Fai il punto sulle competenze - Equazioni lineari e omogenee di secondo grado in seno e coseno

Considera il triangolo $ABC$, rettangolo in $B$. Se $\overline{AC}=17$ e la somma delle lunghezze dei lati $AB$ e $BC$ è $23$, esprimi $AB$ e $BC$ in funzione dell'angolo in $C$ e determina l'ampiezza di tale angolo.

Esprimiamo i lati del triangolo in funzione dell'angolo $\hat{C}$:

• $\overline{AB}=$________$\sin \hat{C}$;
• $\overline{BC}=$________$\cos \hat{C}$.

Per risolvere il problema dobbiamo risolvere l'equazione:

$\overline{AB}+\overline{BC}=$________$\to$

$\overline{AC}\sin \hat{C}+\overline{AC}\cos \hat{C}=23\to$

$\sin \hat{C}+\cos \hat{C}={\displaystyle \frac{23}{\overline{AC}}\to }$

${\displaystyle \sin \hat{C}+\cos \hat{C}=\frac{23}{17}}$.

Risolviamo l'equazione con il metodo algebrico nell'intervallo $[0;\pi ]$.

$\hat{C}=$________ non può essere soluzione dell'equazione perché $\hat{C}$ è angolo di un triangolo rettangolo. Utilizziamo le formule parametriche per determinare le soluzioni dell'equazione:

${\displaystyle \frac{2t}{1+t^2}+\frac{1-t^2}{1+t^2}=\frac{23}{17}\to }$

________$t$$+17-$________$t^2=23+$$23t^2\to$

$40t^2-34t+6=0\to$

$t=$________$\to$

${\displaystyle t_1={\displaystyle \frac{1}{4}\vee t_2=\frac{3}{5}}}$.

Torniamo alla variabile $x$:

$\tan$________${\displaystyle =\frac{1}{4}\to }$

${\displaystyle x=2\arctan \frac{1}{4}\simeq {28}^{\circ }}$;

${\displaystyle \tan \frac{x}{2}=\frac{3}{5}\to }$

$x=$________${\displaystyle \arctan \frac{3}{5}\simeq {62}^{\circ }}$.

Entrambe le soluzioni sono accettabili, se $\hat{C}\simeq {28}^{\circ }$ allora

$\overline{AB}$________$\overline{AC}$,

se $\hat{C}\simeq {62}^{\circ }$ allora

$\overline{AB}$________$\overline{AC}$.