Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica in cucina, in sala, in albergo biennio (2ª edizione) Matematica in cucina, in sala, in albergo biennio (2ª edizione) / Volume 1 15. Equazioni di secondo grado - Competenze alla prova

CAPbbcucina15 - Equazioni di secondo grado

21 esercizi

SVOLGI

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Matematica

Risolvi la seguente equazione di secondo grado intera.

6 x^{2} = 12 x

6 x^{2} = 12 x

\to

x^{2}

________

2 x = 0

\to

________

(x - 2) = 0 \to

x = 0 \lor x = 2

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Matematica

Risolvi la seguente equazione di secondo grado intera.

$16 - (4 x - 3)^{2} = 0$

$16 - (4 x - 3)^{2} = 0 \to$

$16 - 16 x^{2}$ ________ $24 x - 9 = 0 \to$

$- 16 x^{2} + 24 x + 7 = 0$

$Δ = 24^{2}$ ________ $4 \cdot 7 \cdot 16 = 1024 > 0$

Quindi:

$x_{1, 2} =$	________ $24 \pm \sqrt{1024}$	$=$
	$2 \cdot$ $($ ________ $) 16$

$x_{1} = \frac{- 24 + 32}{- 32} =$ ________ $\frac{8}{32} = - \frac{1}{4};$

$x_{2} = \frac{- 24 - 32}{- 32} =$ ________ $\frac{56}{32} = \frac{7}{4} .$

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Matematica

Risolvi la seguente equazione di secondo grado intera.

1 + 4 (2 - x)^{2} = 5

1 + 4 (2 - x)^{2} = 5 \to

1 + 4 (4 - 4 x

________

x^{2}) - 5 = 0 \to

4 x^{2} -

________

x + 1 + 16 - 5 = 0 \to

4 x^{2} - 16 x + 12 = 0 \to

x^{2} - 4 x + 3 = 0

Δ = 4 - 3 > 0 \to

x =

________

=

x_{1} = \frac{3}{2}; x_{2} = \frac{1}{2}

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Matematica

Risolvi la seguente equazione di secondo grado intera.

\frac{1}{4} (2 x + 4)^{2} = 4

\frac{1}{4} {(2 x + 4)}^{2} = 4

\to

\frac{1}{4} (4 x^{2}

________

16 x + 16) - 4 = 0 \to

x^{2} + 4 x + 4 -

________

= 0

\to

x^{2} + 4 x = 0

\to

x (

________

+ 4) = 0 \to

x = 0 \lor x = - 4

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Matematica

Risolvi la seguente equazione di secondo grado intera.

${(\frac{x + 1}{2})}^{2} = 9$

${(\frac{x + 1}{2})}^{2} = 9 \to$

$x^{2} +$ ________ $+ 1$	$= 9 \to$
________

$x^{2} + 2 x + 1 = 36 \to$

$x^{2} + 2 x - 35 = 0$

$Δ = 1$ ________ $35 = 36$

$x = - 1 \pm 6 \to x_{1} = - 7$ , $x_{2} =$ ________.

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Matematica

Risolvi la seguente equazione di secondo grado intera.

(1 - 4 x)^{2} + 1 = 0

(1 - 4 x)^{2} + 1 = 0 \to

1

________

8 x + 16 x^{2} + 1 = 0 \to

16 x^{2} - 8 x + 2 = 0 \to

Δ =

64

________

4 \cdot 2 \cdot 16 = 64 - 128 < 0

Quindi l'equazione è impossibile.

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Matematica

Risolvi la seguente equazione di secondo grado intera.

4 + \frac{1}{16} x^{2} + x = 0

4 + \frac{1}{16} x^{2} + x = 0 \to

x^{2} + 16 x +

________

= 0

Δ =

________

- 64

________

0

x = - 8 \pm

________

\to

x = - 8

è una soluzione doppia.

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Matematica

Risolvi la seguente equazione di secondo intera.

x - 2 = (x - 2) (2 x - 3)

x - 2 = (x - 2) (2 x - 3) \to

x - 2 = 2 x^{2} - 3 x - 4 x

________

6

\to

2 x^{2}

________

8 x + 8 = 0 \to

x^{2} - 4 x

________

4 = 0 \to

(x - 2)^{2} = 0 \to x = 2

.
La soluzione ________.

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Matematica

Risolvi la seguente equazione fratta.

$2 - x - \frac{x + 10}{1 + 10 x} = 0$

C.E.: $1 + 10 x$ ________ $0$ $\to$ $x \neq - \frac{1}{10}$ .

