Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica in cucina, in sala, in albergo biennio (2ª edizione) Volume 1 14. Piano cartesiano e retta - Competenze alla prova

CAPbbcucina14 - Piano cartesiano e retta

9 esercizi

SVOLGI

INFO

Associa ad ogni equazione la corrispondente retta disegnata nel piano cartesiano.

a.

2 x - 4 = 0

; ________
b.

2 x + y - 3 = 0

; ________
c.

3 x = - 2 y

; ________
d.

x = 2

; ________
e.

y - \frac{2}{3} x = \frac{1}{6}

. ________

Posizionamento

Dati i punti $A (5; 1)$ e $B (1; - 9)$ , determina la distanza del punto medio di $A B$ dalla bisettrice del secondo e quarto quadrante.

Determiniamo le coordinate del punto medio di $A B$ :

$x_{M} =$ ________ $=$ $\frac{5 + 1}{2} = 3$ ;

$y_{M} =$ $\frac{y_{A} + y_{B}}{2}$ $=$ ________ $= - 4$ .

Quindi il punto medio è $M (3; - 4)$ .

L'equazione della bisettrice del secondo e quarto quadrante è ________.

Determiniamo quindi la distanza di $M$ dalla bisettrice:

$d =$	$\| 1 \cdot 3 + (- 4) \cdot$ ________ $\|$	$=$
	$\sqrt{1^{2} + 1^{2}}$

$\frac{1}{\sqrt{2}} =$ ________.

Completamento chiuso

Quali tra le seguenti rette sono perpendicolari?

a.

2 x - y + 3 = 0

;
b.

4 x = - 2 y + 5

;
c.

\sqrt{2} x + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} y = 0

;
d.

2 y = - x

a e b.

a, c e d.

a e d.

b e d.

Scelta multipla

Verifica che il triangolo

A B C

di vertici

A (1; 5)

B (- 3; - 7)

C (2; - 2)

è isoscele, poi determinane perimetro e area.

Rappresentiamo i punti nel piano cartesiano e li congiungiamo

Per verificare che il triangolo è isoscele dobbiamo dimostrare che

\bar{A C} = \bar{B C}

. Calcoliamo quindi le due distanze:

\bar{A C} = \sqrt{(x_{A} - x_{C})^{2} + (y_{A} - y_{C})^{2}} =

________

= \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5 \sqrt{2}

;

\bar{B C} = \sqrt{(x_{B} - x_{C})^{2} + (y_{B} - y_{C})^{2}} =

\sqrt{(- 3 - 2)^{2} + (- 7 + 2)^{2}}

= \sqrt{25 + 25} =

________.

Quindi il triangolo ________ isoscele.
Per determinare il perimetro, calcoliamo anche la lunghezza di

A B

\bar{A B} = \sqrt{(x_{A} - x_{B})^{2} + (y_{A} - y_{B})^{2}} =

________

=

\sqrt{16 + 144} = \sqrt{160} =

________.

Il perimetro del triangolo è

p = \bar{A B} + \bar{B C} + \bar{A C} = 4 \sqrt{10} + 5 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2} =

4 \sqrt{10} +

________.
Determiniamo l'altezza del triangolo come distanza del punto

C

dalla retta

A B

r_{A B} : \frac{y - y_{A}}{y_{B} - y_{A}} = \frac{x - x_{A}}{x_{B} - x_{A}}

\to

________

= \frac{x - 1}{- 3 - 1}

\to

y = 3 x + 2

;

h : \frac{| 3 c d o t 2 + (- 1) \cdot (- 2) + 2 |}{\sqrt{3^{2} + (- 1)^{2}}} = \sqrt{10} .

Quindi l'area del triangolo è

A = \frac{h \cdot \bar{A B}}{2} = \frac{\sqrt{10} \cdot 4 \sqrt{10}}{2} =

________.

Completamento chiuso

Vero o falso? Considera i punti

A (4; 0)

B (1; - 1)

C (- 2; 2)

D (1; 3)

Il punto medio di

A C

(1; 1)

Il punto

C

appartiene al terzo quadrante.

