Fai il punto sulle competenze - Equazioni lineari e omogenee di secondo grado in seno e coseno #566347

Quale tra i seguenti insiemi è l'insieme delle soluzioni dell'equazione

\sqrt{2} \cos^{2} x + \cos x \sin x - \sqrt{3} \cos^{2} x =

- \sqrt{2} \sin^{2} x + \sqrt{2}

?

A:

x = \frac{π}{3} + k π \lor x = \frac{π}{2} + k π

B:

x = \frac{π}{4} + k π

C:

x = \frac{π}{2} + k π

D:

x = \frac{π}{6} + k π

Scelta multipla

Nel grafico è rappresentata la funzione

f (x) = a \sin x + b \cos x

, con

a

,

b

\in R

. Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false.

A:

f (x) = \sin x + \cos x

.

B:

f (x)

interseca l'asse

x

nei punti

(- \frac{π}{4}; 0)

e

(\frac{π}{4}; 0)

nell'intervallo

[- π; π]

.

C:

f (x)

interseca la retta di equazione

y = 1

solo nei punti

(0; 1)

e

(2 π; 1)

nell'intervallo

[0; 2 π]

.

D:

f (x) = \sqrt{2} \sin (x + \frac{π}{4})

.

Vero o falso

Quali sono i punti di intersezione fra i grafici delle funzioni

y = - 2 \sqrt{2} \sin x

e

y = 2 \sqrt{2} \cos x - 4

?

A:

(\frac{π}{4} + 2 k π; - 2)

B:

(\frac{π}{4} + 2 k π; 2 + 2 k π)

C:

(\frac{π}{2} + 2 k π; - 2)

D:

(\frac{π}{2} + 2 k π; - 2 + 2 k π)

Scelta multipla

Associa a ogni equazione la rappresentazione che ne permette la risoluzione con il metodo grafico.

\sqrt{2} \sin x + \cos x = 1

________

\sqrt{2} \sin x + \sqrt{2} \cos x = 1

________

- \sqrt{2} \sin x + \cos x = 1

________

- \sqrt{2} \sin x + \sqrt{2} \cos x = 1

________

Posizionamento

Quale tra i seguenti insiemi è l'insieme delle soluzioni dell'equazione

\sin 6 x + \cos 6 x + 1 = 0

?

A:

x = \frac{π}{6} + \frac{1}{3} k π \lor x = \frac{π}{4} + \frac{1}{3} k π

B:

x = \frac{π}{4} + \frac{1}{3} k π

C:

\frac{π}{6} + 2 k π \lor x = \frac{π}{4} + 2 k π

D:

x = \frac{π}{4} + k π

Scelta multipla

Considera il triangolo $A B C$ , rettangolo in $B$ . Se $\bar{A C} = 17$ e la somma delle lunghezze dei lati $A B$ e $B C$ è $23$ , esprimi $A B$ e $B C$ in funzione dell'angolo in $C$ e determina l'ampiezza di tale angolo.

Esprimiamo i lati del triangolo in funzione dell'angolo $\hat{C}$ :

$\bar{A B} =$ ________ $\sin \hat{C}$ ;
$\bar{B C} =$ ________ $\cos \hat{C}$ .

Per risolvere il problema dobbiamo risolvere l'equazione:

$\bar{A B} + \bar{B C} =$ ________ $\to$

$\bar{A C} \sin \hat{C} + \bar{A C} \cos \hat{C} = 23 \to$

$\sin \hat{C} + \cos \hat{C} = \frac{23}{\bar{A C}} \to$

$\sin \hat{C} + \cos \hat{C} = \frac{23}{17}$ .

Risolviamo l'equazione con il metodo algebrico nell'intervallo $[0; π]$ .

$\hat{C} =$ ________ non può essere soluzione dell'equazione perché $\hat{C}$ è angolo di un triangolo rettangolo. Utilizziamo le formule parametriche per determinare le soluzioni dell'equazione:

$\frac{2 t}{1 + t^{2}} + \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}} = \frac{23}{17} \to$

________ $t$ $+ 17 -$ ________ $t^{2} = 23 +$ $23 t^{2} \to$

$40 t^{2} - 34 t + 6 = 0 \to$

$t =$ ________ $\to$

$t_{1} = \frac{1}{4} \lor t_{2} = \frac{3}{5}$ .

Torniamo alla variabile $x$ :

$\tan$ ________ $= \frac{1}{4} \to$

$x = 2 \arctan \frac{1}{4} ≃ 28^{\circ}$ ;

$\tan \frac{x}{2} = \frac{3}{5} \to$

$x =$ ________ $\arctan \frac{3}{5} ≃ 62^{\circ}$ .

Entrambe le soluzioni sono accettabili, se $\hat{C} ≃ 28^{\circ}$ allora

$\bar{A B}$ ________ $\bar{A C}$ ,

se $\hat{C} ≃ 62^{\circ}$ allora

$\bar{A B}$ ________ $\bar{A C}$ .

Completamento chiuso

Quale tra i seguenti insiemi è l'insieme delle soluzioni dell'equazione

\sin^{3} x - \cos^{2} x \sin x = 0

?

A:

x = \frac{π}{4} + \frac{1}{2} k π \lor x = \frac{π}{2} + k π

B:

x = \frac{π}{4} + \frac{1}{2} k π

C:

x = \frac{π}{4} + \frac{1}{2} k π \lor x = k π

D:

x = k π

Scelta multipla