Tipo di esercizi
Completamento chiuso
Libro
Matematica.blu biennio (3ª edizione) / Volume 1
Capitolo
Fai il punto sulle competenze - La probabilità della somma logica di eventi
INFO

Matematica

Tutti i 28 dipendenti di una piccola start-up usano un mezzo di trasporto per andare in ufficio: 14 utilizzano la macchina, 8 la bicicletta, 3 l'autobus e 3 il motorino.
Scelto a caso un indipendente, qual è la probabilità che utilizza un mezzo a due ruote?

I mezzi a due ruote utlizzati sono la bicicletta e il motorino. La probabilità che, scelto a caso un dipendente, egli usi un mezzo a due ruote è:
________=________.
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Calcola la probabilità che lanciando un dado a 20 facce (numerate da 1 a 20) esca un numero multiplo di 4 o di 5.

Elenchiamo tutti i multipli di 4 o di 5:
4,5,8,________,12,________.
La probabilità che esca un multiplo di 4 o 5 è:
________.
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Un gioco a premi consiste nel centrare uno dei cinque bersagli disponibili di dimensione decrescente, numerati da 1 a 5.
La probabilità di centrare il bersaglio numero 1 è 12 e la probabilità di centrare il bersaglio successivo dimezza di volta in volta.
a.   Qual è la probabilità di mancare ogni bersaglio?
b.   Alcuni bersagli sono di colore rosso. Sapendo che la probabilità di centrare un bersaglio rosso è 316, quali sono i bersagli rossi?

a.   Le probabilità di centrare i bersagli numerati da 1 a 5 sono, rispettivamente:
12,14,________,116,________.
La probabilità di mancare ogni bersaglio è:
1(12+14+18+116+132)=132.

b.   La probabilità di colpire un bersaglio rosso è 316. Esprimiamo le probabilità di colpire i bersagli in sedicesimi, dal bersaglio 1 al bersaglio 5:
816,416,216,116,12,116.
Dobbiamo trovare i bersagli la cui somma di probabilità è quella cercata, cioè:
316=116+________.
I bersagli rossi sono ________.
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Estrai un gettone da un'urna che ne contiene 20 numerati da 1 a 20. Calcola la probabilità dell'evento E= «il numero sia pari o multiplo di 3 o di 5».

Elenchiamo tutti i numeri tra 1 e 20 che non sono pari e non sono multipli di 3 o 5:
________.
I rimanenti numeri soddisfano le proprietà richieste, quindi la probabilità di E è:
p(E)=________.
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Un sacchetto contiene 70 bottoni: alcuni sono quadrati, gli altri sono tondi; alcuni sono bianchi, gli altri sono neri. Estrai casualmente un bottone. Sai che la probabilità di estrarre un bottone tondo è 23 della probabilità di estrarre un bottone quadrato. Inoltre, la probabilità di estrarre un tondo o nero è 67.
a.   Se i bottoni neri e tondi sono 7, qual è il numero di bottoni neri nel sacchetto?
b.   Quanti sono i bottoni quadrati o bianchi?

a.   Indichiamo con T il numero di bottoni tondi, con Q il numero di bottoni quadrati, con B il numero di bottoni bianchi e con N il numero di bottoni neri. Sappiamo che T+Q=B+N=70. Poiché la probabilità di estrarre un bottone tondo è 23 della probabilità di estrarre un bottone quadrato possiamo scrivere:
________.
Ricaviamo che:
7052=28;
7053=________.
Sappiamo anche che p(TN)=67. Possiamo applicare il teorema della somma logica di eventi:
p(TN)=p(T)+p(N)p(TN).
Sapendo che i bottoni neri e tondi sono 7, l'equazione diventa:
67=2870+p(N)________.
Quindi:
p(N)=67410+110=________.
Ricaviamo il numero di bottoni neri e bianchi:
N=39;
B=70N=________.

b.   Sappiamo che i bottoni tondi e neri sono 7. I rimanenti bottoni sono quadrati o bianchi. Il numero cercato è:
________.
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Due quadrati di lato 4 sono contenuti in cerchio di raggio 7, come in figura. Scegliendo a caso un punto all'interno del cerchio, la probabilità che il punto cada in uno solo dei due quadrati è 37π. Quanto vale l'area della regione gialla?


Chiamiamo A la parte di cerchio data dal primo quadrato meno il secondo, B la parte di cerchio data dal secondo quadrato meno il primo e C la parte in comune ai due quadrati. La probabilità che il punto appartenga a uno solo  dei due quadrati è data dal rapporto fra l'area dell'unione di A e B, e l'area del cerchio:
________=37π
L'area del cerchio è data da πr2=49π, quindi:
Area(AB)=________=21.
Detti Q1 l'evento «il punto appartiene al primo quadrato» e Q2 l'evento «il punto appartiene al secondo quadrato» abbiamo che:
p(Q1)=p(Q2)=Area(quadrato)Area(cerchio)=1649π;
inoltre, per il teorema della somma logica di eventi ________:
p(Q1Q2)=
p(Q1)+p(Q2)________p(Q1Q2).
Osserviamo che:
p(ABC)=
p(AB)+p(C)=37π+p(C).
Dato che sia ABC e Q1Q2 che C e Q1________Q2 coincidono, abbiamo:
p(ABC)=p(Q1Q2) e
p(Q1________Q2).
Sostituendo nella formula trovata in precedenza abbiamo:
p(Q1Q2)=37π+p(Q1________Q2)
p(Q1Q2)=p(Q1Q2)37π
Quindi:
p(Q1Q2)=
p(Q1)+p(Q2)________p(Q1Q2)
p(Q1Q2)=
1649π+1649π________p(Q1Q2)+37π
2p(Q1Q2)=5349πp(Q1Q2)=5398π.
Per trovare l'area totale dei due quadrati utilizziamo la stessa formula usata in precedenza:
Area(Q1Q2)Area(cerchio)=5398π
Area(Q1Q2)=5349π98π=26,5.

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