Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica.verde biennio (3ª edizione) Matematica.verde biennio (3ª edizione) / Volume 1 Fai il punto sulle competenze - I problemi di secondo grado

FIP02bbtverde18 - I problemi di secondo grado

10 esercizi

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Matematica

In un numero di due cifre, la cifra delle unità supera di

5

quella delle decine e la somma dei quadrati delle cifre è uguale al precedente del doppio del numero stesso. Qual è il numero?

Sia

x

la cifra delle unità;

x

________

5

quella delle decine.
Il numero cercato è quindi

10 (x

________

5) + x =

________

x

________

50

.
Scriviamo

x^{2}

________

(x

________

5)^{2} =

2 (11 x

________

50)

________

1

.
Semplifichiamo e risolviamo:

x^{2} + x^{2}

________

10 x + 25 = 22 x -

________

x^{2} - 16 x + 63 = 0

(x

________

9) (x

________

7) = 0

x = 9 \lor x = 7

.
Se la cifra delle unità è

9

, quella delle decine è ________.
Se invece è

7

, quella delle decine è ________.
I numeri cercati sono quindi due,

49

27

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Matematica

Un terreno, del valore iniziale di

24 000

€, viene scontato di una percentuale

x

per ogni anno in cui rimane invenduto. Dopo due anni, il suo prezzo è sceso a

18 585, 60

€. Quanto vale

x

, la percentuale?

x

è la percentuale di sconto; ________ è la percentuale che corrisponde al valore scontato.
Scriviamo quindi

24 000

(

________

)^{2}

= 18 585, 6

.
Semplifichiamo e risolviamo:

24 000 (1 - 2 x + x^{2}) = 18 585, 6

24 000 x^{2} - 48 000 x

________

5414, 4 = 0

;
dividiamo tutto per

\frac{192}{5}

625 x^{2} - 1250 x

________

141 = 0

\frac{Δ}{4} = 390 625

________

88 125 = 302 500 \to

x_{1, 2} = \frac{625 \pm 550}{625}

x_{1} = 625, 88 x_{2} = 0, 12

Dal contesto ________ quindi l'unico valore accettabile è ________, cioè il ________.

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Matematica

In un rombo la diagonale maggiore è $\frac{1}{16}$ del perimetro, quella minore è $\frac{1}{5}$ del suo lato. La differenza fra i quadrati delle diagonali è equivalente al quadrato che ha per lato la diagonale minore diminuita di $1$ . Sapendo che il lato del rombo è maggiore di $3$ cm, determina la sua lunghezza.

Siano rispettivamente $d_{M}$ e $d_{m}$ le lunghezze in cm della diagonale maggiore e minore e sia $l$ la lunghezza del lato del rombo.
Sappiamo che $d_{M} = \frac{1}{16} \cdot p$ , cioè
$d_{M} = \frac{1}{16} \cdot$ ________ $=$ ________ $l$ e $d_{m} = \frac{1}{5} l$ .

Impostiamo quindi l'equazione risolvente:

$d_{M}^{2}$ ________ $d_{m}^{2}$ $=$ $(d_{m}$ ________ $1)^{2}$ .

Scriviamo l'equazione con unica variabile $l$ :

$($ ________ $l$ $)^{2}$ ________ ${(\frac{1}{5} l)}^{2} =$

$(\frac{1}{5} l$ ________ $1)^{2}$ $\to$

$\frac{1}{16} l^{2}$ ________ $\frac{1}{25} l^{2} =$

$\frac{1}{25} l^{2}$ ________ $\frac{2}{5} l$ ________ $1$ .

Moltiplichiamo per $400$ entrambi i membri:

________ $l^{2}$ $-$ ________ $l^{2}$ $=$

________ $l^{2} - 160 l + 400 \to$

$7 l^{2} - 160 l + 400 = 0$ .

Risolviamo l'equazione trovata.

Calcoliamo

$\frac{Δ}{4} = 6400$ ________ $2800 = 3600$ e quindi:

$l_{1, 2} = \frac{80 \pm 60}{7} =$	$╱$	$20$	.
	$╲$	$\frac{20}{7}$

La soluzione accettabile è ________ cm poichè il lato del rombo è ________ di $3$ cm.

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Matematica

Una cisterna di forma cilindrica proietta su una parete verticale un'ombra di area

200

m². Il raggio di base della cisterna è

\frac{1}{4}

della sua altezza. Se i raggi della sorgente luminosa incidono sulla parete in modo perpendicolare, qual è il volume della cisterna?

Siano

r

il raggio di base e

h

l'altezza della cisterna.
L'ombra ha forma ________ con base

2 r

e altezza

h

.
Sappiamo che

r =

________

h

quindi

2 r =

________

h

.
Quindi l'area è

200 =

________

h

\cdot h

cioè

200 =

________.
Troviamo così

h =

________ m e

r =

________ m.
Infine il volume della cisterna è

V = π \cdot

________

\cdot

________

=

________ m³.

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Matematica

Alice e Riccardo portano a un concorso di violino due diverse sonate di Bach. Entrambi hanno a disposizione una sala prove per due ore. Riccardo le sfrutta per intero, mentre Alice lascia libera la sala

12

minuti prima. Sapendo che Alice ha provato il suo brano due volte in meno di Riccardo e che Alice impiega

3

minuti in più di Riccardo per eseguire il suo brano, quante volte hanno provato i due violinisti?

