Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Frazioni algebriche Operazioni tra frazioni algebriche Moltiplicazione di frazioni algebriche

FIP02BBblu09 - Operazioni con le frazioni algebriche

10 esercizi

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Matematica

Semplifica la seguente espressione.

$(\frac{1}{y^{2} + y} - \frac{1}{y^{2} - y - 2} - \frac{1}{y^{2} + 2 y + 1}) \cdot \frac{y^{3} + 2 y^{2} + y}{2 + y^{2}}$

$(\frac{1}{y^{2} + y} - \frac{1}{y^{2} - y - 2} - \frac{1}{y^{2} + 2 y + 1}) \cdot \frac{y^{3} + 2 y^{2} + y}{2 + y^{2}} =$

dopo alcuni passaggi algebrici...

$y^{2}$ ________ $y - 2 - y^{2} - y - y^{2} + 2 y$	$\cdot$ ________ $=$
$(y - 2)$

$\frac{- 2 - y^{2}}{y - 2} \cdot \frac{1}{2 + y^{2}} =$ ________ $\frac{1}{y - 2}$ .

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Matematica

Semplifica la seguente espressione.

${[{(\frac{3}{a + 5} + a + 1)}^{- 1} : (\frac{2 a}{a + 2} - \frac{2}{2 a + 1})]}^{2} \cdot$

${(\frac{16 a + 64}{2 a^{2} + 11 a + 5})}^{2}$

${[{(\frac{3}{a + 5} + a + 1)}^{- 1} : (\frac{2 a}{a + 2} - \frac{2}{2 a + 1})]}^{2} \cdot$

${(\frac{16 a + 64}{2 a^{2} + 11 a + 5})}^{2} =$

${{[\frac{3 + (a + 1) (a + 5)}{a + 5}]}^{- 1} : [\frac{2 a (2 a + 1) - 2 (a + 2)}{(a + 2) (2 a + 1)}]}^{2} \cdot$

$\cdot [$	$16 (a + 4)$	$]^{2} =$
	$(a + 5) ($ ________ $)$

Dopo alcuni passaggi algebrici:

${$	$a + 5$	$\cdot [\frac{(a + 2) (2 a + 1)}{4 a^{2} - 4}]}^{2} \cdot$
	$(a +$ ________ $) (a + 4)$

$\frac{16^{2} (a + 4)^{2}}{(a + 5)^{2} (2 a + 1)^{2}} =$

$\frac{(a + 5)^{2} (2 a + 1)^{2}}{16 (a + 4)^{2} (a^{2} - 1)^{2}} \cdot \frac{16^{2} (a + 4)^{2}}{(a + 5)^{2} (2 a + 1)^{2}} =$ ________

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Matematica

Semplifica la seguente espressione.

${[\frac{(x^{2} - y^{2})^{n}}{(x - y)^{2}}]}^{- 1} \cdot {(\frac{1}{x} + \frac{1}{y})}^{n} : x^{- n}$ , con $n \in N$ .

${[\frac{(x^{2} - y^{2})^{n}}{(x - y)^{2}}]}^{- 1} \cdot {(\frac{1}{x} + \frac{1}{y})}^{n} : x^{- n}$ $=$

$[$	$(x - y)^{n} (x$ ________ $y)^{n}$	$]^{- 1}$ $\cdot$
	$(x - y)^{n}$

${(\frac{y + x}{x y})}^{n} \cdot$ ________ $=$

$1$	$\cdot \frac{(y + x)^{n}}{x^{n} y^{n}} \cdot x^{n} = \frac{1}{y^{n}}$
$(x$ ________ $y)^{n}$

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Matematica

Considera le frazioni algebriche

A = \frac{a^{2} - 4}{a^{2} + a - 2}

B = \frac{a^{2} - a}{a - 2}

.

a. Trova le C.E. e indica quali valori di

a

si annullano.

A

ha C.E. ________ e si annulla per

a = 2

o ________;

B

ha C.E. ________ e si annulla per ________.

b. Trova il loro prodotto e per quali valori esso si annulla.
Il prodotto delle due frazioni è ________ e si annulla per ________.

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Matematica

Considera i polinomi $A (x) = 1 - x$ e $B (x) = x^{2} + 2 x$ . Determina le C.E. di:

$\frac{A (x) + B (x)}{A (2)} : \frac{1 - A (x^{2})}{B (x + 1)}$ .

Sostituiamo le espressioni dei polinomi in

$\frac{A (x) + B (x)}{A (2)} : \frac{1 - A (x^{2})}{B (x + 1)}$ .

