Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica in cucina, in sala, in albergo biennio (2ª edizione) Volume 1 9. Approfondimenti di algebra - Fondamentali alla prova

FAPbbcucina09 - Approfondimenti di algebra

11 esercizi

SVOLGI

INFO

Trinomio speciale

Indica se le uguaglianze sono vere o false.

x^{2} + 3 x + 2 = (x + 2) (x - 1)

a^{2} - 10 a + 21 = (a - 7) (a - 3)

v^{2} + 8 v - 9 = (v + 8) (v - 1)

b^{2} - 12 b - 27 = (b - 9) (b + 3)

Vero o falso

Scomposizione con i prodotti notevoli

Scomponi in fattori:
a.

a b^{2} - 4 a b + 4 a

;
b.

a^{4} x^{2} - 4

;
c.

4 x^{2} + 9 y^{2} + 16 z^{2} + 12 x y + 24 y z + 16 x z

;
d.

a^{6} b^{6} - 9 a^{4} b^{4} + 27 a^{2} b^{2} - 27

;
e.

x^{6} - 1

.

a.

a b^{2} - 4 a b + 4 a =

________

(b^{2} - 4 b + 4) =

a (b

________

2)^{2}

;

b.

a^{4} x^{2} - 4 =

________;

c.

4 x^{2} + 9 y^{2} + 16 z^{2} + 12 x y + 24 y z + 16 x z =

________;

d.

a^{6} b^{6} - 9 a^{4} b^{4} + 27 a^{2} b^{2} - 27 =

________;

e.

x^{6} - 1 =

________

=

(x - 1) (x^{2} + x + 1) (x + 1)

________.

Completamento chiuso

Regola di Ruffini

Esegui la seguente divisione utilizzando la regola di Ruffini:

$(2 a^{3} - 3 a^{2} - 10 a - 1) : (a - 3)$ .

$(2 a^{3} - 3 a^{2} - 10 a - 1) : (a - 3)$

	$2$	$- 3$	$- 10$	________
		________	$+ 9$	$- 3$

________
	$2$	$+ 3$	$- 1$	$- 4$

$Q (x) = 2$ ________ $+ 3 a - 1$ ;

$R (x) = - 4$ .

Completamento chiuso

Scomposizione con il metodo di Ruffini

Scomponi in fattori $3 t^{3} - 4 t^{2} - 5 t + 2$ .

Cerchiamo tra i divisori di $2$ un numero che annulli il polinomio:

$P (1) = 3 \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1^{2} - 5 \cdot 1 + 2 =$

$3 - 4 - 5 + 2 =$ ________;

$P (- 1) = 3 (- 1)^{3} - 4 (- 1)^{2} - 5 \cdot$ ________ $+ 2 =$

$- 3 - 4 + 5 + 2 = - 7 + 7 = 0$ .

Quindi $t + 1$ è un divisore di $P (t)$ . Eseguiamo la divisione.

	$3$	$- 4$	$- 5$	$+ 2$
		$- 3$	$+ 7$	$- 2$
________
	$3$	$- 7$	$+ 2$	________

Il quoziente è $Q (t) = 3 t^{2} - 7 t + 2$ .

Scomponiamo $3 t^{2} - 7 t + 2$ . Riconosciamo il trinomio speciale in forma $a x^{2} + b x + c$ . Cerchiamo due numeri che moltiplicati diano ________ e sommati diano $- 7$ .

Riscriviamo il polinomio e scomponiamolo utilizzando il raccoglimento parziale:

$3 t^{2} - 7 t + 2 = 3 t^{2} - 6 t - 1 t + 2 =$

$3 t (t - 2)$ ________ $(t - 2) =$

$(t - 2) (3 t - 1)$ .

Quindi $P (t)$ è

$3 t^{3} - 4 t^{2} - 5 t + 2 = (t + 1) (t - 2) (3 t - 1)$ .

Completamento chiuso

Raccoglimento totale

Completa raccogliendo a fattore comune.

a.

3 a^{2} b - 9 a b^{2} =

3

________

(a - 3 b)

5 x^{3} + 25 x y + 15 x^{2} =

5

________

(x^{2} + 5 y + 3 x)

7 c^{2} y^{3} - 21 c y^{4} + 14 c y^{3} =

7 c y^{3} (7 c - 3

________

+ 2)

\frac{1}{2} z^{6} + \frac{3}{2} z^{4} =

\frac{1}{2} z^{4}

(

________

+ 3)

Completamento chiuso

Raccoglimento parziale

Scomponi in fattori:
a.

x^{2} y + 3 x - 3 x y z - 9 z

;
b.

