Fondamentali alla prova - Ellisse

Risolvi graficamente la seguente disequazione irrazionale e conferma il risultato algebricamente.

${\displaystyle -\frac{1}{5}x+\frac{6}{5}<1-\frac{1}{5}\sqrt{25-x^2}}$

Analizziamo separatamente i due membri. Il membro sinistro è una retta di coefficiente angolare ________ e intercetta ${\displaystyle \frac{6}{5}}$. Il membro destro è equivalente a

cioè al ramo di ellisse di equazione ${\displaystyle \frac{x^2}{25}+(y-1{)}^2=1}$, con $y\le 1$.

Rappresentiamo nel piano cartesiano.

La disequazione è soddisfatta per $\alpha <x\le 5$, con $3<\alpha <5$.

Verifichiamo la disequazione algebricamente.

$\{\begin{array}{c}-5\le x\le 5\\ x>1\\ x^2-x-12>0\end{array}\to$

$\{\begin{array}{c}-5\le x\le 5\\ x>1\\ x<-3\vee x>4\end{array}\to 4<x\le 5.$

Risolvi graficamente la seguente equazione irrazionale e conferma il risultato algebricamente.

$2\sqrt{9-x^2}=6-x$

Il membro sinistro dell'equazione è equivalente a

quindi è un ramo di ellisse di equazione

${\displaystyle \frac{x^2}{9}+}$________$=1$ con $y\ge 0$.

Il membro destro è una retta di coefficiente angolare ________ e intercetta $6$. Rappresentiamole nel piano cartesiano.

Le soluzioni dell'equazione sono $x=0$ e $x=\alpha$, con $2<\alpha <3$.

Confermiamo il risultato risolvendo algebricamente l'equazione irrazionale.

$2\sqrt{9-x^2}=6-x\to$

$\{\begin{array}{c}-3\le x\le 3\\ x\le 6\\ x(5x-12)=0\end{array}\to$

$x=0$ e ${\displaystyle x=\frac{12}{5}}$

Quindi le soluzioni sono $x=0$ e ${\displaystyle x=\frac{12}{5}}$.

Scrivi l'equazione e disegna l'ellisse ottenuta dall'ellisse di equazione ${\displaystyle \frac{x^2}{2}+y^2=1}$ mediante la traslazione di vettore $\overrightarrow{v}(-1;-1)$.

I vertici dell'ellisse data sono $A_1(-\sqrt{2};0)$, $A_2(\sqrt{2};0)$, $B_1(0;-1)$ e $B_2(0;1)$.

Scriviamo le equazioni della traslazione $t$ di vettore $\overrightarrow{v}(-1;-1)$ e ricaviamo $x$ e $y$:

$t$: $\{\begin{array}{c}x=x^{\prime }+1\\ y=y^{\prime }+1\end{array}.$

Per trovare l'equazione dell'ellisse traslata, sostituiamo le espressioni trovate all'interno dell'equazione dell'ellisse e togliamo gli apici.

${\displaystyle \frac{(x^{\prime }+1{)}^2}{2}+(y^{\prime }+1{)}^2=1\to }$

${\displaystyle \frac{(x+1{)}^2}{2}+(y+1{)}^2=1}$

Sostituendo nelle equazioni di $t$ le coordinate del centro e dei vertici, otteniamo le coordinate del centro e dei vertici dell'ellisse traslata:

$O^{\prime }(-1;-1)$;

$A_1^{\prime }(-\sqrt{2}-1;-1)$;

$A_2^{\prime }$________;

$B_1^{\prime }$________;

$B_2^{\prime }$________.

Rappresentiamo l'ellisse traslata nel piano cartesiano.