FIPon01bluTconiche - Equazione generale e definizione mediante l'eccentricità

Studia la conica di equazione $x^2+2y^2+2x-20y+47=0$, determinando il centro, i fuochi, gli eventuali asintoti e le direttrici.

I coefficienti dei termini di secondo grado sono ________$(A\cdot C=2>0)$, con $A\ne C$, pertanto l'equazione rappresenta una ________.

Applichiamo il metodo del completamento del quadrato:

$(x^2+2x+1-1)+2(y^2-10y+25-$________$)+47=0\to$

$(x+1{)}^2-1+2(y-5{)}^2-50+47=0\to$

${\displaystyle \frac{(x+1{)}^2}{4}+\frac{(y-5{)}^2}{2}=1}$.

Il centro è $C$________, i semiassi$a$ e $b$, la semidistanza focale$c$ e l'eccentricità$e$ sono rispettivamente:

$a=$________, $b=\sqrt{2}$,

$c=\sqrt{a^2-b^2}=$________, $e={\displaystyle \frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}$.

Si tratta quindi di un'ellisse traslata con fuochi sull'asse $x$.

Troviamo i fuochi:

$F_2$: $\{\begin{array}{c}{x}_2=-1+\sqrt{2}\\ y_2=5\end{array}.$

Troviamo le direttrici, tenendo conto che sono parallele all'asse $y$, di equazione $x={\displaystyle x_0\pm \frac{a^2}{c}}$, dove $x_0$ è l'ascissa del centro:

$d_1$: $x=$________$-$________$\to$

$x=-1-2\sqrt{2}$,

$d_2$: $x=-1+2\sqrt{2}$.

Rappresentiamo la conica in figura.