Criteri di congruenza, triangoli isosceli ed equilateri #601823

Usando le informazioni della figura, dimostra che i triangoli

C B D

e

C^{'} B^{'} D^{'}

sono congruenti.

Dimostrazione
Sappiamo per ipotesi che

A B

è congruente a ________ e che

A C

è congruente a ________. Inoltre, sempre per ipotesi, l'angolo

C \hat{A} B

è ________ all'angolo

C^{'} \hat{A^{'}} B^{'}

. Pertanto, applicando il Primo criterio di congruenza dei triangoli, possiamo dire che i triangoli ________ sono congruenti. Da questo sappiamo che il lato

B C

è congruente al lato ________ e che l'angolo

A \hat{B} C

è congruente all'angolo ________. A questo punto notiamo che gli angoli

C \hat{B} D

e

C^{'} \hat{B^{'}} D^{'}

sono ________ di angoli congruenti, e quindi anche loro sono ________. Possiamo dunque applicare il Primo principio di congruenza tra i triangoli

C B D

e

C^{'} B^{'} D^{'}

poiché abbiamo ________ e ________ tra essi compreso congruenti.

Completamento chiuso

Il triangolo

A B C

è isoscele di base

A B

. Tenendo conto delle informazioni riportate in figura, dimostra che

D F ≅ E G

.

Ipotesi:

A C ≅ B C

;

C D ≅ C E

;

F \hat{D} E ≅ G \hat{E} D

.
Tesi:

D F ≅ E G

.

Dimostrazione
Il triangolo

D C E

è isoscele quindi per il teorema del triangolo isoscele si ha

C \hat{D} E ≅

________.
Inoltre,

A \hat{D} F ≅ π - (C \hat{D} E +

________

) ≅

π - (C \hat{E} D + D \hat{E} G) ≅ B \hat{E} G

.
Consideriamo i triangoli

A D F

e

B E G

. Essi hanno:
•

A \hat{D} F ≅ B \hat{E} G

per dimostrazione precedente;
•

C \hat{A} B ≅ C \hat{B} A

per ________ del triangolo isoscele;
•

A D ≅ B E

perché somma di segmenti congruenti;
quindi

A D F ≅ B E G

per il ________ criterio di congruenza dei triangoli.
In particolare,

D F ≅ E G

.

Completamento chiuso

Nei triangoli

A B C

e

D E F

è

A B ≅ F D

e

\hat{A} ≅ \hat{F}

. In quale dei seguenti casi i triangoli potrebbero non essere congruenti.

A: Se

\hat{B} ≅ \hat{D}

.

B: Se

B C ≅ D E

.

C: Se

A C ≅ F E

.

D: Se le bisettrici degli angoli

\hat{A}

e

\hat{F}

sono congruenti.

Scelta multipla

Nella figura,

A B ≅ A C

,

B F ≅ F C

,

E \hat{B} F ≅ D \hat{C} F

.
Dimostra che:
a.

E A ≅ A D

;
b.

E \hat{F} A ≅ D \hat{F} A

.

a. Consideriamo i triangoli

A E C

e

A B D

. In essi:
•

A B ≅ A C

per ipotesi;
•

A \hat{C} E ≅ A \hat{B} D

per ipotesi;
•

\hat{A}

è in comune;
quindi

A E C ≅ A B D

per il ________ criterio di congruenza dei triangoli.
In particolare,

A D ≅ E A

.

b. Tracciamo il segmento

F A

e consideriamo i triangoli

A F C

e

A F B

. Essi hanno:
•

A C ≅ A B

per ipotesi;
•

C F ≅ B F

per ipotesi;
•

A \hat{C} F ≅ A \hat{D} E

per ipotesi;
quindi

A F C ≅ A F B

per il primo criterio di congruenza dei triangoli.
In particolare,

C \hat{A} F ≅

________.

Consideriamo infine i triangoli

A D F

e

A E F

. Essi hanno:
•

A D ≅ E A

perché ________ di segmenti congruenti;
•

A F

è in comune;
•

D \hat{A} F ≅ E \hat{A} F

per dimostrazione precedente;
quindi

A D F ≅ A E F

per il ________ criterio di congruenza dei triangoli.
In particolare,

E \hat{F} A ≅ D \hat{F} A

.

