Fai il punto sulle competenze - Operazioni sui limiti

Per quali valori del parametro $a$ la funzione $f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{x^2+3}{x-a}& x<3\\ (a+2){\log }_2(x+1)& x\ge 3\end{array}$
ammette limite in $x=3$?

Per quali valori del parametro $k$ vale ${\displaystyle \underset{x\to 1^{-}}{lim}{\left(\frac{k-1}{k}\right)}^{\frac{1}{x-1}}=+\mathrm{\infty }}$?

Associa a ogni limite il suo risultato.

${\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{lim}{\arctan }^{\frac{1}{x}}(x)}$   ________

${\displaystyle \underset{x\to 0^{-}}{lim}-\frac{2^{-\frac{1}{x}}}{x}}$   ________

${\displaystyle \underset{x\to 1^{-}}{lim}\frac{\ln (1-x)}{e^x}}$   ________

${\displaystyle \underset{x\to \frac{\pi }{2}}{lim}\{{\sin }^2(x)[\cos (2x)-\tan (2x)]\}}$   ________

Considera le funzioni $f(x)=x^2-x$ e $g(x)=2^{-x}$ e indica se le seguenti affermazioni sono vere o false.

Se ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=2}$, quanto vale ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1-f(x)}{e^x}}$?

Anna parte per un viaggio in auto e, prima della partenza, riempie completamente il serbatoio di benzina. Viaggiando, la quantità di benzina presente nel serbatoio scende secondo la funzione $B(t)=42\cdot e^{-0,002t}$, dove $t$ è il tempo espresso in minuti e $B(t)$ è la quantità di benzina nel serbatoio espressa in litri.
a.   Quanti litri ci saranno nel serbatoio dell'auto dopo un'ora di viaggio?
b.   Calcola il limite di $B(t)$ per $t\to +\mathrm{\infty }$.
c.   Dopo quanto tempo il serbatoio conterrà meno di $10\text{L}$ di benzina? Esprimi il risultato in ore.

1.   Troviamo la quantità di benzina presente nel serbatoio dopo un'ora di viaggio calcolando il valore di $B(t)$ quando
$t=$________. Dopo un'ora il serbatoio dell'auto di Anna conterrà circa ________$\text{L}$ di benzina.

2.   Calcoliamo il valore del limite di $B(t)$ per $t\to +\mathrm{\infty }$:
${\displaystyle \underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}B(t)=\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}42\cdot e^{-0,002t}=}$________.

3.   Troviamo dopo quanto tempo il serbatoio conterrà meno di $10\text{L}$ di benzina risolvendo la disequazione $B(t)$________$10$. Allora il serbatoio conterrà meno di $10\text{L}$ di benzina dopo circa ________ ore.