Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica in cucina, in sala, in albergo biennio (2ª edizione) Matematica in cucina, in sala, in albergo biennio (2ª edizione) / Volume 1 9. Approfondimenti di algebra - Competenze alla prova

CAPbbcucina09 - Divisioni tra polinomi, scomposizione in fattori

13 esercizi

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Matematica

Esegui la seguente divisione con il metodo che ritieni più opportuno. Poi fai la verifica.

$(x^{3} - 5 x^{2} + 4 x - 1) : (x - 2)$

Poiché il divisore è del tipo $(x - a)$ , applichiamo la regola di Ruffini.

	$+ 1$	$- 5$	$+ 4$	$- 1$
		$+ 2$	________ $6$	$- 4$
________ $2$
	$1$	$- 3$	$- 2$	$- 5$

Quindi $x^{3} - 5 x^{2} + 4 x - 1 =$

$(x^{2} - 3 x - 2) (x - 2)$ ________ $5$ .

Verifichiamo il risultato della divisione:

$(x^{2} - 3 x - 2) (x - 2) - 5 =$

$x^{3} - 2$ ________ $- 3 x^{2} + 6 x - 2 x$ ________ $4 - 5 =$

$x^{3} - 5 x^{2} + 4 x - 1$ .

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Matematica

Esegui la seguente divisione con il metodo che ritieni più opportuno. Poi fai la verifica.

$(3 x^{3} + 8 x^{2} + 3 x - 2) : (3 x - 1)$

Poiché il divisore è $(3 x - 1)$ , eseguiamo la divisione in colonna.

$3 x^{3}$	$8 x^{2}$	$+ 3 x$	$- 2$	$3 x$	$- 1$
$- 3 x^{3}$	$+ x^{2}$			$x^{2}$	$+ 3 x$ ________ $2$
	$9 x^{2}$	________ $3 x$	$- 2$
	$- 9 x^{2}$	$+ 3 x$
		$6 x$	$- 2$
		$- 6 x$	$+ 2$

Verifichiamo il risultato della divisione:

$(x^{2} + 3 x + 2) (3 x - 1) =$

________ $- x^{2} + 9 x^{2}$ ________ $3 x + 6 x - 2 =$

$(3 x^{2} + 8 x + 3 x - 2)$ .

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Matematica

Qual è la semplificazione corretta della seguente frazione algebrica? Supponi verificate le condizioni di esistenza.

\frac{a^{2} - 9}{3 a^{2} b - 9 a b}

\frac{a + 3}{3 a b}

\frac{a + 3}{a b}

\frac{a - 3}{a b}

\frac{1}{3 b - a b}

Scelta multipla

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Matematica

Determina le C.E. e semplifica la seguente frazione algebrica.

$\frac{y^{3} - 4 y^{2} + 4 y}{y^{3} + 3 y^{2} - 10 y}$

Determiniamo le C.E. e poniamo $y^{3} + 3 y^{2} - 10 y \neq 0$ .

Svolgiamo i calcoli:

$y (y^{2} + 3 y - 10) \neq 0 \to$

$y \neq 0 \lor y^{2} + 3 y - 10 \neq 0$ .

Scomponiamo ulteriormente:

$y^{2} + 3 y - 10 \neq 0 \to$

$(y$ ________ $5) (y -$ ________ $) \neq 0$

Quindi C.E.: $y \neq 0$ , $y \neq - 5$ , $y \neq 2$ .

Semplifichiamo l'espressione data:

$\frac{y^{3} - 4 y^{2} + 4 y}{y^{3} + 3 y^{2} - 10 y}$

$y (y^{2}$ ________ $4 y +$ ________ $)$	$=$
$y (y - 2) (y + 5)$

$y (y$ ________ $2)^{2}$	$= \frac{y - 2}{y + 5}$
$y (y - 2) (y + 5)$

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Matematica

Semplifica la seguente espressione dopo aver determinato le condizioni di esistenza.

(2 + \frac{5}{x - 2}) : \frac{4 x^{2} + 4 x + 1}{x^{3} - 2 x^{2}}

(2 + \frac{5}{x - 2}) : \frac{4 x^{2} + 4 x + 1}{x^{3} - 2 x^{2}} =

[\frac{2 (x - 2) + 5}{x - 2}] : \frac{(2 x + 1)^{2}}{x^{2} (x - 2)}

C.E.: ________.

\frac{2 x + 1}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} (x - 2)}{(2 x + 1)^{2}} =

________.

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Matematica

Semplifica la seguente espressione dopo aver determinato le condizioni di esistenza.

$(\frac{2}{x} + \frac{x + 3}{x + 2}) \cdot \frac{x + 2}{x + 4}$

C. E.: $x \neq 0$ , $x \neq$ ________, $x \neq - 4$ .

Ora semplifichiamo l'espressione

$2 (x + 2) + (x + 3)$ ________	$\cdot \frac{x + 2}{x + 4} =$
$x (x + 2)$

$2 x + 4 + x^{2} + 3 x$	$\cdot \frac{x + 2}{x + 4} =$
________

$\frac{x^{2} + 5 x + 4}{x (x + 2)} \cdot \frac{x + 2}{x + 4} =$

$(x + 4)$ ________	$=$
$x (x + 4)$

________.

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Matematica

Scomponi in fattori i polinomi dati.
a.

