Disuguaglianze nei triangoli

Completa inserendo i simboli $<$, $>$ o $\cong$.
a. $AC$ ________ $BC$.
b. $AB$ ________ $AC$.
c. $CB$ ________  $AB$.

Un triangolo può avere lati di lunghezze:

a.   Si può costruire un triangolo di perimetro $64$ con i lati indicati in figura? Spiega perché.
b.   Per quali valori di $x$ esiste il triangolo?

a.   L'espressione per il perimetro è
________$+16$
quindi il valore $64$ corrisponde a
$x=$ ________.
I lati del triangolo sono quindi $18$, $20$ e $26$ che sono tre misure valide per formare un triangolo, infatti:
$26$________$18<20<26+18\to 8<20<44$;
$26-20<18<26+20\to 6<18<46$;
$20-18<$________$<20+18\to 2<26<38$.

b.   $3x+2<2x+4+x+10\to$
$3x+2<3x+14$
che è vera per $x>$________;
$2x+4<x+10+3x+2\to$
$2x-4<3x+12$
che è vera per $x>$________:
$x+10<2x+4+3x+2\to$
$x+10<5x+6$
che è vera per $x>$________.
Quindi il triangolo esiste per $x>$ ________.

Utilizzando le informazioni che puoi dedurre dalla figura, dimostra che il perimetro del triangolo $ABC$ è minore di $4CD$.

Ipotesi
$AB\cong BD$
$C\hat{A}D\cong {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$

Tesi
$AB+BC+AC<4CD$

Dimostrazione

Nel triangolo rettangolo $ABD$, $AC$ è ________ e $CD$ è ________, quindi:
$AC$  ________$CD$.

Nel triangolo $CBD$ l'angolo $C\hat{B}D$ è ottuso perché supplementare di $C\hat{B}A$ che è acuto in quanto angolo diverso dall'angolo ________ nel triangolo rettangolo $ABC$.
Ad angolo maggiore sta opposto lato ________, quindi
$BC$ ________$CD$.

Sempre nel triangolo $CBD$ vale la disuguaglianza $BD<$ ________.
Poiché, come abbiamo dimostrato, $BC<CD$:
$CD+BC<CD+$________
da cui, per la proprietà transitiva:
$BD<CD+CD\cong 2CD$
ed essendo $BD\cong AB$ per ipotesi:
$AB<2CD$.

Sommiamo membro a membro le tre disuguaglianze ottenute.
$AC+BC+AB<CD+$ ________$CD+$ ________ $CD$
$AC+BC+AB<4CD$
Il perimetro del triangolo $ABC$ è allora minore di $4CD$.

In una riserva naturale, di forma triangolare, si deve posizionare una torre di osservazione in un punto $P$. Il perimetro della riserva, schematizzata in figura, è di $1450$ m. Considera la lunghezza complessiva minima dei sentieri $AP$, $BP$ e $CP$ che collegano $P$ con $A$, $B$ e $C$. Di quale lunghezza deve essere comunque maggiore?

$AP+PC$ ________$650$;
$PC+PB>$ ________;
$AP+PB>500$.
Quindi $2AP+2PB+2PC$ ________$1450$.
Dimezziamo entrambi i membri e otteniamo
$AP+PB+PC>$ ________.

Esiste il triangolo se $\overline{AC}=8$? E se $\overline{AC}=14$? Quali condizioni deve soddisfare $\overline{AC}$ affinché si possa costruire il triangolo in figura?

Per le disuguaglianze dei triangoli
$20$________$13<\overline{AC}<20$________$13$
cioè $7<\overline{AC}<33$.
Quindi sia il valore $8$ che il valore $14$________ possibili valori per la costruzione di un triangolo.

Considera i tre segmenti che soddisfano le seguenti condizioni. Indica se è possibile costruire con essi un triangolo $ABC$.
a.   $AC\cong AB$, $AC\cong {\displaystyle \frac{1}{2}BC}$.
b.   $AB\cong 2BC$, $BC\cong 2AC$.
c.   $AB\cong 2BC$, $AC\cong {\displaystyle \frac{3}{2}BC}$.
d.   $AC\cong 2AB$, $3AB\cong BC$.

Per ogni terna è possibile costruire un triangolo se sono soddisfatte le tre disuguaglianze
$AB<AC+BC$;
$BC<AC+AB$;
$AC<AB+BC$.

a.
$AC+AB\cong {\displaystyle \frac{1}{2}BC+}$________$BC\cong BC$;
quindi non è possibile costruire un triangolo in quanto non è verificata la ________ disuguaglianza.

b.
Dalle congruenze date ricaviamo:
$AC\cong {\displaystyle \frac{1}{2}BC}$;
$BC\cong {\displaystyle \frac{1}{2}AB}$;
da cui
$AC\cong {\displaystyle \frac{1}{2}(\frac{1}{2}}$________ $)\cong {\displaystyle \frac{1}{4}}$ ________.

Dalle congruenze precedenti otteniamo:
$AC+BC\cong$ ________ $AB$,
quindi non è possibile costruire un triangolo in quanto non è verificata la ________ disuguaglianza.

c.
Dalle congruenze date ricaviamo:
$AC+BC\cong {\displaystyle \frac{3}{2}BC+}$________ $\cong$
${\displaystyle \frac{5}{2}BC\cong {\displaystyle \frac{5}{2}(}}$________$AB)\cong {\displaystyle \frac{5}{4}AB}$;

$AB+AC\cong 2BC+{\displaystyle \frac{3}{2}BC\cong }$________$BC$;

$AB+BC\cong 2BC+$________$\cong$
________$($________$AC)\cong 2AC$.

Abbiamo allora che:
$AC+BC\cong {\displaystyle \frac{5}{4}AB\to AB<AC+BC}$;
$AB+AC\cong {\displaystyle \frac{7}{2}BC\to BC<AB+AC}$;
$AB+BC\cong 2AC\to AC<AB+BC$;
quindi è possibile costruire un triangolo.

d.
Dalla seconda delle congruenze date otteniamo:
$3AB\cong BC\to AB\cong {\displaystyle \frac{1}{3}BC}$.

$AB+AC\cong AB+$________$AB\cong$
________$AB\cong 3\left({\displaystyle \frac{1}{3}BC}\right)\cong BC$,
quindi non è possibile costruire un triangolo in quanto non è verificata la ________ disuguaglianza.