$2 (1 + 10 x) - x (1 + 10 x) - x$ ________ $10$	$= 0 \to$
$1 + 10 x$

$2 + 20 x - x$ ________ $10 x^{2} - x - 10 = 0 \to$

$- 10 x^{2} + 18 x - 8 = 0$

$5 x^{2} - 9 x + 4 = 0$

$Δ =$ ________________ $4 \cdot 5 \cdot 4 = 1 \to$

$x_{1, 2} =$	$- 9 \pm 1$	$↗$	$\frac{4}{5};$
$x_{1, 2} =$	________ $10$	$↘$	$1;$

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Matematica

Risolvi la seguente equazione fratta.

\frac{1 - x}{2 x + 3} - \frac{2 + x}{2 x - 3} = \frac{x^{2}}{4 x^{2} - 9}

\frac{1 - x}{2 x + 3} - \frac{2 + x}{2 x - 3} = \frac{x^{2}}{4 x^{2} - 9}

\frac{1 - x}{2 x + 3} - \frac{2 + x}{2 x - 3} = \frac{x^{2}}{(2 x - 3) (2 x + 3)}

C.E.:

2 x + 3 \neq 0 \to x \neq

________;

2 x + 3 \neq 0 \to x \neq \frac{3}{2}

\frac{(1 - x) (2 x - 3) - (2 x + 3) (2 + x)}{(2 x + 3) (2 x - 3)} =

\frac{x^{2}}{(2 x - 3) (2 x + 3)}

2 x - 3

________

2 x^{2} + 3 x - 4 x

________

6 - 2 x^{2} - 3 x = x^{2} \to

- 5 x^{2} - 2 x - 9 = 0 \to

Δ = 4

________

4 \cdot 5 \cdot 9 = - 176 < 0 \to

L'equazione è ________.

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Matematica

Risolvi la seguente equazione di grado superiore al secondo.

6 x^{5} - 24 x^{3} = 0

6 x^{5} - 24 x^{3} = 0

\to

6 x^{3} (x^{2} -

________

) = 0 \to

x^{3} = 0 \lor x^{2} - 4 = 0 \to

x = 0 \lor x = \pm

________.

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Matematica

Risolvi la seguente equazione di grado superiore al secondo.

x^{7} - 2 x^{5} + x^{3} = 0

x^{7} - 2 x^{5} + x^{3} = 0 \to

x^{3} (x^{4} - 2

________

+

________

) = 0

\to

x^{3} = 0 \lor x^{4} - 2 x^{2} + 1 = 0 \to

x = 0 \lor (x^{2} - 1)^{2} = 0

Quindi le soluzioni sono ________.

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Matematica

Risolvi la seguente equazione di grado superiore al secondo.

x^{5} + 1 = x^{4} + x

x^{5} + 1 = x^{4} + x \to

x^{5} - x^{4} - x + 1 = 0 \to

x^{4} (x - 1)

________

1 (x - 1) = 0 \to

(x^{4} - 1) (x - 1) = 0 \to

x^{4} - 1 = 0 \lor x

________

1 = 0

\to

x^{4} = 1 \lor x = 1 \to

x =

________

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Matematica

Risolvi la seguente equazione di grado superiore al secondo.

x^{4} - 3 x^{2} - 4 = 0

Poniamo

x^{2} = t

e sostituiamo
________

- 3 t - 4 = 0 \to

(t

________

4) (t +

________

) = 0 \to

t = 4 \lor t = - 1 \to

x^{2} = 4 \lor x^{2} = - 1 \to

x = \pm 2

L'equazione

x^{2} = - 1

________.
Quindi le soluzioni sono ________.

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Matematica

Scomponi in fattori il seguente polinomio, se è possibile.

$2 x^{2} + 13 x - 7$

$Δ = 13^{2}$ ________ $4 \cdot 2 \cdot 7 = 225 > 0$

$x =$	$- 13 \pm \sqrt{225}$	$=$	$↗$	________
$x =$	________	$=$	$↘$	$\frac{- 13 - 15}{4} = - 7.$

Quindi:

$2 x^{2} + 13 x - 7 = 2 (x$ ________ $\frac{1}{2}) (x + 7)$ .

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Matematica

Qual è la scomposizione del polinomio

2 x^{2} - 3 x + 4

(x - \frac{9}{4}) (x + \frac{3}{4}) .

B: è irriducibile.

(x + \frac{9}{4}) (x - \frac{3}{4})

(\sqrt{2} x - 2)^{2}

Scelta multipla

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Matematica

Dato un numero naturale, moltiplicando il suo successivo per il triplo del numero aumentato di

2

, si ottiene

1064

. Qual è il numero?

