FIP02bbtblu22 - La probabilità della somma logica di eventi

Tutti i $28$ dipendenti di una piccola start-up usano un mezzo di trasporto per andare in ufficio: $14$ utilizzano la macchina, $8$ la bicicletta, $3$ l'autobus e $3$ il motorino.
Scelto a caso un indipendente, qual è la probabilità che utilizza un mezzo a due ruote?

I mezzi a due ruote utlizzati sono la bicicletta e il motorino. La probabilità che, scelto a caso un dipendente, egli usi un mezzo a due ruote è:
________$=$________.

Calcola la probabilità che lanciando un dado a $20$ facce (numerate da $1$ a $20$) esca un numero multiplo di $4$ o di $5$.

Elenchiamo tutti i multipli di $4$ o di $5$:
$4,5,8,$________$,12,$________.
La probabilità che esca un multiplo di $4$ o $5$ è:
________.

Un gioco a premi consiste nel centrare uno dei cinque bersagli disponibili di dimensione decrescente, numerati da $1$ a $5$.
La probabilità di centrare il bersaglio numero $1$ è ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ e la probabilità di centrare il bersaglio successivo dimezza di volta in volta.
a.   Qual è la probabilità di mancare ogni bersaglio?
b.   Alcuni bersagli sono di colore rosso. Sapendo che la probabilità di centrare un bersaglio rosso è ${\displaystyle \frac{3}{16}}$, quali sono i bersagli rossi?

a.   Le probabilità di centrare i bersagli numerati da $1$ a $5$ sono, rispettivamente:
${\displaystyle \frac{1}{2},\frac{1}{4},}$________$,{\displaystyle \frac{1}{16},}$________.
La probabilità di mancare ogni bersaglio è:
${\displaystyle 1-(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32})=\frac{1}{32}.}$

b.   La probabilità di colpire un bersaglio rosso è ${\displaystyle \frac{3}{16}}$. Esprimiamo le probabilità di colpire i bersagli in sedicesimi, dal bersaglio $1$ al bersaglio $5$:
${\displaystyle \frac{8}{16},\frac{4}{16},\frac{2}{16},\frac{1}{16},\frac{1}{2},\frac{1}{16}.}$
Dobbiamo trovare i bersagli la cui somma di probabilità è quella cercata, cioè:
${\displaystyle \frac{3}{16}=\frac{1}{16}+}$________.
I bersagli rossi sono ________.

Estrai un gettone da un'urna che ne contiene $20$ numerati da $1$ a $20$. Calcola la probabilità dell'evento $E=$ «il numero sia pari o multiplo di $3$ o di $5$».

Elenchiamo tutti i numeri tra $1$ e $20$ che non sono pari e non sono multipli di $3$ o $5$:
________.
I rimanenti numeri soddisfano le proprietà richieste, quindi la probabilità di $E$ è:
$p(E)=$________.

Un sacchetto contiene 70 bottoni: alcuni sono quadrati, gli altri sono tondi; alcuni sono bianchi, gli altri sono neri. Estrai casualmente un bottone. Sai che la probabilità di estrarre un bottone tondo è ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ della probabilità di estrarre un bottone quadrato. Inoltre, la probabilità di estrarre un tondo o nero è ${\displaystyle \frac{6}{7}}$.
a.   Se i bottoni neri e tondi sono $7$, qual è il numero di bottoni neri nel sacchetto?
b.   Quanti sono i bottoni quadrati o bianchi?

