FAPBBbluG3 - Rette perpendicolari e rette parallele #474319

Inverso del criterio di parallelismo

Dato il triangolo isoscele

A B C

di base

A B

traccia l'altezza

C H

e dal punto

H

manda la parallela al lato

B C

che interseca il lato

A C

nel punto

P

. Dimostra che il triangolo

A H P

è isoscele.

Ipotesi:
•

A B C

triangolo isoscele;
•

C H

altezza del triangolo

A B C

;
•

H P ∥ B C

.

Tesi:

A H P

è un triangolo isoscele.

Dimostrazione
Per ipotesi,

A B C

è isoscele, quindi avrà angoli alla base congruenti:

A \hat{B} C ≅ B \hat{A} C

.
Consideriamo

H P ∥ B C

per ipotesi, tagliati dalla trasversale

A B

.
Per l'inverso del criterio di parallelismo,

A \hat{H} P ≅ A \hat{B} C

in quanto angoli ________.
Di conseguenza,

B \hat{A} C ≅

________ e

A H P

è isoscele in quanto ha angoli alla base congruenti.

Completamento chiuso

Inverso del criterio di parallelismo

Le rette nere in figura sono parallele. Determina

x

e

y

.

A:

x = 115^{\circ}

,

y = 85^{\circ}

B:

x = 75^{\circ}

,

y = 95^{\circ}

C:

x = 100^{\circ}

,

y = 80^{\circ}

D:

x = 105^{\circ}

,

y = 75^{\circ}

Scelta multipla

Criterio di parallelismo

Due segmenti

A B

e

C D

si intersecano nel loro punto medio. Dimostra che

A C ∥ D B

e che

C B ∥ A D

.

Chiamiamo

M

il punto medio di

A B

e

A D

.

Ipotesi:
•

A M ≅ M B

;
•

C M ≅ M D

.

Tesi:
•

A C ∥ D B

;
•

C B ∥ A D

.

Dimostrazione
Gli angoli

A \hat{M} C

e ________ sono congruenti,
in quanto opposti al vertice. Anche gli angoli

C \hat{M} B

e ________ sono congruenti perché opposti al vertice.
Per cui si ha

A M C ≅ B M D

e

A M D ≅ C M B

per il

1^{\circ}

criterio di congruenza dei triangoli.
In particolare

A \hat{C} M ≅ B \hat{D} M

, perché elementi corrispondenti in triangoli congruenti. Quindi

A C

e

D B

sono tagliati dalla trasversale

C D

e formano angoli alterni ________ congruenti, pertanto,

A C ∥ D B

per il criterio di parallelismo. Analogamente, possiamo affermare che

B \hat{C} M ≅ A \hat{D} M

. Quindi sempre per il criterio di parallelismo

C B ∥ A D

in quanto vengono tagliati dalla trasversale ________ formando angoli alterni interni congruenti.

Completamento chiuso

Somma degli angoli interni di un triangolo

Nella figura l'ampiezza indicata con

x

è:

A:

35^{\circ}

.

B:

20^{\circ}

.

C:

30^{\circ}

.

D:

25^{\circ}

.

Scelta multipla

Problema con le rette perpendicolari

Trova le ampiezze di tutti gli angoli della figura, in cui

a ⊥ c

e

b ⊥ d

.

L'angolo

δ

è ampio ________ perché opposto al vertice di un angolo di

28^{\circ}

.

Gli angoli

α

e

σ

sono ________ di un angolo di

28^{\circ}

, quindi

α = σ =

________.

Equivalentemente,

γ = ε =

________ perché complementari di ________.

Gli angoli

β

e ________ sono complementari rispettivamente di ________ e

σ

, quindi

β = ρ =

________.

Completamento chiuso

Rette perpendicolari e parallele

Indica se le seguenti affermazioni sono vere o false.
Affinché due rette siano:

A:

perpendicolari, è sufficiente che siano incidenti.

B:

perpendicolari, è necessario che non siano parallele.

C:

parallele, è sufficiente che siano perpendicolari a una stessa retta.

Vero o falso

Criteri di congruenza dei triangoli rettangoli

Dimostra che in un triangolo isoscele il punto medio della base è equidistante dai lati obliqui.

Chiamiamo

A B C

il triangolo isoscele,

M

il punto medio di

A B

,

D M

ed

M E

le distanze del punto

M

dai lati

A C

e

B C

, rispettivamente.

Ipotesi:
•

A B C

triangolo isoscele;
•

A M ≅ M B

;
•

D M ⊥ A C

e

M E ⊥ B C

.

Tesi:

D M ≅ M E

.

Dimostrazione
Consideriamo i triangoli

A M D

e

M B E

: hanno gli angoli

A \hat{D} M

e

M \hat{E} B

retti, quindi sono triangoli rettangoli. Inoltre:

A M ≅ M B

perché per ipotesi

M

è il punto medio di

A B

; ________ perché angoli alla base di un trinagoli isoscele. Quindi

A M D ≅ M B E

per il ________ criterio di congruenza dei triangoli rettangoli.
In particolare, ________, ossia il punto medio della base è equidistante dai lati obliqui.

Completamento chiuso

Dimostrazione con le rette perpendicolari

Sull'asse di un segmento

A B

considera un punto

P

. Dimostra che

P A ≅ P B

e che

P \hat{A} B ≅ P \hat{B} A

.

Chiamiamo

H

l'intersezione tra l'asse e il segmento

A B

.

Ipotesi:
•

P H ⊥ A B

;
•

A H ≅ H B

.

Tesi:
•

P A ≅ P B

;
•

P \hat{A} B ≅ P \hat{B} A

.

Dimostrazione
Consideriamo i triangoli

A H P

e

P H B

, essi hanno:

P H

in comune,

A \hat{H} P ≅

________ in quanto retti e

A H ≅ H B

,
sono quindi congruenti per il ________ criterio di congruenza dei triangoli.
In particolare, vale

P A ≅ P B

e

P \hat{A} B ≅ P \hat{B} A

in quanto elementi corrispondenti di triangoli congruenti.

Completamento chiuso