La retta

B D

ha equazione

y = 1

I punti

B

C

appartengono alla bisettrice del secondo e quarto quadrante.

Vero o falso

Data la retta

r

di equazione

y = - 2 x + 3

, trova l'equazione della retta parallela a

r

che passa per

P (- 2; \frac{1}{2})

.

Il coefficiente angolare della retta parallela alla retta data è

m_{∥} =

________.
Quindi la retta parallela passante per

P

ha equazione:

y - y_{P} = m_{∥} (x - x_{P}) \to

y - \frac{1}{2} = - 2 (x

________

) \to

y - \frac{1}{2} = - 2 x - 4 \to y = - 2 x - \frac{7}{2} .

Scriviamo l'equazione in forma implicita:

y = - 2 x - \frac{7}{2} \to

________.

Completamento chiuso

Determina l'equazione della retta perpendicolare alla retta di equazione

6 x - 4 y + 1 = 0

e passante per

P (\frac{3}{4}; - \frac{1}{2})

.

Scriviamo l'equazione della retta in forma implicita:

6 x - 4 y + 1 = 0 \to y =

________

x + 1

.
La retta perpendicolare ha il coefficiente angolare

m_{⊥} =

________.
Quindi la retta perpendicolare passante per

P

ha equazione:

y - y_{P} = m_{⊥} (x - x_{p}) \to

y

________

\frac{1}{2} = - \frac{2}{3} (x - \frac{3}{4}) \to

y + \frac{1}{2} = - \frac{2}{3} x + \frac{1}{2} \to

y =

________.

Completamento chiuso

a. Scrivi le equazioni delle tre rette rappresentate nella figura sotto.

b. Indica a quali rette appartengono i punti $A (3; - 3)$ , $B (- 2; 7)$ , $C (4; - 2)$ .

a. Dal grafico deduciamo che:

la retta $s$ passa per i punti $(0; 0)$ e $(1; 1)$ quindi corrisponde alla bisettrice del primo e terzo quadrante che ha equazione $y =$ ________.
La retta $t$ è parallela all'asse $x$ e passa per $(0; - 2)$ . La sua equazione è ________ $= - 2$ .
La retta $r$ passa per i punti ________ e $(1; 1)$ . Determiniamo la sua equazione:
$\frac{y - 3}{1 - 3} = \frac{x - 0}{1 - 0} \to$ $y =$ ________ $2 x + 3$ .

Il punto $A (3; - 3)$ appartiene alla retta ________.
Il punto $B (- 2; 7)$ appartiene alla retta ________.
Il punto $C (4; - 2)$ appartiene alla retta ________.

Completamento chiuso

Per la vendita di uno stesso tipo di formaggio a pasta filata, il caseificio

A

applica un prezzo di

8

€ al kg più

30

€ per la consegna, mentre il caseificio

B

applica un prezzo di

10

€ al kg più

12

€ per la consegna.
a. Rappresenta nel piano cartesiano le funzioni che esprimono il costo dei due caseifici in funzione dei kilogrammi di formaggio.
b. Stabilisci quale fornitore è più conveniente al variare della quantità di formaggio da acquistare.

Indichiamo con

x

i kilogrammi di formaggio.
I costi dei due caseifici sono:
• A:

y = 8 x

________

30

;
• B:

y = 10 x + 12

.
a. La rappresentazione delle due rette è quella in figura ________.

b. Determiniamo l'intersezione delle due rette risolvendo l'equazione

8 x + 30 = 10 x + 12 \to 2 x = 18 \to x = 9.

Quindi:
• se

x = 9

, i due costi sono equivalenti;
• se

x < 9

, è più conveniente il fornitore ________;
• se

x > 9

, è più conveniente il fornitore ________.

Completamento chiuso