FIPon01bluTconiche - Equazione generale e definizione mediante l'eccentricità #574999

Associa a ogni coppia di coordinate, espresse in funzione del parametro reale

k

, l'equazione cartesiana del luogo geometrico corrispondente.

P (3 k; - k^{2} + 2 k)

________

P (\frac{1 + k}{k}; 3 - k)

________

P (\sqrt{k}; \frac{k}{2})

________

P (\sqrt{4 k}; \sqrt{1 - k})

________

Posizionamento

L'equazione

k x^{2} + (2 k + 1) y^{2} + 3 x - y + 1 = 0

rappresenta una delle seguenti coniche al variare di

k \in R

. Associa a ciascuna conica i valori di

k

corrispondenti.

Iperbole ________
Parabola ________
Ellisse ________
Circonferenza ________

Posizionamento

Determina il luogo geometrico dei punti

P

tali che il rapporto fra la distanza dal punto

F (- 4; \frac{1}{10})

e la distanza dalla retta

d

di equazione

x = - \frac{41}{10}

è uguale a

1

.

A:

x^{2} + 8 x + y^{2} - \frac{1}{5} y - \frac{4}{5} = 0

B:

x = 5 y^{2} - y - 4

C:

x = - \frac{5}{81} y^{2} + \frac{1}{81} y + \frac{4}{81}

D:

y = 5 x^{2} - x - 4

Scelta multipla

Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false.

A:

Due rette incidenti possono rappresentare un'iperbole degenere.

B:

Un'ellisse può degenerare in un punto.

C:

Una circonferenza non può essere degenere se la sua equazione soddisfa la condizione di realtà.

D:

Un'iperbole può degenerare in una coppia di rette parallele.

Vero o falso

Stabilisci se le seguenti affermazione sono vere o false.

A:

Il luogo descritto dai vertici delle parabole del fascio di equazione

y = x^{2} + (2 k - 1) x + 1

è

y = - x^{2} - 1

.

B:

Il luogo descritto dai centri delle circonferenze del fascio di equazione

k x^{2} + k y^{2} - 5 k x - 2 y + 1 = 0

è una retta.

C:

I fuochi delle parabole del fascio di equazione

y = 5 x^{2} - k x + 1

descrivono una parabola di equazione

y = - 5 x^{2} + 1

.

D:

I centri delle funzioni omografiche rappresentate dall'equazione

y = \frac{m x + 1}{3 - (m + 1) x}

descrivono una parabola al variare di

m

.

Vero o falso

Studia la conica di equazione $x^{2} + 2 y^{2} + 2 x - 20 y + 47 = 0$ , determinando il centro, i fuochi, gli eventuali asintoti e le direttrici.

I coefficienti dei termini di secondo grado sono ________ $(A \cdot C = 2 > 0)$ , con $A \neq C$ , pertanto l'equazione rappresenta una ________.

Applichiamo il metodo del completamento del quadrato:

$(x^{2} + 2 x + 1 - 1) + 2 (y^{2} - 10 y + 25 -$ ________ $) + 47 = 0 \to$

$(x + 1)^{2} - 1 + 2 (y - 5)^{2} - 50 + 47 = 0 \to$

$\frac{(x + 1)^{2}}{4} + \frac{(y - 5)^{2}}{2} = 1$ .

Il centro è $C$ ________, i semiassi $a$ e $b$ , la semidistanza focale $c$ e l'eccentricità $e$ sono rispettivamente:

$a =$ ________, $b = \sqrt{2}$ ,

$c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} =$ ________, $e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Si tratta quindi di un'ellisse traslata con fuochi sull'asse $x$ .

Troviamo i fuochi:

$F_{1}$ : ${\begin{cases} \end{cases}$	$x_{1} = - 1 - \sqrt{2}$	,
	$y_{1} =$ ________

$F_{2}$ : ${\begin{cases} x_{2} = - 1 + \sqrt{2} \\ y_{2} = 5 \end{cases} .$

Troviamo le direttrici, tenendo conto che sono parallele all'asse $y$ , di equazione $x = x_{0} \pm \frac{a^{2}}{c}$ , dove $x_{0}$ è l'ascissa del centro:

$d_{1}$ : $x =$ ________ $-$ ________ $\to$

$x = - 1 - 2 \sqrt{2}$ ,

$d_{2}$ : $x = - 1 + 2 \sqrt{2}$ .

Rappresentiamo la conica in figura.

Completamento chiuso

Il grafico dell'equazione:

a.

y = \sqrt{3 x - x^{2}}

è un arco di ________.
b.

x = \sqrt{2 y^{2} + 4}

è un arco di ________.
c.

y = \sqrt{8 - 4 x^{2}}

è un arco di ________.
d.

x = - \sqrt{x - y - 3}

è un arco di ________.

Completamento chiuso

In quale dei seguenti valori di

k \in R

l'equazione

(2 k + 8) x^{2} + (k - 1) y^{2} + 2 x + k y + 7 = 0

rappresenta un'iperbole equilatera?

A:

- 4 < k < 1

B:

k < - 4 \lor k > 1

C:

k = - 9

D:

k = - \frac{7}{3}

Scelta multipla