3 a - 12 a^{2}

25 x^{2} - y^{4}

4 b^{2} - 20 b x + 25 x^{2}

x^{2} - x - 30

a b + a y - b - y

3 a - 12 a^{2} =

________

(1 - 4 a)

25 x^{2} - y^{4} =

(5 x - y^{2})

________

c.

4 b^{2} - 20 b x + 25 x^{2} =

________

d.

x^{2} - x - 30 =

(x - 6)

________

e.

a b + a y - b - y =

(b + y)

________

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Matematica

Scomponi in fattori i polinomi dati.
a.

x^{2} + 3 x - 10

3 x^{3} y^{3} - 27 x y

a^{3} b^{3} + 1

x^{3} - 9 x^{2} - x + 9

3 x^{3} - 6 x^{2} + 3 x

x^{2} + 3 x - 10 =

________

(x + 5)

3 x^{3} y^{3} - 27 x y =

________

c.

a^{3} b^{3} + 1 =

(a b + 1)

________

d.

x^{3} - 9 x^{2} - x + 9 =

(x - 9)

________

e.

3 x^{3} - 6 x^{2} + 3 x =

3 x

________

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Matematica

Calcola il

MCD

e il

mcm

di:
•

x^{4} - x^{3} - 6 x^{2}

;
•

x^{4} + 8 x

•

x^{3} + 4 x^{2} + 4 x

Scomponiamo in fattori primi i polinomi:
•

x^{4} - x^{3} - 6 x^{2} =

x^{2} (x^{2} - x - 6) =

x^{2} (x

________

2) (x - 3)

;

•

x^{4} + 8 x =

x (x^{3} + 8) =

x (x

________

2) (x^{2} - 2 x + 4)

;

•

x^{3} + 4 x^{2} + 4 x =

x (x^{2} + 4 x + 4) =

x (x +

________

)^{2}

.

Calcoliamo:

MCD =

________

(x + 2)

;

mcm =

x^{2}

________

(x - 3) (x^{2} - 2 x + 4)

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Matematica

Trova il numero che bisogna sommare al denominatore e sottrarre al numeratore di $\frac{7}{9}$ per ottenere $\frac{1}{3}$ .

Indichiamo con $x$ il numero.

Traduciamo il testo del problema in un'equazione e la risolviamo.

________ $= \frac{1}{3}$

C.E. $9 + x \neq 0 \to x \neq$ ________ $9$

$21$ ________ $3 x - 9 - x$	$= 0$
$3 (9 + x)$

$12 - 4 x = 0$

$x =$ ________

La soluzione ________ accettabile.

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Matematica

Trova, se esiste, un numero intero tale che il rapporto tra il suo doppio aumentato di

4

e il numero stesso diminuito di

5

sia

4

.

Indichiamo con

x

il numero,

x \in Z

. Traduciamo il testo del problema in un'equazione e la risolviamo.
________
C.E.

x - 5 \neq 0 \to

x \neq

________

5

2 x + 4 = 4 (x - 5)

2 x - 4 x =

________

4 - 20

- 2 x = - 24

x =

________

12

La soluzione trovata ________ accettabile.

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Matematica

Per preparare il ragù di carne per

x

persone Gianni usa

8

hg di macinato fresco di manzo. I commensali sono

6

in più rispetto alla sua ricetta.
Quale frazione algebrica esprime la quantità (in hg) di macinato?

Per

x

persone Gianni usa

8

hg di macinato, quindi per ogni persona usa ________ hg di macinato.
Se Gianni ha

6

commensali in più allora in totale userà ________ hg di macinato.

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Matematica

Il guadagno giornaliero

g

di una piccola ditta che produce formaggi dipende dai quintali di latte

x

che vengono lavorati ogni giorno, secondo la funzione:

g (x) = - 12 x^{3} + 25 x^{2} + 4 x - 12.

Per quali valori di

x

il guadagno giornaliero è nullo?

Il guadagno giornaliero è nullo quando è nulla la funzione

g (x)

. Poiché la funzione è di tipo polinomiale, scomponiamo con il metodo di Ruffini.
Cerchiamo gli zeri di

g (x)

tra i divisori del termine noto:

1

2

3

4

12

.
Consideriamo solo i divisori positivi poiché

x

rappresenta i quintali di latte.

g (2) = - 96 + 100 + 8 - 12

________

0

.

Poiché gli zeri razionali di un polinomio sono al massimo tanti quanti il grado del polinomio, cerchiamo gli zeri razionali di

g (x)

.
Osserviamo che

g (\frac{3}{4}) =

- 12

________

+ 25 {(\frac{3}{4})}^{2} + 4 \cdot \frac{3}{4} - 12 =

________

+ \frac{225}{16} - 9 =

________.

Quindi il guadagno è nullo per

x = 2

x = 0, 75

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