6 x - 9 y^{3} - 10 x y + 15 z y^{3}

;
c.

x y z^{2} - 3 z^{2} - 3 y^{2} + x y^{3}

;
d.

4 x^{2} z - 12 x + 11 x y^{4} z^{2} - 33 y^{4} z

.

a.

x^{2} y + 3 x - 3 x y z - 9 z =

x y (x - 3 z) + 3 (x - 3 z) =

(x - 3 z) + 3 (x y

________

)

;

b.

6 x - 9 y^{3} - 10 x z + 15 z y^{3} =

5 z (3 y^{3}

________

)

- 3 (3 y^{3}

________

=

(3 y^{3} - 2 x) (5 z - 3)

;

c.

x y z^{2} - 3 z^{2} - 3 y^{2} + x y^{3} =

z^{2} (x y - 3) +

________

(x y - 3) =

(x y - 3) (z^{2} + y^{2})

;

d.

4 x^{2} z - 12 x + 11 x y^{4} z^{2} - 33 y^{4} z =

________

(x z - 3) +

________

(x z - 3) =

(x z - 3) (4 x + 11 y^{4} z)

Completamento chiuso

MCD e mcm di polinomi

Trova il

MCD

e il

mcm

x^{2} - 25

x^{2} - 5 x

x^{2} - 10 x + 25

.

Scomponiamo in fattori i polinomi dati

x^{2} - 25 =

________

x^{2} - 5 x = x (x - 5)

x^{2} - 10 x + 25 = (x - 5)^{2}

Calcoliamo:

MCD =

________;

mcm =

________.

Completamento chiuso

Semplificazione

Semplifica $\frac{a x - x - 2 a + 2}{x^{2} - 3 x + 2}$ , considerando valide le C.E.

$\frac{a x - x - 2 a + 2}{x^{2} - 3 x + 2} =$

________ $(x - 2) - 1 \cdot (x - 2)$	$=$
$(x - 2) (x - 1)$

$(a - 1)$ ________	$= \frac{a - 1}{x - 1}$
$(x - 2) (x - 1)$

Completamento chiuso

Equazioni numeriche fratte

Risolvi la seguente equazione.

$\frac{5 x}{x - 3} + \frac{5 x + 4}{2 - x} = 0$

Determiniamo le C.E.:

$x - 3 \neq 0 \to x \neq 3$ ;
$2 - x \neq 0 \to x \neq$ ________ $2$ .

Determiniamo il minimo comune denominatore e riduciamo l'equazione data a una equivalente intera.

$5 x (2 - x) + (5 x + 4)$ ________	$= 0$
$(x - 3) (2 - x)$

$10 x - 5 x^{2} + 5 x^{2} - 15 x + 4 x$ ________ $12$	$= 0$
$(x - 3) (2 - x)$

________ $x - 12 = 0$

$x =$ ________ $12$

La soluzione trovata è accettabile.

Completamento chiuso

Equazioni letterali intere

L'equazione

(3 a - 2) x = 6 a - 4

è impossibile se

a = \frac{2}{3}

ha soluzione

x = 2

a \neq \frac{2}{3}

ha soluzione

x = 3 a - 2

a \neq 0

è indeterminata se

a = \frac{2}{3}

Vero o falso

Riduzione a denominatore comune

Completa trasformando ogni frazione in una frazione equivalente con denominatore assegnato, considerando le C.E. valide per entrambe.

a. $\frac{7 x}{x + 2} = \frac{⊔}{x^{2} - 4}$

b. $\frac{a x - 1}{5 a + 3} = \frac{⊔}{10 a^{2} + 6 a}$

c. $\frac{3 x}{a^{3} b} = \frac{⊔}{5 a^{4} b^{3}}$

d. $\frac{y + 1}{y - 3} = \frac{⊔}{y^{2} - 2 y - 3}$

a. $\frac{7 x}{x + 2} =$	$7 x$ ________	$= \frac{7 x^{2} - 14 x}{x^{2} - 4}$
	$x^{2} - 4$

b. $\frac{a x - 1}{5 a + 3} =$	$\frac{(a x - 1) 2 a}{10 a^{2} + 6 a} =$	________
		$10 a^{2} + 6 a$

c. $\frac{3 x}{a^{3} b} =$	$3 x$ ________	$= \frac{15 a b^{2} x}{5 a^{4} b^{3}}$
	$5 a^{4} b^{3}$

d. $\frac{y + 1}{y - 1} =$	$\frac{(y + 1) (y + 1)}{y^{2} - 2 y - 3} =$	$y^{2}$ ________ $2 y + 1$
		$y^{2} - 2 y - 3$

Completamento chiuso