Fai il punto sulle competenze - Equazione della retta e posizione reciproca di una retta e un piano

Un gruppo scout ha realizzato un alzabandiera a tre piedi. Le tre filagne di legno si incontrano in un punto a $20$ dm di distanza dal suolo e poggiano sul terreno in tre punti tra loro equidistanti. Ponendo un sistema di riferimento cartesiano con l'origine nel baricentro della struttura e sapendo che $A$ ha coordinate $A(0;6;0)$, scrivi le equazioni cartesiane delle rette $AV$, $BV$ e $VC$.

Il punto in cui le filagne si incontrano ha coordinate

$V(0$; ________; ________$)$.

I punti in cui le filagne poggiano sul terreno sono i vertici di un triangolo equilatero.

Ricordiamo che in un triangolo equilatero, il baricentro divide ogni mediana in due parti, una delle quali è il doppio dell'altra, con la parte più grande contenente il vertice.

Possiamo calcolare l'altezza del triangolo equilatero, che coincide con la mediana:

$h=6+$________$=9$.

Dall'altezza possiamo calcolare la lunghezza del lato del triangolo equilatero:

${\displaystyle h=\frac{l}{2}\sqrt{3}\to l=\frac{2h}{\sqrt{3}}=\frac{2\cdot 9}{\sqrt{3}}=}$________.

Le coordinate dei punti $B$ e $C$ allora sono:

• $B{\displaystyle (\frac{6\sqrt{3}}{2};6-9;0)=}$$(3\sqrt{3};$________; $0)$;

• $C($________${\displaystyle \frac{6\sqrt{3}}{2};6-9;0)=}$$(-3\sqrt{3};-3;0)$.

Scriviamo l'equazione della retta passante per i punti $A$ e $V$:

$\{\begin{array}{l}10y+3z=60\\ x=0\end{array}.$

L'equazione della retta passante per i punti $B$ e $V$ è:

${\displaystyle \frac{x-0}{3\sqrt{3}-0}=}$________$={\displaystyle \frac{z-20}{0-20}}$$\to$

L'equazione della retta passante per i punti $C$ e $V$ è:

________$={\displaystyle \frac{y-0}{-3-0}=\frac{z-20}{0-20}\to }$