Proprietà degli angoli di un triangolo e di un poligono #515801

Marco manda la pallina in buca dopo ben quattro rimbalzi sulle sponde del tavolo da biliardo in figura. Quali sono le misure degli angoli

α

,

β

e

γ

?
L'ultimo tratto

D O

percorso dalla pallina è parallelo alla direzione della stecca? Motiva la risposta.

Dalla figura, determiniamo:

α ≅

________;

β ≅

________;
Osserviamo che

γ

≅

________ perché

γ

e

β

sono angoli alterni interni che si formano considerando la retta trasversale passante per

C D

rispetto alle rette parallele passanti per

C O

e

A D

.

L'ultimo tratto

D O

è parallelo alla direzione della stecca perché le rette passanti per ________ e

F E

e tagliate dalla trasversale passante per

A D

formano angoli alterni interni congruenti.

Completamento chiuso

Nel triangolo rettangolo

A B C

, traccia l'altezza

C H

relativa all'ipotenusa

A B

. Traccia poi la bisettrice dell'angolo

H \hat{C} A

che interseca l'ipotenusa nel punto

D

. Dimostra che

B C ≅ B D

.

Dimostrazione
Dimostriamo che il triangolo

C B D

è isoscele sulla base ________ , così da avere i due lati obliqui

B C

e

B D

congruenti.
Il triangolo

C H D

è rettangolo per costruzione, visto che il lato ________ è altezza del triangolo

A B C

e quindi forma con la base

A B

un angolo di ________. Poiché

C D

è bisettrice dell'angolo ________, possiamo dire che gli angoli

H \hat{C} D

e

A \hat{C} D

sono ________ e misurano un certo numero

α

. Per le proprietà dei triangoli, la somma degli angoli interni del triangolo

C D H

vale ________, quindi l'angolo

C \hat{D} H

misura ________. Poiché il triangolo

A B C

è rettangolo in

C

, l'angolo

B \hat{C} D

si può ottenere come la differenza degli angoli

A \hat{C} B

e

A \hat{C} D

, quindi anche lui misura ________. Il triangolo

B C D

ha quindi gli angoli in

C

e in

D

________, quindi è isoscele, come volevamo dimostrare.

Completamento chiuso

Nella figura è rappresentato un pentagono regolare. Trova l'ampiezza

x

dell'angolo indicato.

________

Completamento chiuso

Determina l'angolo

x

.

Per il ________ criterio di congruenza dei triangoli rettangoli, i due triangoli in figura sono congruenti, poiché hanno ________ congruenti.

Di conseguenza

x

è l'angolo ________ di

50^{\circ}

,
per cui

x =

________.

Completamento chiuso

Vero o falso?

A: In un quadrilatero la somma degli angoli interni è congruenti alla somma degli angoli esterni.

B: La somma degli angoli interni di un poligono di

n

lati è congruente alla somma degli angoli interni di

n - 3

triangoli.

C: In un triangolo rettangolo isoscele ciascun angolo esterno misura

135^{\circ}

.

D: La somma degli angoli interni di un pentagono concavo è uguale a quella di un pentagono convesso.

Vero o falso

Determina la misura dell'ampiezza dell'angolo indicato in rosso.

Indichiamo l'angolo

α

in figura e con

β

l'angolo incognito.

Osserviamo che

α ≅

________

≅ 112^{\circ}

.
Allora

β ≅ 360^{\circ}

________

≅ 94^{\circ}

.

Completamento chiuso

Trova

x

,

y

e

z

.

x

è il supplementare di

100^{\circ}

perché angoli ________ interni, quindi

x = 80^{\circ}

.
Completiamo la figura inserendo il valore di alcuni angoli.

Quindi

z = 180^{\circ} - (110^{\circ} +

________

) = 6^{\circ}

e

y = 180^{\circ} - (6^{\circ} +

________

) = 122^{\circ}

.

Completamento chiuso

In un triangolo

A B C

traccia le due altezze

A H

e|

B K

e indica con

O

il loro punto di intersezione. Dimostra che se

A H ≅ B K

, allora i triangoli

A O K

e

B O H

sono congruenti.

Dimostrazione
Partiamo dall'ipotesi che

A H

sia congruente a

B K

. Poiché

A H

e

B K

sono altezze, allora gli angoli formati dal punto

H

con la base

B C

sono ________ e lo stesso vale per gli angoli formati dal punto

K

con la base

A C

. Quindi i triangoli

A B K

e

A B H

sono due triangoli ________ che hanno l'ipotenusa ________ in comune e i cateti

A H

e ________ congruenti, quindi sono congruenti. Da questo otteniamo che

A K

è congruente a ________ perché cateti di due triangoli congruenti. Inoltre gli angoli

A \hat{O} K

e ________ sono opposti al vertice, quindi congruenti. Per concludere la dimostrazione ci basta allora dire che i triangoli

A O K

e

B O H

sono due triangoli ________ che hanno un cateto e ________ opposto ad esso congruenti, quindi sono congruenti.

Completamento chiuso

Nel triangolo rettangolo

A B C

, la mediana

A M

relativa all'potenusa forma l'angolo

A \hat{M} B

di ampiezza

84^{\circ}

. Determina le ampiezze degli angoli acuti di

A B C

.

A \hat{M} C = 96^{\circ}

perché angolo supplementare di

B \hat{M} A

.
Si ha che

A M ≅

________, poiché in un triangolo rettangolo la mediana relativa all'ipotenusa è
________,
quindi il triangolo

A M C

è isoscele sulla base

A C

.
Quindi

M \hat{C} A =

________

= 42^{\circ}

.
Di conseguenza

A \hat{B} C =

________.

Completamento chiuso