Chiamiamo

n

il numero naturale. Allora il suo successivo è ________.
Traducendo in espressione algebrica le condizioni del problema otteniamo:

(n + 1) (3 n + 2) = 1064

. Risolviamo l'equazione di secondo grado nell'incognita

n

3 n^{2} +

+ 3 n +

- 1064 = 0 \to

3 n^{2} + 5 n -

= 0 \to

Δ = 25 + 4 \cdot 3 \cdot 1062 = 12769 \to

n = \frac{- 5 \pm \sqrt{12769}}{6} =

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Matematica

Determina due numeri naturali tali che la loro differenza sia $8$ e la somma tra la loro somma e il loro prodotto sia $64$ .

Indichiamo con $m$ e $n$ i due numeri naturali e supponiamo $n > m$ . Dai dati del problema, sappiamo che:

• $n - m = 8$ ;

• $n + m + n \cdot m = 64$ .

Ricaviamo $m$ in funzione di $n$ e sostituiamo nella seconda relazione:

$n = m + 8 \to$

$($ ________ $+ 8 + m) + (m + 8) m = 64 \to$

$2 m + 8 +$ ________ $+ 8 m = 64 \to$

$m^{2} + 10 m$ ________ $56 = 0$ .

Risolviamo l'equazione:

$m_{1, 2} =$	$- 10 \pm \sqrt{324}$	$=$	$↗$	$\frac{- 10 - 18}{2} = - 14;$
$m_{1, 2} =$	________	$=$	$↘$	$\frac{- 10 + 18}{2} = 4.$

Accettiamo solo $m = 4$ poiché $- 14$ non è un numero naturale. Quindi i due numeri sono $4$ e ________.

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Matematica

Un rettangolo ha l'area di

216

cm² e il perimetro di

60

cm. Trova i lati.

Chiamiamo

b

la base del rettangolo e

h

la sua altezza. Dai dati del problema, sappiamo che:
•

b \cdot h = 216

cm²

\to b = \frac{216}{h}

;
•

2 (b + h) = 60 \to b + h = 30.

Sostituiamo la prima relazione nella seconda e otteniamo:

\frac{216}{h} + h = 30 \to

________

+ h^{2} =

________.
Risolviamo:

h =

________

15 \pm \sqrt{225 - 216} =

15 \pm 3 \to

h_{1} = 12

h_{2} = 18

.
Accettiamo ________.
Quindi i lati del rettangolo sono

b = 12

cm e

h = 18

cm oppure

b = 18

cm e

h = 12

cm.

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Matematica

La figura, che ha l'area di

35

cm², è formata da un parallelogramma e da un quadrato il cui lato supera di

3

cm l'altezza del parallelogramma. Calcola il perimetro del quadrato.

Chiamiamo

ℓ

il lato del quadrato e

b

h

la base e l'altezza del parallelogramma.
Dai dati del problema sappiamo che

ℓ = h

________

3

e dalla figura che

ℓ =

________.
L'area della figura quindi è

A = ℓ^{2} + b \cdot h = 35

cm².
Sostituiamo nell'espressione dell'area le altre informazioni in funzione di

ℓ

A = ℓ^{2} + ℓ \cdot (ℓ

________

3) =

ℓ^{2} + ℓ^{2} - 3 ℓ = 35.

Risolviamo l'equazione

ℓ =

________

= \frac{3 \pm 17}{4} \to

ℓ_{1} = 5

ℓ_{2} = - \frac{7}{2}

.
Accettiamo solo

ℓ =

________ poiché

ℓ

rappresenta una lunghezza.
Quindi il perimetro del quadrato è
________ cm.

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Matematica

Una compagnia di amici vorrebbe dividere in parti uguali la spesa per l'affitto di ombrelloni e brandine che ammonta a

1400

€. Cinque di loro si sono appena diplomati e gli altri decidono di regalare loro la vacanza. Così facendo, la spesa dei ragazzi paganti aumenta di

5

€. Quanti sono in tutto i ragazzi della compagnia?

Indichiamo con

x

il numero dei ragazzi e con

y

la quota di partecipazione per persona, con

x

y > 0

.
Dai dati del problema, sappiamo che
•

x y = 1400

;
•

(x - 5) (y + 5) = 1400

.
Ricaviamo

x

dalla prima equazione e la sostituiamo nella seconda:

(

________

- 5

)

(y + 5) = 1400 \to

1400 + \frac{7000}{y} - 5 y - 25 = 1400 \to

7000 - 5 y^{2} - 25 y =

________.
Risolviamo l'equazione associata:

5 y^{2} + 25 y - 7000 = 0

y =

________

=

\frac{- 25 \pm 375}{10} \to

y_{1} = - 40

y_{2} = 35

.
L'unica soluzione accettabile è

y =

________.
Quindi il numero dei partecipanti è
________

= 40

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