Proprietà degli angoli di un triangolo e di un poligono #515801

Marco manda la pallina in buca dopo ben quattro rimbalzi sulle sponde del tavolo da biliardo in figura. Quali sono le misure degli angoli

α

,

β

e

γ

?
L'ultimo tratto

D O

percorso dalla pallina è parallelo alla direzione della stecca? Motiva la risposta.

Dalla figura, determiniamo:

α ≅

________;

β ≅

________;
Osserviamo che

γ

≅

________ perché

γ

e

β

sono angoli alterni interni che si formano considerando la retta trasversale passante per

C D

rispetto alle rette parallele passanti per

C O

e

A D

.

L'ultimo tratto

D O

è parallelo alla direzione della stecca perché le rette passanti per ________ e

F E

e tagliate dalla trasversale passante per

A D

formano angoli alterni interni congruenti.

Completamento chiuso

Trova

x

,

y

e

z

.

x

è il supplementare di

100^{\circ}

perché angoli ________ interni, quindi

x = 80^{\circ}

.
Completiamo la figura inserendo il valore di alcuni angoli.

Quindi

z = 180^{\circ} - (110^{\circ} +

________

) = 6^{\circ}

e

y = 180^{\circ} - (6^{\circ} +

________

) = 122^{\circ}

.

Completamento chiuso

Determina l'angolo

x

.

Per il ________ criterio di congruenza dei triangoli rettangoli, i due triangoli in figura sono congruenti, poiché hanno ________ congruenti.

Di conseguenza

x

è l'angolo ________ di

50^{\circ}

,
per cui

x =

________.

Completamento chiuso

Nel triangolo rettangolo

A B C

, traccia l'altezza

C H

relativa all'ipotenusa

A B

. Traccia poi la bisettrice dell'angolo

H \hat{C} A

che interseca l'ipotenusa nel punto

D

. Dimostra che

B C ≅ B D

.

Rappresentiamo il triangolo in figura e scriviamo ipotesi e tesi.

Ipotesi:

A B C

triangolo rettangolo;

C H ⊥ A B

;

A \hat{C} D ≅ D \hat{C} H

.

Tesi:

B C ≅ B D

.

Dimostrazione
Consideriamo il triangolo rettangolo

C D H

. In esso:

C \hat{D} H + D \hat{H} C + H \hat{C} D = 180^{\circ} \to

C \hat{D} H + H \hat{C} D =

________

\to

C \hat{D} H = 90^{\circ} -

________.
Consideriamo il triangolo

D B C

. In esso:

D \hat{C} B = A \hat{C} B - D \hat{C} A =

90^{\circ} - H \hat{C} D =

90^{\circ} - \frac{H \hat{C} A}{2}

.
Pertanto gli angoli

C \hat{D} H

e

D \hat{C} B

sono congruenti e dunque il triangolo

D B C

è ________ per l'inverso del teorema del triangolo isoscele.
Di conseguenza

B C ≅ B D

.

Completamento chiuso

In un triangolo

A B C

siano

A H

e

B K

le due altezze e sia

O

il loro punto di intersezione. Dimostra che se

A H ≅ B K

, allora i triangoli

A O K

e

B O H

sono congruenti.

Ipotesi:

A H ≅ B K

Tesi:

A O K ≅ B O H

DIMOSTRAZIONE

Consideriamo i triangoli

A K B

e

B H A

. Essi hanno:
•

A \hat{K} B ≅ B \hat{H} A ≅ \frac{π}{2}

perché

A H

e

B K

sono altezze;
• ________

A B

in comune;
•

A H ≅ B K

per ipotesi.
Allora sono congruenti per il ________ criterio di congruenza dei triangoli rettangoli. In particolare,

A K ≅

________.

Consideriamo ora i triangoli rettangoli

A O K

e

B O H

. Essi hanno:
•

A K ≅

________ per la dimostrazione precedente;
•

A \hat{O} K ≅ B \hat{O} H

perché ________.
Allora sono congruenti per il ________ criterio di congruenza dei triangoli rettangoli.

Completamento chiuso

Determina la misura dell'ampiezza dell'angolo indicato in rosso.

Indichiamo l'angolo

α

in figura e con

β

l'angolo incognito.

Osserviamo che

α ≅

________

≅ 112^{\circ}

.
Allora

β ≅ 360^{\circ}

________

≅ 94^{\circ}

.

Completamento chiuso

Vero o falso?

A: In un quadrilatero la somma degli angoli interni è congruenti alla somma degli angoli esterni.

B: La somma degli angoli interni di un poligono di

n

lati è congruente alla somma degli angoli interni di

n - 3

triangoli.

C: In un triangolo rettangolo isoscele ciascun angolo esterno misura

135^{\circ}

.

D: La somma degli angoli interni di un pentagono concavo è uguale a quella di un pentagono convesso.

Vero o falso

Nella figura è rappresentato un pentagono regolare. Trova l'ampiezza

x

dell'angolo indicato.

________

Completamento chiuso

Nel triangolo rettangolo

A B C

, la mediana

A M

relativa all'potenusa forma l'angolo

A \hat{M} B

di ampiezza

84^{\circ}

. Determina le ampiezze degli angoli acuti di

A B C

.

A \hat{M} C = 96^{\circ}

perché angolo supplementare di

B \hat{M} A

.
Si ha che

A M ≅

________, poiché in un triangolo rettangolo la mediana relativa all'ipotenusa è
________,
quindi il triangolo

A M C

è isoscele sulla base

A C

.
Quindi

M \hat{C} A =

________

= 42^{\circ}

.
Di conseguenza

A \hat{B} C =

________.

Completamento chiuso