CAPbbcucinaG4 - Superfici equivalenti e aree #382890

Per ciascun vertice del triangolo

A B C

traccia la parallela al lato opposto. Le tre rette si intersecano nei punti

D

,

E

,

F

. Dimostra che i quattro triangoli ottenuti sono equivalenti.

Consideriamo i triangoli

A B C

e

C F B

.
Osserviamo che i due triangoli hanno base e altezza congruenti in quanto le rette sono ________ ai lati del triangolo

A B C

. Abbiamo quindi che i due triangoli sono equivalenti.
Analogamente anche i triangoli

A D C

e ________ sono equivalenti al triangolo

A B C

.
Abbiamo quindi che i quattro triangoli sono equivalenti.

Completamento chiuso

Gli angoli interni di un parallelogramma di perimetro

38

cm misurano

60^{\circ}

e

120^{\circ}

. Se i lati obliqui sono lunghi

8

cm, qual è l'area del parallelogramma?

A:

88 \sqrt{3}

cm².

B:

44 \sqrt{3}

cm².

C:

32 \sqrt{3}

cm².

D:

132

cm².

Scelta multipla

La diagonale maggiore di un rombo è lunga

15

m e la diagonale minore è

\frac{2}{5}

della maggiore . Quanto è lungo il lato di un quadrato equivalente al quintuplo del rombo?

Calcoliamo area del rombo:

A =

________

=

45

m².
L'area del quadrato è:

A =

________

\cdot 45

= ________ m².
Il lato del quadrato è quindi di ________ m.

Completamento chiuso

Vero o falso?

A: Un triangolo rettangolo isoscele di cateto

a

ha lo stesso perimetro di un triangolo equilatero di lato

\sqrt{2} a

.

B: Un triangolo equilatero di perimetro

12 ℓ

è equivalente a un rettangolo di base

4 ℓ

e altezza

\sqrt{3} ℓ

.

C: Un parallelogramma di base

b

e altezza

2 b

è equivalente a un triangolo di base e altezza

b

.

D: Un rombo è equivalente a un quadrato con lo stesso perimetro.

Vero o falso

Osservando la figura, dimostra che

{\bar{B C}}^{2} = {\bar{B H}}^{2} + \bar{A C} \cdot \bar{C K}

.

Per il ________ teorema di Euclide applicato al triangolo

A C H

abbiamo che:

{\bar{C H}}^{2} =

________

\cdot \bar{C K}

.
Applichiamo ora il ________ al triangolo rettangolo

C H B

:

{\bar{B C}}^{2} = {\bar{B H}}^{2} + {\bar{C H}}^{2}

.
Infine sostituiamo e otteniamo:

{\bar{B C}}^{2} =

________

+ \bar{A C} \cdot \bar{C K}

.

Completamento chiuso

Calcola il perimetro del trapezio

A B C D

.

Indichiamo con

x

la lunghezza di

D C

.
Abbiamo quindi che l'area del trapezio ________

= 750

, da cui ricaviamo

x =

________ cm.
Il perimetro del trapezio è quindi:

2 p = 10 + 40 + 30 +

________

=

(80 + 30 \sqrt{2})

cm.

Completamento chiuso

In un parallelogramma

A B C D

il lato

A B

è di

10

cm e l'altezza

D H

a esso relativa è di

4

cm. Calcola il perimetro del parallelogramma, sapendo che l'altezza

D K

relativa al lato

B C

è di

8

cm.

Calcoliamo l'area del triangolo

A B D

:

A =

________

=

________ cm².
Osserviamo che i triangoli

A B D

e ________ sono equivalenti.
Possiamo quindi trovare il lato del parallelogramma:

B C = \frac{20 \cdot 2}{8} = 5

cm.
Il perimetro del parallelogramma è quindi

2 p = 2 \cdot 10 +

________

= 30

cm.

Completamento chiuso

Calcola perimetro e area della fetta di torta in figura.

Applichiamo il secondo teorema di Euclide al triangolo

A B C

:

{\bar{C H}}^{2} =

________

\cdot \bar{B H}

.
Abbiamo quindi

C H = 7 \sqrt{3}

cm.
Con il teorema di Pitagora calcoliamo i cateti:

A C =

________ cm e

B C =

________ cm.
Calcoliamo il perimetro:

2 p = 28 +

________

+

________

=

(42 + 14 \sqrt{3})

cm.
Calcoliamo l'area:

A = \frac{28 \cdot 7 \sqrt{3}}{2} = 98 \sqrt{3}

cm².

Completamento chiuso

In un rombo il prodotto fra la lunghezza di un lato e l'altezza relativa a esso è

600

cm². Trova le due diagonali sapendo che una diagonale è il doppio dell'altra.

Indichiamo con

x

la lunghezza della diagonale minore.
Abbiamo quindi che: ________

= 600

, da cui

x = 10 \sqrt{6}

cm.
Le due diagonali sono lunghe

10 \sqrt{6}

cm e ________ cm.

Completamento chiuso

In un trapezio rettangolo

A B C D

, la diagonale

A C

è perpendicolare al lato obliquo

B C

,

A C ≅ \frac{5}{4} D C

e

A B ≅ \frac{5}{4} A C

. Determina l'area del trapezio, sapendo che il suo perimetro misura

136

cm.

Rappresentiamo il trapezio in figura.

Indichiamo con

x

la misura di

D C

,

x > 0

.
Dai dati del problema possiamo scrivere:

\bar{A C} = \frac{5}{4} x

;

\bar{A B} = \frac{5}{4} \bar{A C} = \frac{5}{4} (\frac{5}{4} x) =

________

x

.
Determiniamo

C B

con il teorema di Pitagora.

{\bar{C B}}^{2} = {\bar{A B}}^{2} - {\bar{A C}}^{2} \to

\bar{C B} = \sqrt{{\bar{A B}}^{2} - {\bar{A C}}^{2}} =

________

= \frac{15}{16} x

.
In modo analogo, determiniamo la lunghezza di

A D

:

{\bar{A D}}^{2} = {\bar{A C}}^{2} - {\bar{D C}}^{2} \to

\bar{A D} = \sqrt{{\bar{A C}}^{2} - {\bar{D C}}^{2}} =

\sqrt{{(\frac{5}{4} x)}^{2} - x^{2}} =

________.
Dal perimetro possiamo determinare la misura di

x

:

p = \bar{A B} + \bar{B C} + \bar{C D} + \bar{D A} = 136 \to

\frac{25}{16} x + \frac{15}{16} x + x + \frac{3}{4} x = 136 \to

________

= 136

\to

x = 32

cm.
Quindi le due basi del trapezio sono lunghe rispettivamente

32

cm e

50

cm e l'altezza

A D

è lunga ________ cm.
L'area del trapezio è

A = \frac{(\bar{A B} + \bar{D C}) \cdot \bar{A D}}{2} =

\frac{(32 + 50) \cdot 24}{2} = 984

cm².

Completamento chiuso