Completamento chiuso

Visto che il triangolo

A B C

è equilatero, esso ha tutti i lati e tutti gli angoli congruenti tra loro. Da questo ricaviamo che i lati del triangolo

A^{'} B^{'} C^{'}

sono tutti congruenti perché:

A: i lati

A^{'} B

,

B^{'} C

,

C^{'} A

sono congruenti perché differenza di lati congruenti (quelli del triangolo equilatero

A B C

con quelli segnati in figura), quindi i triangoli

A A^{'} C^{'}

,

B B^{'} A^{'}

,

C C^{'} B^{'}

sono congruenti tra loro per il primo principio di congruenza dei triangoli

B: i lati

A^{'} B

,

B^{'} C

,

C^{'} A

sono congruenti perché differenza di lati congruenti (quelli del triangolo equilatero

A B C

con quelli segnati in figura), quindi i triangoli

A A^{'} C^{'}

,

B B^{'} A^{'}

,

C C^{'} B^{'}

sono congruenti tra loro per il terzo principio di congruenza dei triangoli

C: i lati

A^{'} B

,

B^{'} C

,

C^{'} A

sono congruenti perché somma di lati congruenti (quelli del triangolo equilatero

A B C

con quelli segnati in figura), quindi i triangoli

A A^{'} C^{'}

,

B B^{'} A^{'}

,

C C^{'} B^{'}

sono congruenti tra loro per il secondo principio di congruenza dei triangoli

Scelta multipla

Vero o falso?

A: Se due triangoli hanno un lato e due angoli congruenti, sono congruenti.

B: Se nel triangolo

A B C

la mediana

C M

è altezza relativa ad

A B

, allora

A B C

è isoscele.

C: Un triangolo isoscele non può essere rettangolo.

D: Se due triangoli isosceli hanno gli angoli alla base congruenti, sono congruenti.

Vero o falso

Nel triangolo

A B C

in figura

B P

è bisettrice dell'angolo

A \hat{B} C

.
a. Dimostra che

B \hat{P} Q ≅ B \hat{P} C

.
b. Preso un punto

R

su

B P

, dimostra che

R \hat{Q} P ≅ R \hat{C} P

.

Ipotesi:

B C ≅

________;
________

≅ P \hat{B} C

.

Tesi:
a.

B \hat{P} Q ≅ B \hat{P} C

;
b.

R \hat{Q} P ≅ R \hat{C} P

.

Dimostrazione
Consideriamo i triangoli

B P Q

e

B P C

. Essi hanno:
•

B P

è in comune;
•

B C ≅ B Q

per ipotesi;
•

A \hat{B} P ≅ P \hat{B} C

________
quindi

B P Q ≅ B P C

per il ________ criterio di congruenza fra triangoli.
In particolare

B \hat{P} Q ≅ B \hat{P} C

e

Q P ≅ P C

perché elementi corrispondenti in triangoli congruenti.
Consideriamo i triangoli

R P Q

e

R P C

. Essi hanno:
•

R P

è in comune;
•

R \hat{P} Q ≅ R \hat{P} C

per dimostrazione precedente;
•

Q P ≅ P C

per dimostrazione precedente;
quindi

R P Q ≅ R P C

per il ________ criterio di congruenza dei triangoli.
In particolare

R \hat{Q} P ≅ R \hat{C} P

.

Completamento chiuso

In figura,

L

,

M

e

N

sono i punti medi dei lati del triangolo equilatero

A B C

.
Dimostra che il triangolo

L M N

è equilatero.

C L

incontra

N M

in

D

. Dimostra che

D

è il punto medio di

N M

.