Sia

x

il numero di volte che Riccardo esegue il suo brano. Alice quindi esegue il proprio

x

________

2

volte.
Consideriamo l'unità di misura del tempo in minuti.
Per un brano Riccardo impiega ________ minuti mentre Alice ________

+ 3

minuti.
Alice utilizza in tutto ________ minuti, scriviamo quindi

(x

________

2)

(\frac{120}{x} + 3) =

________.
Semplifichiamo e risolviamo:

120 - \frac{240}{x} + 3 x - 6 = 108

3 x

________

6 - \frac{240}{x} = 0

;
mettiamo tutto a denominatore comune con C.E.

x \neq 0

e semplifichiamolo,

3 x^{2}

________

6 x - 240 = 0

;
dividiamo tutto per

3

x^{2}

________

2 x - 80 = 0

(x +

________

) (x -

________

) = 0

x =

________

\lor x =

________.
Nel contesto

x \in N

x

________

0

quindi

x =

________ non è accettabile.
Concludiamo che Riccardo ha provato ________ volte il suo brano e Alice ________.

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Matematica

In un trapezio isoscele la base minore è congruente ai lati obliqui. La base maggiore è pari al doppio della base minore e la sua area misura

48 \sqrt{3}

. Determina la misura della base maggiore.

Indichiamo con

l

i lati obliqui e la base minore. Quindi la base maggiore è

2 l

.

Il triangolo rettangolo con ipotenusa il lato obliquo

l

e come cateti l'altezza del trapezio e la metà della ________ tra le due basi è ________ triangolo equilatero.
Infatti, uno dei due cateti è

\frac{2 l - l}{2} =

________.
Quindi l'altro cateto, cioè l'altezza del trapezio, è ________.
Scriviamo così un'equazione in

l

utilizzando la formula dell'area del trapezio e risolviamo:

48 \sqrt{3} = \frac{1}{2} (2 l

________

l) \cdot

________

\to

48 \sqrt{3} = \frac{3 \sqrt{3} l^{2}}{4}

\to

l^{2} =

________

\to

l =

________.
Solo

l =

________ è accettabile, quindi la base maggiore è ________.

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Matematica

Un gruppo di amici partecipa a una visita guidata a un museo di storia naturale del costo di

14

€ a testa. Il museo offre a ognuno di loro uno sconto in euro pari al numero degli amici. La spesa totale è di

45

€.
Sapendo che lo sconto non supera il

50 %

del costo della visita, quanti sono gli amici?

Sia

x

il numero di partecipanti alla visita.
La quota pagata da ciascuno è ________ €.
Scriviamo quindi

x (

________

) = 45

e risolviamo:

14 x - x^{2} = 45

x^{2}

________

14 x

________

45 = 0

(x

________

9) (x - 5) = 0

x =

________

\lor x = 5.

Lo sconto non supera il

50 %

del costo, cioè non supera ________ €, quindi è di

5

€.
Gli amici dunque sono in

5

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Matematica

Un parallelepipedo rettangolo ha per base un rettangolo in cui una dimensione supera l'altra di

8

cm. L'altezza è lunga

28

cm. Sapendo che il volume è

6720

cm³, trova l'area della superficie totale.

Siano

a

a

________

8

le due dimensioni della base del parallelepipedo.
Scriviamo un'equazione in

a

utilizzando la formula del volume del parallelepipedo:

6720 = 28 a (a

________

8) \to

28 a^{2}

________

224 a

________

6720 = 0 \to

a^{2}

________

8 a

________

240 = 0

.
E risolviamo:

(a

________

12) (a

________

20) = 0 \to

a =

________

\lor

a =

________.
Solo

a = 12

è accettabile quindi le due dimensioni di base sono

12

cm e

20

cm.
Troviamo infine l'area della superficie totale:

A =

2 (12 \cdot

________

+ 12 \cdot

________

+ 20 \cdot

________

) =

2272

cm².

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Matematica

In una frazione il numeratore supera di

3

il denominatore e la somma tra il suo reciproco e il suo doppio è

\frac{57}{14}

. Determina la frazione.

Sia

x

il numeratore e

x

________

3

il denominatore.
Scriviamo

\frac{x - 3}{x}

________

\frac{2 x}{x - 3} = \frac{57}{14} .

Le C.E. sono

x \in

________ con

x \neq 0 \land x \neq 3

.
Semplifichiamo e risolviamo:

\frac{14 (x - 3)^{2} + 28 x^{2}}{14 x (x - 3)} = \frac{57 x (x - 3)}{14 x (x - 3)};

semplifichiamo il denominatore,

14 x^{2} -

________

+ 126 + 28 x^{2} =

57 x^{2} -

________

15 x^{2} - 87 x - 126 = 0

;
dividiamo tutto per

5

,
________

x^{2} -

________

x - 42 = 0

Δ = 841

________

840 = 1681

x_{1, 2} = \frac{29 \pm 41}{10}

x_{1} = 7 x_{2} = - \frac{6}{5}

Per le condizioni di esistenza accettiamo ________, quindi la frazione cercata è ________.

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Matematica

In un triangolo rettangolo di perimetro

120

cm, un cateto supera l'altro di

10

cm. Determina la lunghezza dell'ipotenusa.

Sia

x

il cateto più ________ e

x + 10

quello più ________.
L'ipotenusa dunque è

120 - x - (x + 10) = 100

________

2 x

da cui

x

________

55

.
Utilizziamo il teorema di Pitagora e scriviamo

x^{2}

________

(x + 10)^{2} = (110

________

2 x)^{2}

.
Semplifichiamo e risolviamo:

x^{2} + x^{2} + 20 x +

________

=

12100 - 440 x + 4 x^{2}

2 x^{2}

________

460 x + 12000 = 0

dividiamo tutto per

2

x^{2}

________

230 x + 6000 = 0

(x -

________

) (x -

________

) = 0

x =

________

\lor x =

________.
Per le condizioni di esistenza

x =

________ è l'unica soluzione accettabile, quindi l'ipotenusa misura ________ cm.

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