Proprietà degli angoli di un tr e di un pg e criteri di congr dei tr rettangoli

Marco manda la pallina in buca dopo ben quattro rimbalzi sulle sponde del tavolo da biliardo in figura. Quali sono le misure degli angoli $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$?
L'ultimo tratto $DO$ percorso dalla pallina è parallelo alla direzione della stecca? Motiva la risposta.

Dalla figura, determiniamo:
$\alpha \cong$________;
$\beta \cong$________;
Osserviamo che $\gamma$$\cong$________ perché $\gamma$ e $\beta$ sono angoli alterni interni che si formano considerando la retta trasversale passante per $CD$ rispetto alle rette parallele passanti per $CO$ e $AD$.

L'ultimo tratto $DO$ è parallelo alla direzione della stecca perché le rette passanti per ________ e $FE$ e tagliate dalla trasversale passante per $AD$ formano angoli alterni interni congruenti.

Nel triangolo rettangolo $ABC$, traccia l'altezza $CH$ relativa all'ipotenusa $AB$. Traccia poi la bisettrice dell'angolo $H\hat{C}A$ che interseca l'ipotenusa nel punto $D$. Dimostra che $BC\cong BD$.

Dimostrazione
Dimostriamo che il triangolo $CBD$ è isoscele sulla base ________ , così da avere i due lati obliqui $BC$ e $BD$ congruenti.
Il triangolo $CHD$ è rettangolo per costruzione, visto che il lato ________ è altezza del triangolo $ABC$ e quindi forma con la base $AB$ un angolo di ________. Poiché $CD$ è bisettrice dell'angolo ________, possiamo dire che gli angoli $H\hat{C}D$ e $A\hat{C}D$ sono ________ e misurano un certo numero $\alpha$. Per le proprietà dei triangoli, la somma degli angoli interni del triangolo $CDH$ vale ________, quindi l'angolo $C\hat{D}H$ misura ________. Poiché il triangolo $ABC$ è rettangolo in $C$, l'angolo $B\hat{C}D$ si può ottenere come la differenza degli angoli $A\hat{C}B$ e $A\hat{C}D$, quindi anche lui misura ________. Il triangolo $BCD$ ha quindi gli angoli in $C$ e in $D$ ________, quindi è isoscele, come volevamo dimostrare.

Determina la misura dell'ampiezza dell'angolo indicato in rosso.

Indichiamo l'angolo $\alpha$ in figura e con $\beta$ l'angolo incognito.

Osserviamo che
$\alpha \cong$________$\cong {112}^{\circ }$.
Allora
$\beta \cong {360}^{\circ }$________$\cong {94}^{\circ }$.

Nella figura è rappresentato un pentagono regolare. Trova l'ampiezza $x$ dell'angolo indicato.

________

Determina l'angolo $x$.

Per il ________ criterio di congruenza dei triangoli rettangoli, i due triangoli in figura sono congruenti, poiché hanno ________ congruenti.

Di conseguenza $x$ è l'angolo ________ di ${50}^{\circ }$,
per cui $x=$________.

Trova $x$, $y$ e $z$.

$x$ è il supplementare di ${100}^{\circ }$ perché angoli ________ interni, quindi $x={80}^{\circ }$.
Completiamo la figura inserendo il valore di alcuni angoli.

Quindi
$z={180}^{\circ }-({110}^{\circ }+$ ________$)=6^{\circ }$ e
$y={180}^{\circ }-(6^{\circ }+$ ________$)={122}^{\circ }$.

Nel triangolo rettangolo $ABC$, la mediana $AM$ relativa all'potenusa forma l'angolo $A\hat{M}B$ di ampiezza ${84}^{\circ }$.  Determina le ampiezze degli angoli acuti di $ABC$.

$A\hat{M}C={96}^{\circ }$ perché angolo supplementare di $B\hat{M}A$.
Si ha che $AM\cong$ ________, poiché in un triangolo rettangolo la mediana relativa all'ipotenusa è
________,
quindi il triangolo $AMC$ è isoscele sulla base $AC$.
Quindi $M\hat{C}A=$________ $={42}^{\circ }$.
Di conseguenza $A\hat{B}C=$ ________.