Fondamentali alla prova - Ellisse #572530 - Prove ed esercizi Zanichelli

Equazione dell'ellisse

Soltanto una delle seguenti equazioni descrive analiticamente un'ellisse che non è una circonferenza. Quale?

A:

x^{2} + y^{2} = 0

B:

3 x^{2} - 2 y^{2} = 6

C:

3 x^{2} + 2 y^{2} - 8 = 0

D:

4 x^{2} + 4 y^{2} + 8 = 0

Scelta multipla

Equazione dell'ellisse

Determina i valori di

k

per i quali l'equazione

\frac{x^{2}}{4 k} + \frac{y^{2}}{k + 3} = 1

rappresenta:

a. un'ellisse;
________

b. un'ellisse con i fuochi sull'asse

x

;
________

c. un'ellisse con un vertice in

(0; 5)

.
________

Completamento chiuso

Posizione di una retta rispetto a un'ellisse

Associa a ciascuna retta la sua posizione rispetto all'ellisse di equazione

4 x^{2} + 20 y^{2} = 45

.

2 y = x - \frac{9}{2}

________

3 y = - 4 x - 1

________

y + x = 4

________

Posizionamento

Caratteristiche dell'ellisse

Considera l'ellisse di equazione

\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{18} = 1

.

A:

I fuochi hanno coordinate

(4; 0)

e

(- 4; 0)

.

B:

Le coordinate dei vertici sono

(- 2; 0)

,

(2; 0)

,

(0; - 18)

,

(0; 18)

.

C:

L'asse maggiore è triplo dell'asse minore.

D:

L'eccentricità è pari a quella dell'ellisse di equazione

\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{36} = 1

.

Vero o falso

Dal grafico all'equazione

Qual è l'equazione dell'ellisse rappresentata in figura?

A:

\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{9} = 1

B:

\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{9} = 1

C:

\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{2} = 1

D:

\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{2} = 1

Scelta multipla

Tangenti a un'ellisse

Determina le equazioni delle rette tangenti all'ellisse di equazione

9 x^{2} + 4 y^{2} = 36

condotte dal punto

P (0; 5)

.

________

Completamento chiuso

Ellisse dati un fuoco e un vertice

Determina l'equazione dell'ellisse che ha un fuoco in

(4; 0)

e un vertice in

(- 5; 0)

.

________

Completamento chiuso

Ellisse per due punti

Determina l'equazione dell'ellisse che passa per i punti

A (1; 2)

e

B (\sqrt{2}; \sqrt{2})

.

________

Completamento chiuso

Ellisse come dilatazione della circonferenza

Quale deve essere il valore dei parametri

a

e

b

della dilatazione di equazioni

{\begin{cases} x^{'} = a x \\ y^{'} = b y \end{cases}

, con

a

,

b \in R^{+}

, affinché la circonferenza con centro nell'origine e raggio

1

sia trasformata nell'ellisse di equazione

\frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{36} = 1

?

A:

a = 6

e

b = 8

.

B:

a = 8

e

b = 6

.

C:

a = \frac{1}{8}

e

b = \frac{1}{6}

.

D:

a = 64

e

b = 36

.

Scelta multipla

Ellisse dati un punto e l'eccentricità

Determina l'equazioni dell'ellisse con i fuochi sull'asse

x

che passa per il punto

P (1; \frac{1}{2})

e ha eccentricità

e = \frac{1}{2}

.

Un'ellisse con fuochi sull'asse

x

ha equazione

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

, con eccentricità

e =

________, dove

c =

________. Quindi

\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}

. Dato che

a > 0

, possiamo elevare al quadrato ambo i membri e isolare

b^{2}

:

\frac{1}{4} = \frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2}} \to

\frac{1}{4} a^{2} = a^{2} - b^{2} \to

b^{2} =

________.
Imponiamo il passaggio dell'ellisse per il punto

(1; \frac{1}{2})

:
________

= 1

.
Sostituiamo

b^{2} = \frac{3}{4} a^{2}

e ricaviamo

a^{2}

:

\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{3 a^{2}} = 1 \to a^{2} =

________.
Quindi

b^{2} = 1

e l'equazione dell'ellisse è

3 x^{2} + 4 y^{2} = 4

.

Completamento chiuso

Risoluzione grafica di disequazioni irrazionali

Risolvi graficamente la seguente disequazione irrazionale e conferma il risultato algebricamente.

