equazione associata $2 x^{2} - 9 x - 35 = 0$ :

$x_{1, 2} =$	$9 \pm \sqrt{361}$	$=$	$↗$	$\frac{9 + 19}{4} = 7$ ;
$x_{1, 2} =$	________	$=$	$↘$	$\frac{9 - 19}{4} = - \frac{10}{4} = - \frac{5}{2}$ .

La scomposizione quindi è:

$2 x^{2} - 9 x - 35 =$

________ $(x - 7) (x$ ________ $\frac{5}{2}) .$

Completamento chiuso

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Matematica

Scomposizione di trinomi

Quale dei seguenti trinomi è irriducibile?

3 x^{2} - 8 x + 2

2 x^{2} + 3 x + 8

- 2 x^{2} + 3 x + 8

3 x^{2} + 2 x - 8

Scelta multipla

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Matematica

Equazioni binomie

Qual è la soluzione delle seguenti equazioni binomie?
a.

x^{8} + 64 = 0

x^{4} - 625 = 0

x^{7} - 128 = 0

a.
________

b.
________

c.
________

Completamento chiuso

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Matematica

Equazioni risolubili con le scomposizioni

Risolvi le seguenti equazioni.

a. $16 x^{2} - x^{6} = 0$

b. $2 x^{5} + x^{4} - 3 x^{3} = 0$

c. $8 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 1 = 0$

a. $16 x^{2} - x^{6} = 0$

________ $(16 - x^{4}) = 0$

$x^{2} = 0 \lor 16 - x^{2} = 0$

Quindi le soluzioni sono ________.

b. $2 x^{5} + x^{4} - 3 x^{3} = 0$

________ $(2 x^{2}$ ________ $x - 3) = 0$

$x^{3} = 0 \lor 2 x^{2} + x - 3 = 0$

Risolviamo l'equazione di secondo grado:

$x_{1, 2} =$	$- 1 \pm \sqrt{1 + 24}$	$=$	$↗$	$1$ ;
$x_{1, 2} =$	________	$=$	$↘$	$- \frac{3}{2}$ .

Quindi le soluzioni sono
$x = 0$ , $x =$ ________ $1$ , $x =$ ________.

c. $8 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 1 = 0$

$4 x^{2} (2$ ________ $- 1) + 2 x - 1 = 0$

$(2 x - 1) (4 x^{2} + 1) = 0$

$2 x - 1 = 0 \lor 4 x^{2} + 1 = 0$

Le soluzioni sono ________.

Completamento chiuso

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