Fai il punto sulle competenze - Integrale definito, teorema della media, funzione integrale #565344

Sia

f

una funzione definita e continua su

R

. Per quali valori

a

e

b

risulta vera l'uguaglianza

\int_{0}^{a} f (\frac{3 x - 1}{2}) d x = - \frac{2}{3} \int_{0}^{b} f (x) d x

?

A:

a = \frac{1}{3}

e

b = - \frac{1}{2}

.

B:

a = - \frac{1}{3}

e

b = \frac{1}{2}

.

C:

a = \frac{1}{2}

e

b = - \frac{1}{3}

.

D:

a = - \frac{1}{2}

e

b = \frac{1}{3}

.

Scelta multipla

Per quale

a \in R

si ha

\int_{0}^{a} \cos 5 x d x = 0

?

A:

a = \frac{π}{2} + 2 k π

,

k \in Z

.

B:

a = \frac{π}{10} + k \frac{π}{5}

,

k \in N

.

C:

a = k \frac{π}{5}

,

k \in Z

.

D:

a = \frac{π}{2} + 2 k π

,

k \in N

.

Scelta multipla

Sia

F (x) = \int_{0}^{2 x} (t + 5) d t

. Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false.

A:

F^{'} (x) = 4 x + 10

.

B:

lim_{x \to 0} \frac{F (x)}{2 x} = 10

.

C:

F (x)

è crescente nell'intervallo

[- 2; 0]

.

D:

La retta

y = 2 x - 8

è tangente a

F (x)

nel punto

(- 4; - 12)

.

Vero o falso

Associa a ciascun integrale definito il suo risultato.

\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{4 - x^{2}}} d x

________

\int_{0}^{\frac{\sqrt{5}}{9}} \frac{27 x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} d x

________

\int_{1}^{2} 9^{x} d x

________

\int_{0}^{1} \frac{6}{2 x - 1} d x

________

Posizionamento

Qual è il valor medio della funzione

y = x e^{\frac{x}{3}}

nell'intervallo

[0; 3]

?

A:

0

B:

3

C:

3 e

D:

9

Scelta multipla

Nella figura è rappresentato il grafico di una funzione

y = f (x)

, simmetrico rispetto all'origine degli assi. L'area in rosso è

9

e

\int_{- 2}^{0} f (x) d x = 16

. Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false.

A:

\int_{- 1}^{0} f (x) d x = 7

B:

\int_{0}^{2} f (x) d x = 16

C:

\int_{0}^{- 2} f (x) d x = - 16

D:

\int_{- 2}^{1} f (x) d x = 9

E:

\int_{- 2}^{2} f (x) d x = 32

Vero o falso

Completa inserendo

<

,

>

o

=

.

\int_{- 2}^{- 1} (8 - x^{2}) d x

________

0

\int_{0}^{1} - \ln (5 - x) d x

________

0

\int_{- π}^{π} \sin (x + π) d x

________

0

\int_{0}^{1} \sqrt{5 - x} d x

________

0

Completamento chiuso

Mattia impiega

15

minuti per raggiungere la scuola partendo da casa con la sua moto. La funzione

v (t) = - 3000 t^{2} + 800 t

descrive l'andamento nel tempo della velocità della moto con la velocità

v

misurata in km/h e il tempo

t

in ore. Quanti km dista la scuola da casa di Mattia?

La distanza percorsa è uguale all'integrale definito della velocità nell'intervallo di tempo.
Se Mattia impiega

15

minuti, l'intervallo di tempo in esame è

[0

; ________

]

.
Per calcolare la distanza percorsa dobbiamo quindi risolvere l'integrale definito:

\int_{0}^{\frac{1}{4}} v (t) d t = \int_{0}^{\frac{1}{4}} (- 3000 t^{2} + 800 t) d t =

[-

________

t^{3} +

________

t^{2}

]_{0}^{\frac{1}{4}} =

-

________

+

________

= \frac{75}{8}

.
Possiamo concludere che la scuola dista da casa di Mattia

9, 375

km.

Completamento chiuso