Segmenti e angoli #601814 - Prove ed esercizi Zanichelli

Vero o falso?

A: Due angoli complementari non nulli sono acuti.

B: Due angoli adiacenti sono sempre supplementari.

C: Due angoli supplementari sono sempre adiacenti.

D: Gli angoli convessi sono acuti.

E: Se due angoli sono supplementari, allora sono convessi.

F: Due angoli retti sono supplementari.

Vero o falso

Vero o falso?
Motiva le risposte.

A:

a \hat{O} b ≅ g \hat{O} h

B:

a \hat{O} c ≅ f \hat{O} a - 3 c \hat{O} d

C:

b \hat{O} d ≅ e \hat{O} g

D:

d \hat{O} g - 2 d \hat{O} e ≅ a \hat{O} c

E:

e \hat{O} f ≅ \frac{1}{3} (b \hat{O} g - 2 b \hat{O} c)

Vero o falso

Considera su una retta orientata il segmento

A B

e sia

P

un punto interno ad

A B

, più vicino a

B

che ad

A

. Dimostra che il segmento che ha per estremi il punto

P

e il punto medio di

A B

è congruente alla metà della differenza

A P - P B

.

Chiamiamo

M

il punto medio del segmento

A B

.
Scriviamo ipotesi e tesi.
Ipotesi:

\bar{A P} > \bar{P B}

;

\bar{A M} ≅ \bar{M B}

.
Tesi:

M P ≅ \frac{1}{2} (\bar{A P} - \bar{P B})

.

Dimostrazione

\bar{M P} ≅ \bar{A P}

________

\bar{A M}

\bar{M P} ≅ \bar{M B} -

________
Sommando le due relazioni precedenti otteniamo:

2 \bar{M P} ≅ \bar{A P} - \bar{A M} + \bar{M B} -

________

≅

\bar{A P} -

________,
da cui

\bar{M P} ≅ \frac{1}{2} (\bar{A P} - \bar{P B})

.

Completamento chiuso

La somma dei segmenti adiacenti

A B

,

B C

e

C D

è

49

cm. Trova le loro lunghezze, sapendo che

A C

è i

\frac{3}{4}

di

C D

e che la differenza fra il triplo di

C D

e

D B

è

46

cm.

Dati

A B + B C + C D = 49

cm

A C = A B + B C =

________

C D

3 C D - D B = 46

cm

Svolgimento

49 =

________

\bar{C D} + \bar{C D} = \frac{7}{4} \bar{C D}

quindi

\bar{C D} = 49 \cdot

________

= 28

\bar{A C} = \frac{3}{4} \cdot

________

= 21

.
Per la terza e la ________ relazione data

\bar{A B} = 49 - (3 \bar{C D} - 46) =

49 - (3 \cdot

________

- 46) =

49 - 84

________

46 = 11

.
Infine

\bar{B C} = \bar{A C} -

________

= 21 - 11 = 10

.
Le lunghezze di

A B

,

B C

e

C D

sono rispettivamente

11

cm,

10

cm e

28

cm.

Completamento chiuso

Determina

α

e gli angoli incogniti.

L'angolo

x

è il ________ di

123^{\circ}

, quindi

x = 57^{\circ}

.

L'angolo

α - 37^{\circ}

è il ________ di

x

, quindi

α - 37^{\circ} = 33^{\circ}

, da cui

α =

________.

Completamento chiuso

Completa in modo che

α = \frac{β}{2}

e

γ = \frac{π}{2} - α

.

a.

π ≅

________

+ 2 γ

;
b.

β ≅

________

(α + β)

;
c. ________

(γ - β) ≅ π - 6 α

;
d.

γ + 2 α ≅

________

(β + π)

.

Completamento chiuso

Sia $a \hat{O} b$ un angolo congruente a $\frac{2}{3} \hat{P}$ , essendo $\hat{P}$ un angolo piatto. Sia $s$ una semiretta di origine $O$ interna ad $a \hat{O} b$ , tale che $s \hat{O} b ≅ \frac{1}{2} \hat{P}$ , e sia $t$ la bisettrice di $a \hat{O} b$ . Dimostra che:

a. $s \hat{O} t ≅ \frac{1}{6} \hat{P}$ ;

b. $t \hat{O} b ≅ 2 a \hat{O} s$ ;

a. Ipotesi:	$\hat{P} = 180^{\circ}$ ;
	$a \hat{O} b ≅ \frac{2}{3} \hat{P}$ ;
	$s \hat{O} b ≅ \frac{1}{2} \hat{P}$ ;
	$a \hat{O} t ≅ t \hat{O} b$ .

Tesi:

s \hat{O} t ≅ \frac{1}{6} \hat{P}

.

Dimostrazione

Si ha che $a \hat{O} b =$ ________, $s \hat{O} b = 90^{\circ}$ e

$a \hat{O} t ≅ t \hat{O} b =$ ________.

Dunque,

$s \hat{O} t ≅ s \hat{O} b - t \hat{O} b = 90^{\circ} -$ ________ $=$

$30^{\circ} \to s \hat{O} t ≅ \frac{1}{6} \hat{P}$ .

b. Ipotesi:	$\hat{P} = 180^{\circ}$ ;
	$a \hat{O} b ≅ \frac{2}{3} \hat{P}$ ;
	$s \hat{O} b ≅ \frac{1}{2} \hat{P}$ ;
	$a \hat{O} t ≅ t \hat{O} b$ .

Tesi:

t \hat{O} b ≅ 2 a \hat{O} s

.

Dimostrazione

Si ha che

$a \hat{O} s ≅ a \hat{O} t -$ ________ $=$

$60^{\circ} - 30^{\circ} = 30^{\circ}$ .

Dunque, $t \hat{O} b ≅ 2 a \hat{O} s$ .

Completamento chiuso

Nella figura:

C D ≅ \frac{7}{4} A B, A E = 88

cm.
Qual è la misura di

A C

rispetto ad

A E

? Quanto misura il segmento

D E

, in centimetri?

Sia

\bar{A B} = x

. Si ha allora che:

\bar{B C} = x

,

\bar{C D} = \bar{D E} = \frac{7}{4} x

e

\bar{A C} =

________.
Inoltre,

\bar{A E} = x + x + \frac{7}{4} x + \frac{7}{4} x = \frac{11}{2} x

.
Dunque

\bar{A C} ≅

________

\bar{A E}

.
Per ricavare la misura di

D E

, risolviamo l'equazione
________

= 88

, da cui

x =

________.
Quindi si ha che

D E =

\frac{7}{4} \cdot

________

= 28

cm.

Completamento chiuso