Fai il punto sui fondamentali - Definizione di derivata, Operazioni con le derivate #370468

Derivata del quoziente

Associa ogni funzione alla sua derivata.

a.

y = \frac{1}{x + 1}

________
b.

y = \frac{x}{x + 1}

________
c.

y = \frac{x + 1}{x^{2}}

________
d.

y = \frac{x - 1}{x + 1}

________

Posizionamento

Significato geometrico di derivata

Scrivi la derivata della funzione nei punti

A

e

B

, considerando il suo significato geometrico.

La derivata di una funzione in un punto rappresenta il coefficiente angolare della retta ________ in quel punto. Dal grafico ricaviamo che il punto

A

ha coordinate ________.
La derivata in

A

è:

f^{'} (2) =

\frac{- 2 - 0}{4 - 2}

=

________
La derivata in

B

è:

f^{'} (6) =

________

= 2

.

Completamento chiuso

Derivata della somma

Indica se le seguenti implicazioni sono vere o false.

A:

y = 4 - 3^{x} \to y^{'} = 4 - 3^{x} \ln 3

B:

y = \frac{x^{3} - 4 x}{2 x} \to y^{'} = x

C:

y = \sin x + \ln \frac{1}{x} \to y^{'} = \cos x + x

D:

y = 1 - 2 \sqrt{x} \to y^{'} = - \frac{1}{\sqrt{x}}

Vero o falso

Derivate fondamentali

Associa a ogni funzione la sua derivata.
a.

y = 7 x

________
b.

y = x^{7}

________
c.

y = 7^{x}

________
d.

y = \log_{7} x

________

Posizionamento

Derivabilità e continuità

Considera una funzione

f (x)

definita in

[2; + \infty [

.
Solo una fra le seguenti affermazioni è vera. Quale?

A:

Poiché

5

appartiene al dominio di

f (x)

, la funzione è derivabile in

x = 5

.

B:

Se

f_{-}^{'} (10)

e

f_{+}^{'} (10)

\in R

, allora

f (x)

è continua e derivabile in

x = 10

.

C:

Se

f (x)

non è continua in

x = \sqrt{7}

, è possibile che

f (x)

sia derivabile in

x = \sqrt{7}

.

D:

Se

f_{-}^{'} (8)

,

f_{+}^{'} (8)

\in R

e

f_{-}^{'} (8) = f_{+}^{'} (8)

, allora

f (x)

è continua in

x = 8

.

Scelta multipla

Derivata del prodotto

Indica se le seguenti implicazioni sono vere o false.

A:

y = (x - 1) \ln x \to y^{'} = 1 \cdot \frac{1}{x}

B:

y = \sqrt[3]{x} e^{x} \to y^{'} = \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}} \cdot e^{x}

C:

y = 2 x \cos x \to y^{'} = 2 \cos x - 2 x \sin x

D:

y = x^{2} (1 - e^{x}) \to y^{'} = x (2 - 2 e^{x} - x e^{x})

Vero o falso

Definizione di derivata

Quale delle seguenti scritture rappresenta la derivata di

f (x)

nel punto

c

?

A:

lim_{h \to 0} \frac{f (c) - f (h)}{h}

B:

lim_{h \to 0} \frac{f (c + h) - f (h)}{h}

C:

lim_{h \to 0} \frac{f (c + h) - f (c)}{h}

D:

lim_{h \to 0} \frac{f (c + h) - f (c)}{c}

Scelta multipla

Rapporto incrementale

Determina il rapporto incrementale della funzione

y = x^{2} - 5 x

nel punto generico

c

del dominio, per un incremento

h

generico diverso da

0

.

________

Completamento chiuso

Derivata di una funzione composta

Solo una delle seguenti implicazioni è vera. Quale?

A:

y = \sin (3 x^{2}) \to

y^{'} = 6 x \cdot \sin 3 x^{2} + \cos 3 x^{2}

B:

= \sqrt{1 + e^{x}} \to

y^{'} = \frac{1 + e^{x}}{2 \sqrt{1 + e^{x}}}

C:

y = \ln^{3} x \to

y^{'} = \frac{3}{x}

D:

y = (x^{2} + 2)^{3} \to

y^{'} = 6 x (x^{2} + 2)^{2}

Scelta multipla

Derivate di ordine superiore al primo

La relazione

f^{(4)} (x) = f (x)

è verificata da tutte le seguenti funzioni tranne una. Quale?

A:

f (x) = \sin x

B:

f (x) = \cos 2 x

C:

f (x) = \cos x

D:

f (x) = e^{x}

Scelta multipla