Ipotesi

A B C

triangolo equilatero;

A N ≅ N C

;

A L ≅ L B

;

B M ≅ C M

.

Tesi

L M N

triangolo equilatero

N D ≅ D M

Dimostrazione
I triangoli

A N L

,

L M B

, ________ hanno:

A L ≅

________

≅

________perché metà di segmenti congruenti;
________

≅ B M ≅ M C

per lo stesso motivo;

N \hat{A} L ≅ L \hat{B} M ≅

________ perché angoli di un triangolo equilatero;
quindi sono congruenti per il ________ criterio.
In particolare,

N L ≅ L M ≅ N M

, quindi

L M N

è un triangolo equilatero.

I triangoli

A L C

e

B L C

hanno:
• ________ perché

L

è punto medio di

A B

;
•

A C ≅ B C

perché lati di triangolo equilatero;
•

C \hat{A} L ≅ C \hat{B} L

perché angoli di triangolo equilatero;
quindi sono congruenti per il ________ criterio.
In particolare,

A \hat{C} L ≅

________.

Nel triangolo

N C M

, isoscele perché

N C ≅ C M

, in quanto metà di segmenti congruenti,

C D

è allora ________ e quindi anche ________.
Allora

N D ≅ D M

.

Completamento chiuso

Nella figura, il triangolo

A B C

è isoscele sulla base

A B

; le semirette

a

e

b

sono le bisettrici degli angoli esterni di vertici

A

e

B

e

A D ≅ B E

. Per dimostrare che

D C ≅ E C

possiamo usare il primo criterio di congruenza dei triangoli sui triangoli ACD e BCE perché:

A: i lati

A C

e

B C

sono congruenti per ipotesi, così come i lati

A D

e

B E

, inoltre gli angoli in

A

e in

B

sono congruenti perché sono pari a metà di due angoli congruenti poiché supplementari di angoli congruenti per ipotesi

B: i lati

A C

e

B C

sono congruenti per ipotesi, così come i lati

A D

e

B E

, inoltre gli angoli in

A

e in

B

sono congruenti perché sono pari a metà di due angoli congruenti poiché complementari di angoli congruenti per ipotesi

C: i lati

A C

e

B C

sono congruenti per ipotesi, così come i lati

C D

e

C E

, inoltre gli angoli in

A

e in

B

sono congruenti perché sono pari a metà di due angoli congruenti poiché supplementari di angoli congruenti per ipotesi

D: i lati

A C

e

B C

sono congruenti per ipotesi, così come i lati

C D

e

C E

, inoltre gli angoli in

A

e in

B

sono congruenti perché sono pari a metà di due angoli congruenti poiché complementari di angoli congruenti per ipotesi

Scelta multipla

Considera i triangoli

A B C

e

A B D

costruiti sulla stessa base

A B

, con i vertici

C

e

D

da parti opposte rispetto ad

A B

e tali che

B \hat{A} C ≅ A \hat{B} D

e

A C ≅ B D

. Fissa sul lato

A C

un punto

E

e sul lato

B D

un punto

F

in modo che

C \hat{B} E ≅ D \hat{A} F

. Dimostra che i triangoli

A D F

e

C E B

sono congruenti.

Dimostrazione
I triangoli

A B C

e

A B D

hanno i lati

A C

e

B D

congruenti per ipotesi, il lato

A B

in comune e gli angoli

B \hat{A} C

e

A \hat{B} D

congruenti per ipotesi, quindi sono congruenti per il ________ criterio di congruenza dei triangoli. Questo ci assicura che il lato

B C

sia congruente al lato ________ e che l'angolo

B \hat{C} A

sia congruente all'angolo ________ . Da ciò ricaviamo che i triangoli

A D F

e

B C E

sono congruenti per il ________ criterio di congruenza dei triangoli, poiché hanno due ________ e il ________ tra essi contenuto tra loro congruenti, concludendo la dimostrazione richiesta.

Completamento chiuso