a.   Indichiamo con $T$ il numero di bottoni tondi, con $Q$ il numero di bottoni quadrati, con $B$ il numero di bottoni bianchi e con $N$ il numero di bottoni neri. Sappiamo che $T+Q=B+N=70$. Poiché la probabilità di estrarre un bottone tondo è ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ della probabilità di estrarre un bottone quadrato possiamo scrivere:
________.
Ricaviamo che:
${\displaystyle \frac{70}{5}\cdot 2=28}$;
${\displaystyle \frac{70}{5}\cdot 3=}$________.
Sappiamo anche che $p(T\cup N)={\displaystyle \frac{6}{7}}$. Possiamo applicare il teorema della somma logica di eventi:
$p(T\cup N)=p(T)+p(N)-p(T\cap N)$.
Sapendo che i bottoni neri e tondi sono $7$, l'equazione diventa:
${\displaystyle \frac{6}{7}=\frac{28}{70}+p(N)-}$________.
Quindi:
${\displaystyle p(N)=\frac{6}{7}-\frac{4}{10}+\frac{1}{10}=}$________.
Ricaviamo il numero di bottoni neri e bianchi:
$N=39$;
$B=70-N=$________.

b.   Sappiamo che i bottoni tondi e neri sono $7$. I rimanenti bottoni sono quadrati o bianchi. Il numero cercato è:
________.

Due quadrati di lato $4$ sono contenuti in cerchio di raggio $7$, come in figura. Scegliendo a caso un punto all'interno del cerchio, la probabilità che il punto cada in uno solo dei due quadrati è ${\displaystyle \frac{3}{7\pi }}$. Quanto vale l'area della regione gialla?


Chiamiamo $A$ la parte di cerchio data dal primo quadrato meno il secondo, $B$ la parte di cerchio data dal secondo quadrato meno il primo e $C$ la parte in comune ai due quadrati. La probabilità che il punto appartenga a uno solo  dei due quadrati è data dal rapporto fra l'area dell'unione di $A$ e $B$, e l'area del cerchio:
________$={\displaystyle \frac{3}{7\pi }}$
L'area del cerchio è data da $\pi r^2=49\pi$, quindi:
$\text{Area}(A\cup B)=$________$=21.$
Detti $Q_1$ l'evento «il punto appartiene al primo quadrato» e $Q_2$ l'evento «il punto appartiene al secondo quadrato» abbiamo che:
${\displaystyle p(Q_1)=p(Q_2)=\frac{\text{Area(quadrato)}}{\text{Area(cerchio)}}=\frac{16}{49\pi };}$
inoltre, per il teorema della somma logica di eventi ________:
$p(Q_1\cup Q_2)=$
$p(Q_1)+p(Q_2)$________$p(Q_1\cap Q_2)$.
Osserviamo che:
$p(A\cup B\cup C)=$
$p(A\cup B)+p(C)={\displaystyle \frac{3}{7\pi }+p(C).}$
Dato che sia $A\cup B\cup C$ e $Q_1\cup Q_2$ che $C$ e $Q_1$________$Q_2$ coincidono, abbiamo:
$p(A\cup B\cup C)=p(Q_1\cup Q_2)$ e
$p(Q_1$________$Q_2)$.
Sostituendo nella formula trovata in precedenza abbiamo:
$p(Q_1\cup Q_2)={\displaystyle \frac{3}{7\pi }+p(Q_1}$________$Q_2)\to$
${\displaystyle p(Q_1\cap Q_2)=p(Q_1\cup Q_2)-\frac{3}{7\pi }}$
Quindi:
$p(Q_1\cup Q_2)=$
$p(Q_1)+p(Q_2)$________$p(Q_1\cap Q_2)\to$
${\displaystyle p(Q_1\cup Q_2)=}$
${\displaystyle \frac{16}{49\pi }+\frac{16}{49\pi }}$________$p(Q_1\cup Q_2)+{\displaystyle \frac{3}{7\pi }\to }$
$2p(Q_1\cup Q_2)={\displaystyle \frac{53}{49\pi }\to p(Q_1\cup Q_2)=\frac{53}{98\pi }.}$
Per trovare l'area totale dei due quadrati utilizziamo la stessa formula usata in precedenza:
${\displaystyle \frac{\text{Area}(Q_1\cup Q_2)}{\text{Area(cerchio)}}=\frac{53}{98\pi }\to }$
$\text{Area}(Q_1\cup Q_2)={\displaystyle \frac{53\cdot 49\pi }{98\pi }=26,5.}$