Fai il punto sulle competenze - Relazioni di equivalenza e d’ordine

Considera l'insieme $A=\{x|x=2^n,n\in \mathbb{N}\}$, delle potenze di $2$. Dimostra che la relazione definita in $A$

$x\mathcal{R}y\leftrightarrow$$x$ è multiplo di $y$

è una relazione d'ordine largo e totale.

Consideriamo $x=2^n$, $y=2^m$ e $z=2^l$ numeri distinti, appartenenti all'insieme $A$, con $n$, $m$ e $l$$\in \mathbb{N}$.

Dimostriamo che la relazione $\mathcal{R}$ è una relazione d'ordine largo.

• La proprietà ________ è soddisfatta perché ogni numero $x$ è multiplo di se stesso: $2^n=2^n\cdot 1$.
• La relazione è antisimmetrica perché se $x$ è multiplo di $y$, allora $y$________ multiplo di $x$: se esiste $k\in \mathbb{N}$ tale che $2^n=k\cdot 2^m$, allora $2^m={\displaystyle \frac{1}{k}\cdot 2^n}$, ma ${\displaystyle \frac{1}{k}\notin \mathbb{N}}$.
• La relazione è transitiva perché se $x$ è multiplo di $y$, e $y$ è multiplo di $z$ allora $x$ è multiplo di $z$: se esistono $k$ e $h$ appartenenti a $\mathbb{N}$ tali che $x=k\cdot 2^m$ e $y=h\cdot 2^l$allora $x=k\cdot h\cdot$________.

Dimostriamo che la relazione è di ordine totale.

Consideriamo due numeri qualsiasi $x=2^n$ e $y=2^m$ appartenenti ad $A$ e supponiamo che $n\le m$.

Si ha allora che $y=2^m=2^n\cdot 2^{m-n}=2^{m-n}\cdot$________ e quindi $y$ è in relazione con $x$.