$- \frac{1}{5} x + \frac{6}{5} < 1 - \frac{1}{5} \sqrt{25 - x^{2}}$

Analizziamo separatamente i due membri. Il membro sinistro è una retta di coefficiente angolare ________ e intercetta $\frac{6}{5}$ . Il membro destro è equivalente a

${\begin{cases} \end{cases}$	________	,
	$y \leq 1$
	$(y - 1)^{2} = \frac{1}{25} (25 - x^{2})$

cioè al ramo di ellisse di equazione $\frac{x^{2}}{25} + (y - 1)^{2} = 1$ , con $y \leq 1$ .

Rappresentiamo nel piano cartesiano.

La disequazione è soddisfatta per $α < x \leq 5$ , con $3 < α < 5$ .

Verifichiamo la disequazione algebricamente.

${\begin{cases} \end{cases}$	$25 - x^{2} \geq 0$	$\to$
	$x - 1 > 0$
	$25 - x^{2} <$ ________

${\begin{cases} - 5 \leq x \leq 5 \\ x > 1 \\ x^{2} - x - 12 > 0 \end{cases} \to$

${\begin{cases} - 5 \leq x \leq 5 \\ x > 1 \\ x < - 3 \lor x > 4 \end{cases} \to 4 < x \leq 5.$

Completamento chiuso

Risoluzione grafica di equazioni irrazionali

Risolvi graficamente la seguente equazione irrazionale e conferma il risultato algebricamente.

$2 \sqrt{9 - x^{2}} = 6 - x$

Il membro sinistro dell'equazione è equivalente a

${\begin{cases} \end{cases}$	________	,
	$y \geq 0$
	$\frac{y^{2}}{4} = 9 - x^{2}$

quindi è un ramo di ellisse di equazione

$\frac{x^{2}}{9} +$ ________ $= 1$ con $y \geq 0$ .

Il membro destro è una retta di coefficiente angolare ________ e intercetta $6$ . Rappresentiamole nel piano cartesiano.

Le soluzioni dell'equazione sono $x = 0$ e $x = α$ , con $2 < α < 3$ .

Confermiamo il risultato risolvendo algebricamente l'equazione irrazionale.

$2 \sqrt{9 - x^{2}} = 6 - x \to$

${\begin{cases} \end{cases}$	$9 - x^{2} \geq 0$	$\to$
	$6 - x \geq 0$
	$4 (9 - x^{2}) =$ ________

${\begin{cases} - 3 \leq x \leq 3 \\ x \leq 6 \\ x (5 x - 12) = 0 \end{cases} \to$

$x = 0$ e $x = \frac{12}{5}$

Quindi le soluzioni sono $x = 0$ e $x = \frac{12}{5}$ .

Completamento chiuso

Ellisse traslata

Scrivi l'equazione e disegna l'ellisse ottenuta dall'ellisse di equazione $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ mediante la traslazione di vettore $\vec{v} (- 1; - 1)$ .

I vertici dell'ellisse data sono $A_{1} (- \sqrt{2}; 0)$ , $A_{2} (\sqrt{2}; 0)$ , $B_{1} (0; - 1)$ e $B_{2} (0; 1)$ .

Scriviamo le equazioni della traslazione $t$ di vettore $\vec{v} (- 1; - 1)$ e ricaviamo $x$ e $y$ :

$t$ : ${\begin{cases} \end{cases}$	$x^{'} =$ ________	$\to$
	$y^{'} =$ ________

$t$ : ${\begin{cases} x = x^{'} + 1 \\ y = y^{'} + 1 \end{cases} .$

Per trovare l'equazione dell'ellisse traslata, sostituiamo le espressioni trovate all'interno dell'equazione dell'ellisse e togliamo gli apici.

$\frac{(x^{'} + 1)^{2}}{2} + (y^{'} + 1)^{2} = 1 \to$

$\frac{(x + 1)^{2}}{2} + (y + 1)^{2} = 1$

Sostituendo nelle equazioni di $t$ le coordinate del centro e dei vertici, otteniamo le coordinate del centro e dei vertici dell'ellisse traslata:

$O^{'} (- 1; - 1)$ ;

$A_{1}^{'} (- \sqrt{2} - 1; - 1)$ ;

$A_{2}^{'}$ ________;

$B_{1}^{'}$ ________;

$B_{2}^{'}$ ________.

Rappresentiamo l'ellisse traslata nel piano cartesiano.

Completamento chiuso

Area racchiusa da un'ellisse

Un'ellisse ha un fuoco in

(- \sqrt{3}; 0)

ed eccentricità

e = \frac{1}{\sqrt{3}}

. Qual è l'area racchiusa dall'ellisse?

A:

3 \sqrt{6}

B:

9 π \sqrt{6}

C:

3 π \sqrt{6}

D:

9 \sqrt{6}

Scelta multipla