Fondamentali alla prova - Iperbole #572542 - Prove ed esercizi Zanichelli

Matematica

Iperbole traslata

Qual è l'equazione dell'iperbole con i fuochi su una retta parallela all'asse

x

, il centro

C (2; 1)

e i semiassi

a = 2

e

b = 5

?

A:

25 x^{2} - 4 y^{2} + 100 x - 8 y - 4 = 0

B:

4 x^{2} - 25 y^{2} - 16 x + 50 y - 10 = 0

C:

4 x^{2} - 25 y^{2} + 16 x - 50 y - 10 = 0

D:

25 x^{2} - 4 y^{2} - 100 x + 8 y - 4 = 0

Scelta multipla

1

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dalla difficoltà: da 1 (più facile) a 5 (più
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Matematica

Iperbole dati vertice ed eccentricità

Scrivi l'equazione dell'iperbole con i fuochi sull'asse

y

, eccentricità

e = \frac{\sqrt{5}}{2}

e vertici nei punti

(0; \pm 4)

.

________

Completamento chiuso

1

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Matematica

Iperbole e sua equazione

Indica se le seguenti affermazioni sono vere o false.

A: L'eccentricità dell'iperbole di equazione

\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{4} = - 1

è

\frac{\sqrt{13}}{3}

.

B: L'iperbole di equazione

4 x^{2} - 36 y^{2} = - 1

ha un vertice reale nel punto

(0; \frac{1}{6})

.

C: Se l'asse trasverso di un'iperbole ha la stessa misura dell'asse non trasverso, l'eccentricità è

1

.

D: L'iperbole di equazione

2 x^{2} - 9 y^{2} - 9 = 0

ha i fuochi sull'asse

y

.

Vero o falso

1

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Matematica

Iperbole e rette

Qual è la misura della corda staccata dall'iperbole di equazione

x^{2} - 3 y^{2} = 4

sulla retta di equazione

x - 3 y + 2 = 0

?

A:

\sqrt{10}

B:

40

C:

2 \sqrt{10}

D:

2 \sqrt{2}

Scelta multipla

1

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Matematica

Iperbole dati fuoco e punto

Determina l'equazione dell'iperbole con centro nell'origine, con un fuoco in

(5; 0)

e passante per il punto

P (4 \sqrt{2}; 3)

.

________

Completamento chiuso

1

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Matematica

Iperbole e parametro

Considera l'equazione

\frac{x^{2}}{k - 4} + \frac{y^{2}}{2 k + 9} = 1

.
Associa a ogni richiesta i valori del parametro reale

k

per cui sono soddisfatti.

L'equazione rappresenta un'iperbole.
________

L'equazione rappresenta un'iperbole con i fuochi sull'asse

x

.
________

L'equazione rappresenta un'iperbole con un asintoto di equazione

y = \frac{3}{2} x

.
________

L'equazione rappresenta un'iperbole con un fuoco in

F (0; - 4)

.
________

Posizionamento

1

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Matematica

Tangenti e un'iperbole condotte da un punto esterno

Considera l'iperbole di equazione

\frac{x^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{5} = - 1

. Determina le equazioni delle tangenti all'iperbole passanti per il punto

A (0; - 1)

e le coordinate dei rispettivi punti di tangenza

B

e

C

. Calcola, infine, l'area del triangolo

A B C

.

Scriviamo l'equazione del fascio di rette passante per

A (0; - 1)

:
________

= m x

\to

y = m x - 1

.
Impostiamo il sistema formato dalle equazioni della retta e dell'iperbole:

{\begin{matrix} \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = - 1 \\ y = m x - 1 \end{matrix} \to

\frac{x^{2}}{4} - \frac{(m x - 1)^{2}}{5} = - 1 \to

x^{2} (5 - 4 m^{2}) + 8 m x + 16 = 0

.
Imponiamo la condizione di tangenza:

\frac{Δ}{4} = 0 \to 16 m^{2} - 16 (5 - 4 m^{2}) = 0 \to

80 (m^{2} - 1) = 0 \to m =

________.
Sostituiamo i valori trovati nell'equazione della retta e otteniamo

y = x - 1

,

y = - x - 1

.
Troviamo le coordinate dei punti di tangenza

B

e

C

risolvendo

x^{2} (5 - 4 m) + 8 m x + 16 = 0

per

m = 1

e

m = - 1

.
Nel primo caso l'equazione diventa

x^{2} + 8 x + 16 = 0 \to

x =

________,
quindi

B (- 4; - 5)

.
Se invece

m = - 1

l'equazione diventa

x^{2} - 8 x + 16 = 0 \to

x = 4

,
quindi

C

________.
I fuochi dell'iperbole e il punto

A

appartengono all'asse ________, quindi il triangolo

A B C

è isoscele con base

\bar{B C} = | 4 + 4 | = 8

e altezza

\bar{A H} = | - 5 - (- 1) | =

________.
L'area quindi è

\frac{8 \cdot 4}{2} = 16

.

Completamento chiuso

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Matematica

Tangente a un'iperbole in un suo punto

Qual è l'equazione della tangente all'iperbole di equazione

8 x^{2} - 9 y^{2} = 36

nel suo punto

(- 3; - 2)

?

A:

4 x - 3 y + 6 = 0

B:

3 x - 4 y + 6 = 0

C:

4 x + 3 y - 6 = 0

D:

3 x + 4 y - 6 = 0

Scelta multipla

1

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Matematica

Metodo del completamento del quadrato

Indica se le seguenti affermazioni sono vere o false. L'iperbole di equazione

2 x^{2} - y^{2} + 4 x + 10 y - 21 = 0

:

A: ha i vertici reali sull'asse

x

.

B: ha centro di simmetria di coordinate

(- 1; 5)

.

C: ha un fuoco di coordinate

(- 1; \sqrt{5})

.

D: ha un asintoto di equazione

y = - \frac{\sqrt{2}}{2} x

.

Vero o falso

1

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Matematica

Iperbole equilatera

L'iperbole di equazione

x y = 8

:

A: passa per l'origine.

B: è simmetrica rispetto all'origine.

C: passa per il punto

(0; 8)

.

D: ha come vertici i punti

(- 2 \sqrt{2}; 2 \sqrt{2})

e

(2 \sqrt{2}; - 2 \sqrt{2})

.

Scelta multipla

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Matematica

Funzione omografica

L'iperbole di equazione

y = \frac{2 x - 1}{4 x + 8}

:

A: ha il centro nel punto

C (- 2; \frac{1}{2})

.

B: passa per l'origine degli assi.

C: ha come asintoti le rette di equazioni

x = \frac{1}{2}

e

y = - 2

.

D: interseca gli assi cartesiani nei punti

A (\frac{1}{2}; 0)

e

B (0; - \frac{1}{8})

.

Vero o falso

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