Fai il punto sulle competenze - Limiti a +∞ o -∞ per x che tende a +∞ o a -∞

A quale dei seguenti limiti corrisponde la definizione $\mathrm{\forall }M>0\mathrm{\exists }c>0$: $\mathrm{\forall }x<-c$, $4^{-3x}>M$?

Osserva la figura. Per quale delle seguenti funzioni è vero che ${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }}$?

Un corpo viene messo in movimento con una velocità costante $v_0=1$ m/s e accelerazione $a=2$ m/s² costante. Supponendo che non ci sia attrito, scrivi la legge oraria che descrive il suo spostamento $s(t)$ in funzione del tempo $t$ misurato in secondi.
a.   Quanti metri avrà percorso il corpo dopo $10$ s?
b.   Rappresenta $s(t)$ in un grafico $t-s(t)$ e deduci il valore di ${\displaystyle \underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}s(t)}$.
c.   Verifica il valore del limite tramite la definizione.

1.   Il corpo si muove di moto uniformemente accelerato, in cui $s_0=0$ m, $v_0=1$ m/s e $a=2$ m/s². Allora
$s(t)={\displaystyle \frac{1}{2}a{t}^2+v_{0}t+s_0=}$ ________.

2.   Utilizzando la legge oraria, calcoliamo quanti metri ha percorso il corpo dopo $10$ s:
$s(10)=$ ________ m.

3.   La legge oraria del moto ha il grafico in figura ________.







4.   Dal grafico di $s(t)$ deduciamo che
${\displaystyle \underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}s(t)=}$ ________.
Lo verifichiamo con la definizione
$\mathrm{\forall }M>0\mathrm{\exists }c>0$: $\mathrm{\forall }x>c$   $s(t)$ ________.
Risolviamo la disequazione:
$t^2+t-M$ ________ $0$ $\to$
${\displaystyle t<\frac{-1-\sqrt{1+4M}}{2}\vee t>\frac{-1+\sqrt{1+4M}}{2}}$,
dove ${\displaystyle \frac{-1+\sqrt{1+4M}}{2}}$ ________ $0$ per ogni $M>0$, dunque abbiamo trovato un valore di $c$ positivo per cui se $x>0$, si ha $s(t)>M$.

Dato il grafico indica se le seguenti affermazioni sono vere o false.

Associa a ogni funzione il limite corretto, osservando la figura.

$f(x)=4^{-x-8}-2$   ________
$f(x)=\ln (x+3)-2$   ________
$f(x)=-\sqrt{4x+3}$   ________
$f(x)=-\sqrt{-x}$   ________

Considera la definizione $\mathrm{\forall }M>0\mathrm{\exists }c>0$: $\mathrm{\forall }x>c$, $f(x)<-M$ relativa al ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=-\mathrm{\infty }}$.
Se $f(x)=-{\log }_{2}x$, qual è l'intervallo di $x$ per cui $f(x)<-M$?