Criteri di congruenza, triangoli isosceli ed equilateri

Nei triangoli $ABC$ e $DEF$ è $AB\cong FD$ e $\hat{A}\cong \hat{F}$. In quale dei seguenti casi i triangoli potrebbero non essere congruenti.

Il triangolo $ABC$ è isoscele di base $AB$. Tenendo conto delle informazioni riportate in figura, dimostra che $DF\cong EG$.

Ipotesi:
$AC\cong BC$;
$CD\cong CE$;
$F\hat{D}E\cong G\hat{E}D$.
Tesi:
$DF\cong EG$.

Dimostrazione
Il triangolo $DCE$ è isoscele quindi per il teorema del triangolo isoscele si ha
$C\hat{D}E\cong$ ________.
Inoltre,
$A\hat{D}F\cong \pi -(C\hat{D}E+$ ________$)\cong$
$\pi -(C\hat{E}D+D\hat{E}G)\cong B\hat{E}G$.
Consideriamo i triangoli $ADF$ e $BEG$. Essi hanno:
•   $A\hat{D}F\cong B\hat{E}G$ per dimostrazione precedente;
•   $C\hat{A}B\cong C\hat{B}A$ per ________ del triangolo isoscele;
•   $AD\cong BE$ perché somma di segmenti congruenti;
quindi $ADF\cong BEG$ per il ________ criterio di congruenza dei triangoli.
In particolare, $DF\cong EG$.

Dato un triangolo equilatero $ABC$, traccia le bisettrici $BP$ e $AQ$ rispettivamente degli angoli $C\hat{B}A$ e $C\hat{A}B$ e indica con $O$ il loro punto di intersezione. Prolunga le bisettrici rispettivamente dalla parte di $P$ e di $Q$ e considera su di esse due punti $M$ e $N$ tali che $PM\cong PA$ e $QN\cong QB$. Dimostra che i triangoli $MAO$ e $NBO$ sono congruenti.

Scriviamo ipotesi e tesi.

Ipotesi:
$AB\cong BC\cong AC$;
$BAQ\cong QAC$;
$ABP\cong PBC$;
$AP\cong PM$;
$BQ\cong QN$.
Tesi:
$MAO\cong NBO$.

Dimostrazione
Il triangolo equilatero $ABC$ ha tutti gli angoli congruenti per il teorema del triangolo equilatero.
Quindi gli angoli alla base $AB$ del triangolo $AOB$ sono congruenti perché ________ di angoli congruenti e $AOB$ è isoscele per il ________ del triangolo isoscele, cioè $AO\cong BO$.
Inoltre, $BP$ e $AQ$ sono anche mediane per la proprietà dei triangoli equilateri.
Quindi $AP\cong$ ________ e anche $MP\cong QN$.
Consideriamo i triangoli $OAP$ e $OBQ$. Essi hanno:
•   $AO\cong BO$ per dimostrazione precedente;
•   $AP\cong$ ________ per dimostrazione precedente;
•   $P\hat{A}O\cong Q\hat{B}O$ per dimostrazione precedente;
quindi $OAP\cong OBQ$ per il ________ criterio di congruenza.
In particolare, $PO\cong QO$.
Infine, consideriamo i triangoli $MAO$ e $NBO$. In essi:
•   $AO\cong BO$ per dimostrazione precedente;
•   $MO\cong NO$ perché ________ di segmenti congruenti;
•   $A\hat{O}M\cong B\hat{O}N$ perché ________;
quindi $MAO\cong NBO$ per il primo criterio di congruenza dei triangoli.

Nella figura, $AB\cong AC$, $BF\cong FC$, $E\hat{B}F\cong D\hat{C}F$.
Dimostra che:
a.   $EA\cong AD$;
b.   $E\hat{F}A\cong D\hat{F}A$.

a. Consideriamo i triangoli $AEC$ e $ABD$. In essi:
•   $AB\cong AC$ per ipotesi;
•   $A\hat{C}E\cong A\hat{B}D$ per ipotesi;
•   $\hat{A}$ è in comune;
quindi $AEC\cong ABD$ per il ________ criterio di congruenza dei triangoli.
In particolare, $AD\cong EA$.

b. Tracciamo il segmento $FA$ e consideriamo i triangoli $AFC$ e $AFB$. Essi hanno:
•   $AC\cong AB$ per ipotesi;
•   $CF\cong BF$ per ipotesi;
•   $A\hat{C}F\cong A\hat{D}E$ per ipotesi;
quindi $AFC\cong AFB$ per il primo criterio di congruenza dei triangoli.
In particolare, $C\hat{A}F\cong$ ________.

Consideriamo infine i triangoli $ADF$ e $AEF$. Essi hanno:
•   $AD\cong EA$ perché ________ di segmenti congruenti;
•   $AF$ è in comune;
•   $D\hat{A}F\cong E\hat{A}F$ per dimostrazione precedente;
quindi $ADF\cong AEF$ per il ________ criterio di congruenza dei triangoli.
In particolare, $E\hat{F}A\cong D\hat{F}A$.

In figura, $L$, $M$ e $N$ sono i punti medi dei lati del triangolo equilatero $ABC$.
Dimostra che il triangolo $LMN$ è equilatero.
$CL$ incontra $NM$ in $D$. Dimostra che $D$ è il punto medio di $NM$.

Ipotesi
$ABC$ triangolo equilatero;
$AN\cong NC$; $AL\cong LB$; $BM\cong CM$.

Tesi
$LMN$ triangolo equilatero
$ND\cong DM$

Dimostrazione
I triangoli $ANL$, $LMB$, ________ hanno:
$AL\cong$________$\cong$________perché metà di segmenti congruenti;
________$\cong BM\cong MC$ per lo stesso motivo;
$N\hat{A}L\cong L\hat{B}M\cong$________ perché angoli di un triangolo equilatero;
quindi sono congruenti per il ________ criterio.
In particolare, $NL\cong LM\cong NM$, quindi $LMN$ è un triangolo equilatero.

I triangoli $ALC$ e $BLC$ hanno:
• ________ perché $L$ è punto medio di $AB$;
• $AC\cong BC$ perché lati di triangolo equilatero;
• $C\hat{A}L\cong C\hat{B}L$ perché angoli di triangolo equilatero;
quindi sono congruenti per il ________ criterio.
In particolare, $A\hat{C}L\cong$________.

Nel triangolo $NCM$, isoscele perché $NC\cong CM$, in quanto metà di segmenti congruenti, $CD$ è allora ________ e quindi anche ________.
Allora $ND\cong DM$.