Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica.blu biennio (3ª edizione) Matematica.blu biennio (3ª edizione) / Volume 1 Fondamentali alla prova - Una prova in più - La circonferenza, i poligoni inscritti e circoscritti

FAPONbbtbluG5 - La circonferenza, i poligoni inscritti e circoscritti

10 esercizi

SVOLGI

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Matematica

Luoghi geometrici

Siano

a

b

due semirette con la stessa origine. Trova il luogo geometrico dei centri delle circonferenze tangenti a entrambe le semirette.

Disegniamo le due semirette e alcune circonferenze tangenti a entrambe.

Il luogo dei punti formato dai centri delle circonferenze è una ________ e, in particolare, è ________ dell'angolo formato dalle due semirette.

Completamento chiuso

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Matematica

Circonferenza e cerchio

Quale fra le seguenti affermazioni è vera?

A: Per due punti passa una e una sola circonferenza.

B: Una corda passante per il centro è un diametro.

C: Il cerchio e la circonferenza coincidono.

D: Il cerchio è il luogo dei punti equidistanti da un punto dato.

Scelta multipla

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Matematica

Teoremi sulle corde

In una circonferenza di diametro

A B = 12

cm, sia

C D

una corda perpendicolare al diametro

A B

passante per il punto

M

tale che

A M ≅ 5 B M

. Trova il perimetro del tirangolo

A C D

.

Disegniamo la figura.

La corda

C D

è tagliata a metà dal diametro per il teorema di ________ e diametro ________.

B M =

________ cm

=

2

cm e quindi

A M =

________

\cdot B M =

________ cm.

Consideriamo il triangolo

O C M

, dove

O C = 6

cm in quanto raggio e

O M = (6

________

2)

=

________ cm:

C M = \sqrt{36 - 16} =

________ per il teorema di Pitagora.
Quindi

\bar{C D} = 4 \sqrt{5}

cm.

Troviamo la lunghezza del lato

A C

A C = \sqrt{20 + 100} = 2 \sqrt{30}

per il teorema di Pitagora.
Infine,

2 p_{A C D} =

________ cm.

Completamento chiuso

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Matematica

Circonferenza e rette

Date una circonferenza

C

e una retta

r

, indica se le seguenti affermazioni sono vere o false.

A: Se

r

è secante

C

allora

C

è divisa in due semicirconferenze.

B: Esistono due rette tangenti a

C

e parallele a

r

C: Se

r

è tangente a

C

allora esiste solo una perpendicolare a

r

che sia tangente a

C

D: Esistono infinite rette perpendicolari a

r

secanti

C

Vero o falso

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Matematica

Circonferenza e rette

Siano $A$ e $B$ i due punti di intersezione delle tangenti a una circonferenza passanti da un punto esterno $P$ . Sia inoltre $Q$ l'intersezione con la circonferenza del prolungamento di $O P$ dalla parte di $O$ . Dimostra che il triangolo $A Q B$ è isoscele.

Disegniamo la figura.

Ipotesi

$P A$ e $P B$ tangenti.

Tesi

$A Q B$ isoscele.

Consideriamo i triangoli $B P Q$ e $A P Q$ :

________ è in comune;
$A P ≅ B P$ perché ________;
$B \hat{P} Q ≅$ ________ perché le due tangenti formano angoli congruenti con la congiungente al centro;

quindi i triangoli $B P Q$ e $A P Q$ sono congruenti per il primo criterio di congruenza dei triangoli.

In particolare ________ $≅ A Q$ .

Quindi $A B Q$ è isoscele.

Completamento chiuso

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Matematica

Posizioni reciproche fra circonferenze

Siano

C

C^{'}

due circonferenze con centri

C

C^{'}

e raggi

r = 14

cm e

r^{'} = 18

cm. Indica se le seguenti affermazioni sono vere o false.

A: Se

\bar{C C^{'}} = 4

cm allora

C

C^{'}

sono secanti.

B: Se

\bar{C C^{'}} = 12

cm allora

C

C^{'}

sono secanti.

C: Se

\bar{C C^{'}} = 32

cm allora

C

C^{'}

sono tangenti internamente.

D: Se

\bar{C C^{'}} = 41

cm allora

C

è interna a

C^{'}

E: Se

\bar{C C^{'}} = 0

cm allora

C

C^{'}

sono concentriche.

Vero o falso

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Matematica

Angoli alla circonferenza

Siano

A B

B C

due archi su una circonferenza come in figura tali che

\overset{⌢}{A B} ≅ 2 \overset{⌢}{B C}

. Dimostra che

A \hat{P} B ≅ B \hat{O} C

.

Scriviamo ipotesi e tesi.
Ipotesi

A B ≅ 2 B C

.
Tesi

A \hat{P} B ≅ B \hat{O} C

A \hat{O} B

è angolo ________ corrispondente all'angolo ________

A \hat{P} B

, quindi

A \hat{O} B ≅ 2 A \hat{P} B

per il teorema degli angoli al centro e alla circonferenza.

B \hat{O} C ≅

è un angolo ________ che sottende l'arco

\overset{⌢}{B C}

che per ________ è la metà ________.
Quindi

B \hat{O} C ≅

________

A \hat{O} B

.
Infine

B \hat{O} C ≅ \frac{1}{2} (2 A \hat{P} B) ≅ A \hat{P} B .

Completamento chiuso

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Matematica

Punti notevoli di un triangolo

In un triangolo rettangolo:

A: l'ortocentro coincide con un vertice del triangolo.

B: l'incentro è sempre esterno al triangolo.

C: il circocentro può essere esterno al triangolo.

D: il baricentro si trova sempre sull'ipotenusa del triangolo.

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Matematica

Quadrilateri inscrivibili e circonscrivibili

Sia

A B C D

un trapezio isoscele con la base maggiore congruente a

\frac{3}{2}

del lato obliquo e quella minore congruente a

\frac{1}{3}

della base maggiore.
Dimostra che il trapezio

A B C D

è circoscrivibile.

Disegniamo la figura.

Ipotesi

A B ≅ \frac{3}{2} A D

;

C D ≅ \frac{1}{3} A B

.
Tesi

A B C D

è circoscrivibile.

Sappiamo che

\bar{C D} ≅ \frac{1}{3} \bar{A B} ≅ \frac{1}{3} (\frac{3}{2} \bar{A D}) ≅

________

\bar{A D}

\bar{A D} + \bar{B C} ≅

________

\bar{A D}

;

\bar{A B} + \bar{C D} ≅ \frac{3}{2} \bar{A D} +

________

\bar{A D} ≅

________

\bar{A D}

;
quindi

\bar{A D} + \bar{B C} ≅ \bar{A B} + \bar{C D}

.
Possiamo così concludere che

A B C D

è ________.

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Matematica

Poligoni regolari

L'apotema e il lato di un pentagono regolare misurano

15

cm e

16

cm. Determina la lunghezza del lato del quadrato circonscritto alla circonferenza circoscritta al pentagono dato.

Disegniamo la figura. Indichiamo con

a

l'apotema del pentagono, con

r

il raggio della circonferenza circoscritta a esso e con

ℓ_{p}

ℓ_{q}

i lati del pentagono e del quadrato rispettivamente.

________ divide a metà ________ del pentagono regolare.

r

a

\frac{ℓ_{p}}{2}

quindi formano un triangolo ________.
Determiniamo

r

r =

________

=

17

cm per il teorema di Pitagora.

r

è ________ del lato del quadrato quindi

ℓ_{q} =

________ cm.

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