Semplifichiamo:

$\frac{(1 - x) + (x^{2} + 2 x)}{- 1} :$	$1 - ($ ________ $)$	$=$
	$(x + 1)^{2} + 2 (x + 1)$

$- (1 + x^{2} + x) :$	$x^{2}$	.
	$(x + 1) (x +$ ________ $)$

C.E.: $x \neq$ ________ $\land x \neq - 1 \land x \neq - 3$ .

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Matematica

Osserva la sequenza:

1 - \frac{1}{2}, \frac{1}{2} - \frac{1}{3}, \frac{1}{3} - \frac{1}{4}, \dots

a. Scrivi altri tre elementi e il termine generale sotto forma di unica frazione.
b. Calcola il valore del diciannovesimo termine.

a.

1 - \frac{1}{2}, \frac{1}{2} - \frac{1}{3}, \frac{1}{3} - \frac{1}{4},

\frac{1}{4} -

________, ________

- \frac{1}{6}

\frac{1}{6} - \frac{1}{7}, \dots

Il termine generale quindi è:

\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} =

________.

b.
Per

n = 19

\to

________

= \frac{1}{380}

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Matematica

Determina le condizioni di esistenza e semplifica l'espressione che ottieni traducendo in simboli la frase seguente.
«Dividi il quadrato del rapporto fra il numero reale

a

e la differenza fra

a

1

per il rapporto fra

a

e la differenza fra il quadrato di

a

1

.»
Calcola poi, quando è possibile, il valore che assume se

a = 1

a = \frac{1}{2}

a = 0

a = - 1

a = - 2

.

Traduciamo in simboli la frase:

{(\frac{a}{a - 1})}^{2} :

________

=

\frac{a^{2}}{(a - 1)^{2}} \cdot \frac{(a - 1) (a + 1)}{a} = \frac{a (a + 1)}{a - 1}

.

Determiniamo le condizioni di esistenza.
C.E. ________.

Calcoliamo i valori quando è possibile:
•

a = 1 \to

impossibile,
•

a = \frac{1}{2} \to

________,
•

a = 0 \to

impossibile,
•

a = - 1 \to

________,
•

a = - 2 \to - \frac{2}{3}

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Matematica

Nella figura, $A B$ misura $2 a + 2$ ed $E F$ misura $a + 1$ . $F A$ è congruente a $D E$ e l'area del poligono è $3 a^{2} - 3$ . Trova la misura del lato $F A$ in funzione di $a$ , con $a > 1$ .

$F A = \frac{1}{3} \cdot$	$3 a^{2} - 3$	$=$
	________

$\frac{1}{3} \cdot$	$3 (a + 1) (a$ ________ $1)$	$= a - 1$ .
	$a + 1$

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Matematica

Elena e Giorgio confezionano le bomboniere per il loro matrimonio. Elena impiega

x

minuti a confezionare ogni bomboniera, mentre a Giorgio, che è più veloce, occorrono due minuti in meno. Quante bomboniere riescono a confezionare, in totale, lavorando per tre ore e mezza?

3

ore e mezza

=

210

minuti.

x =

minuti che impiega Elena per confezionare una bomboniera.

x - 2 =

minuti che impiega Giorgio per confezionare una bomboniera.

Il numero di bomboniere confezionate è:

\frac{210}{x} +

________

=

\frac{210 (x - 2) + 210 x}{x (x - 2)} =

________.

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Matematica

Nimah, appassionata di tecnologia, aspetta il periodo dei saldi per comprare una tastiera laser. La tastiera, che inizialmente costava

p

€, ora costa

q

€. Grazie alla sua carta fedeltà, Nimah ha diritto a un ulteriore sconto e, alla fine, paga

r

€.
a. Calcola la differenza tra la seconda e la prima percentuale di sconto e verifica che equivale a:

(\frac{q}{p} - \frac{r}{q}) \cdot 100 %

.
b. Calcola la somma delle due percentuali di sconto e dimostra che non coincide con la percentuale di sconto totale.

Prima percentuale di sconto:

\frac{p - q}{p} \cdot 100 %

.
Seconda percentuale di sconto:
________

\cdot 100 %

.

a.

\frac{q - r}{q} - \frac{p - q}{p} =

(\frac{q}{p} -

________

) \cdot 100 %

.
b.

\frac{p - q}{p} + \frac{q - r}{q} = \frac{p q - q^{2} + p q - p r}{p q} =

________

\neq \frac{p - r}{p}

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