Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Triangoli Proprietà degli angoli di un poligono Somma degli angoli interni di un triangolo

FAPBBverdeG3 - Perpendicolari e parallele, parallelogrammi e trapezi

12 esercizi

SVOLGI

INFO

Matematica

Rette perpendicolari e parallele

Indica se le seguenti affermazioni sono vere o false.
Affinché due rette siano:

A: perpendicolari, è sufficiente che siano incidenti.

B: perpendicolari, è necessario che non siano parallele.

C: parallele, è sufficiente che siano perpendicolari a una stessa retta.

Vero o falso

Il punteggio di un esercizio è determinato
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Matematica

Dimostrazione sul parallelogramma

Dimostra che, se i parallelogrammi

A B C D

A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

hanno

A C ≅ A^{'} C^{'}

A \hat{C} D ≅ A^{'} \hat{C^{'}} D^{'}

A \hat{C} B ≅ A^{'} \hat{C^{'}} B^{'}

allora sono congruenti.

Disegniamo la figura.

Osserviamo che

B \hat{C} D ≃ B^{'} \hat{C^{'}} D^{'}

, inoltre per parallelismo abbiamo che

B \hat{C} D ≃

________ e rispettivamente

B^{'} \hat{C^{'}} D^{'} ≃ C^{'} \hat{B^{'}} A^{'}

. Da cui abbiamo che ________

≃

C^{'} \hat{B^{'}} A^{'}

e di conseguenza

C \hat{A} B ≃ C^{'} \hat{A^{'}} B^{'}

.
Abbiamo quindi che i triangoli ________ e

A^{'} B^{'} C^{'}

sono congruenti per il secondo criterio.
I parallelogrammi

A B C D

A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

________ quindi congruenti.

Completamento chiuso

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Matematica

Inverso del criterio di parallelismo

Le rette nere in figura sono parallele. Determina

x

y

x = 115^{\circ}

y = 85^{\circ}

x = 75^{\circ}

y = 95^{\circ}

x = 100^{\circ}

y = 80^{\circ}

x = 105^{\circ}

y = 75^{\circ}

Scelta multipla

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Matematica

Problema con il parallelogramma

Nel parallelogramma

A B C D

, l'angolo

\hat{A}

è inferiore di

40^{\circ}

rispetto all'angolo

\hat{D}

.
Calcola le ampiezze degli angoli del parallelogramma.

Poiché

A B C D

è un parallelogramma,

\hat{A} ≅

________ e

\hat{B} ≅

________.
Per ipotesi,

\hat{A} = \hat{D} - 40^{\circ}

.
Inoltre, deve essere

\hat{A} + \hat{D} =

________

\to

________

=

________

\to \hat{D} =

________.
Pertanto,

\hat{A} =

________.

Completamento chiuso

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Matematica

Somma degli angoli interni di un triangolo

Nella figura l'ampiezza indicata con

x

è:

35^{\circ}

20^{\circ}

30^{\circ}

25^{\circ}

Scelta multipla

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Matematica

Inverso del criterio di parallelismo

Dato il triangolo isoscele

A B C

di base

A B

traccia l'altezza

C H

e dal punto

H

manda la parallela al lato

B C

che interseca il lato

A C

nel punto

P

. Dimostra che il triangolo

A H P

è isoscele.

Ipotesi:
•

A B C

triangolo isoscele;
•

C H

altezza del triangolo

A B C

;
•

H P ∥ B C

.

Tesi:

A H P

è un triangolo isoscele.

Dimostrazione
Per ipotesi,

A B C

è isoscele, quindi avrà angoli alla base congruenti:

A \hat{B} C ≅ B \hat{A} C

.
Consideriamo

H P ∥ B C

per ipotesi, tagliati dalla trasversale

A B

.
Per l'inverso del criterio di parallelismo,

A \hat{H} P ≅ A \hat{B} C

in quanto angoli ________.
Di conseguenza,

B \hat{A} C ≅

________ e

A H P

è isoscele in quanto ha angoli alla base congruenti.

Completamento chiuso

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Matematica

Criterio di parallelismo

Due segmenti

A B

C D

si intersecano nel loro punto medio. Dimostra che

A C ∥ D B

e che

C B ∥ A D

.

Chiamiamo

M

il punto medio di

A B

A D

.

Ipotesi:
•

A M ≅ M B

;
•

C M ≅ M D

.

Tesi:
•

A C ∥ D B

;
•

C B ∥ A D

.

Dimostrazione
Gli angoli

A \hat{M} C

e ________ sono congruenti,
in quanto opposti al vertice. Anche gli angoli

C \hat{M} B

e ________ sono congruenti perché opposti al vertice.
Per cui si ha

A M C ≅ B M D

A M D ≅ C M B

per il

1^{\circ}

criterio di congruenza dei triangoli.
In particolare

A \hat{C} M ≅ B \hat{D} M

, perché elementi corrispondenti in triangoli congruenti. Quindi

A C

D B

sono tagliati dalla trasversale

C D

e formano angoli alterni ________ congruenti, pertanto,

A C ∥ D B

per il criterio di parallelismo. Analogamente, possiamo affermare che

B \hat{C} M ≅ A \hat{D} M

. Quindi sempre per il criterio di parallelismo

C B ∥ A D

in quanto vengono tagliati dalla trasversale ________ formando angoli alterni interni congruenti.

Completamento chiuso

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Matematica

Problema con il rettangolo

In un rettangolo

A B C D

il lato

A B

è il triplo di

B C

. Sapendo che il perimetro è

256

cm, calcola le lunghezze dei lati

C D

A D

.

Poiché

A B C D

è un rettangolo,

A B ≅

________ e ________

≅ A D

.

Per ipotesi,

A B =

________

B C

e il perimetro è

256

cm.

Da cui:
________

(A B + B C) =

________

(

________

B C + B C) =

________

B C

256

=

________

B C \to

B C =

________ cm.
Di conseguenza,

A B =

________ cm.

Completamento chiuso

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Matematica

Problema con il trapezio

Determina le ampiezze degli angoli interni del trapezio

A B C D

D \hat{A} H =

________;

A \hat{D} C =

126^{\circ}

;

D \hat{C} K = K \hat{C} B =

________

\to

D \hat{C} B =

________;

C \hat{K} B = 52^{\circ} \to C \hat{B} K =

________.

Completamento chiuso

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Matematica

Teorema di Talete

Nel triangolo

A B C

in figura,

M N

è parallelo ad

A B

e il perimetro è

56

cm. Quanto misura

M N

?

Per il teorema di Talete abbiamo che

B N =

________.

Il perimetro è:

2 (x + 3) + 2 (4 x - 5) + 4 x + 4 = 56 \to

________

x = 56 \to x =

________.

Abbiamo quindi che:

A B =

________ cm e

M N =

________ cm.

Completamento chiuso

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Matematica

Quadrato

Un parallelogramma è un quadrato se ha:

A: le diagonali perpendicolari.

B: le diagonali congruenti.

C: gli angoli retti.

D: le diagonali perpendicolari e congruenti.

Scelta multipla

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Matematica

Problema con il rombo

Considera il triangolo equilatero

A B C

di perimetro

24

cm e la bisettrice

B D

dell'angolo in

B

. Conduci da

D

le parallele ai lati

C B

A B

che incontrano i lati stessi in

E

F

. Quanto vale il perimetro del rombo

D E B F

12

10

8

16

Scelta multipla

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