Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica multimediale.blu (3ª ed.) Volume 1 Fondamentali alla prova - Trasformazioni geometriche

FAPBBbluG8 - Trasformazioni geometriche e isometrie

7 esercizi

SVOLGI

INFO

Rotazione

Dati il punto

P

e la rotazione

r

di centro

O

e angolo di rotazione

γ

, acuto, siano

P^{'}

il trasformato di

P

mediante

r

P^{″}

il trasformato di

P^{'}

mediante

r

. Siano inoltre

M

il punto medio di

P P^{'}

N

il punto medio di

P^{'} P^{″}

. Dimostra che il triangolo

M O N

è isoscele.

Disegniamo la figura e scriviamo ipotesi e tesi.

Ipotesi

O P ≅ O P^{'} ≅ O P^{″}

;

P \hat{O} P^{'} ≅ P^{'} \hat{O} P^{″}

.
Tesi

O M ≅ O N

.

I triangoli

P O P^{'}

P^{'} O P^{″}

sono ________ per ipotesi.
Le mediane

O M

O N

sono ________ a

P P^{'}

P^{'} P^{″}

rispettivamente per le proprietà dei triangoli isosceli.

O M

O N

sono quindi ________ rispettivamente di

P O P^{'}

P^{'} O P^{″}

.
Consideriamo ancora i triangoli

P O P^{'}

P^{'} O P^{″}

. Essi hanno:
•

P \hat{O} P^{'} ≅ P^{'} \hat{O} P^{″}

per ipotesi;
•

O P ≅ O P^{'} ≅ O P^{″}

per ipotesi;
quindi

P O P^{'} ≅ P^{'} O P^{″}

per il ________ criterio di congruenza dei triangoli.
In particolare quindi

O M ≅ O N

Completamento chiuso

Traslazione

Dato il triangolo di vertici

A (1; - 2)

B (1; 1)

C (- 1; 2)

, determina i vertici del triangolo traslato mediante la traslazione

t^{″} = t \circ t^{'}

, dove

t

è la traslazione di vettore

\vec{v} (2; 1)

t^{'}

è la traslazione di vettore

\vec{v^{'}} (0; 2)

.

Troviamo il vettore ________

\vec{v}

________

\vec{v^{'}}

=

(2;

________

)

= \vec{v^{″}}

.

Le equazioni della trasformazione

t^{″}

sono quindi
________.
Troviamo quindi i vertici del triangolo trasformato:

A (1; - 2) \to A^{'} (

________; ________

)

;

B (1; 1) \to B^{'} (

________;________

)

;

C (- 1; 2) \to C^{'} (

________;________

)

Completamento chiuso

Rotazione

Determina l'equazione della retta

r

, sapendo che viene trasformata dalla rotazione con centro nell'origine e angolo di rotazione

+ 90^{\circ}

nella retta di equazione

x + 2 y - 2 = 0

.

Le equazioni della rotazione sono ________.
Consideriamo una retta generica

a x + b y + c = 0

e applichiamo le sostituzioni

{\begin{cases} y = - x^{'} \\ x = y^{'} \end{cases}

:
________

a y^{'}

________

b x^{'} + c = 0

.
Confrontiamo i coefficienti con la retta

x + 2 y - 2 = 0

e otteniamo

a =

________

2

b =

________

1

c = - 2

.
La retta cercata è quindi

2 x

________

y - 2 = 0

Completamento chiuso

Simmetria assiale

Tra le rette passanti per

P (- 2; 3)

considera la retta

r

di coefficiente angolare

- 1

. Determina l'equazione di

r^{'}

, simmetrica di

r

rispetto all'asse

x

.

Troviamo il termine noto

q

dell'equazione della retta

r

:
________

= - 1 \cdot (

________

)

+ q

\to

q = 1 \to r : y = - x + 1

.
Applichiamo quindi la simmetria ________:
________

y^{'} = - x^{'}

________

1

\to

r^{'} : y = x - 1

Completamento chiuso

Trasformazioni geometriche e isometrie

Vero o falso?

Ogni traslazione di vettore non nullo trasforma ogni retta del piano in una retta parallela e distinta.

Esiste una rotazione che trasforma una retta del piano in una retta parallela e distinta.

Non esiste una simmetria assiale che trasforma una retta del piano in una retta parallela e distinta.

Ogni simmetria centrale trasforma una retta del piano in una retta parallela e distinta.

Vero o falso

Omotetia

In ogni riquadro la figura

A^{'}

è la corrispondente della figura

A

nell'omotetia di centro

O

.
Stabilisci se l'omotetia è diretta o inversa e determina il rapporto

k

di omotetia.

a.
Ciascun punto e il suo trasformato stanno sulla stessa semiretta di origine

O

, pertanto l'omotetia è ________.
Il rapporto di omotetia è

k =

________

= 2

.

b.
Ciascun punto e il suo trasformato stanno sulla stessa semiretta di origine

O

, pertanto l'omotetia è ________.
Il rapporto di omotetia è

k =

________.

c.
Ciascun punto e il suo trasformato stanno su due semirette opposte di origine

O

, pertanto l'omotetia è ________.
Il rapporto di omotetia è

k =

________.

Completamento chiuso

Simmetria centrale

Siano $r$ la retta di equazione $x + y + 3 = 0$ e $r^{'}$ la sua corrispondente nella simmetria con centro $P (2; - 1)$ . Verifica che $r^{'}$ passa per il punto $A (- \frac{1}{2}; \frac{11}{2})$ .

La simmetria centrale di centro $P (2; - 1)$ ha equazioni:

${\begin{cases} \end{cases}$	$x^{'} = 2 \cdot$ ________ $- x$	$\to$
	$y^{'} =$ $2 \cdot$ ________ $- y$

${\begin{cases} x^{'} = 4 - x \\ y^{'} = - 2 - y \end{cases} .$

Quindi, esplicitando $x$ e $y$ :

${\begin{cases} x^{'} = 4 - x \\ y^{'} = - 2 - y \end{cases} .$

Troviamo l'equazione di $r^{'}$ :

$4 - x^{'} +$ ________ $+ 3 = 0$

$- x^{'} - y^{'} + 5 = 0$ .

Verifichiamo che $r^{'}$ passa per $A (- \frac{1}{2}; \frac{11}{2})$ :

________ $- \frac{11}{2} + 5 = 0$

$\frac{1}{2} - \frac{11}{2} + 5 = 0 \to 0 = 0.$

L'uguaglianza ottenuta è vera pertanto $r^{'}$ passa per il punto $A$ .

Completamento chiuso