Complementi di algebra #94716 - Prove ed esercizi Zanichelli

Per quale valore reale di k le seguenti equazioni sono equivalenti?

x⁴ = k
3x³ - 24 = 0

A: Per k = 2.

B: Per k = - 16.

C: Per nessun valore di k.

D: Per k = 8.

E: Per k = 16.

Scelta multipla

Date le equazioni:
x³ = 5x
2x⁶ + 128 = 0
x⁴ - 25 = 0
possiamo dire che...

A: la terza equazione ha quattro radici reali.

B: la seconda equazione ha due radici reali opposte.

C: la prima equazione ha tre radici reali, due delle quali sono opposte.

D: la prima e la terza equazione sono equivalenti.

E: sono tutte e tre binomie.

Scelta multipla

Data l'equazione:

x⁶ - 6x³ - 16 = 0.

Quale fra le seguenti affermazioni è vera?

A: Ha due radici reali discordi.

B: Si risolve usando il raccoglimento a fattor parziale.

C: È biquadratica.

D: Si risolve ponendo x² = z.

E: Ha sei radici reali distinte.

Scelta multipla

Quale delle seguenti equazioni è reciproca?

A: 4x³ - 4x² - 3x + 3 = 0

B: 2x³ - x² - x - 2 = 0

C: x³ + 3x² - 3x + 1 = 0

D: x³ - 5x² + 5x - 1 = 0

E: 5x³ + 2x² + 5x + 2 = 0.

Scelta multipla

Abbina a ciascuna equazione la descrizione appropriata.

x³ - 2x² - 2x + 1 = 0 ________
x⁵ - 9 = 0 ________
x⁸ + 2x⁴ - 3 = 0 ________

Posizionamento

Quale tipo di scomposizione in fattori applicheresti per risolvere l'equazione seguente?

x³ + 7x² - 21x - 27 = 0

A: Regola del cubo di binomio.

B: Regola del quadrato di trinomio.

C: Raccoglimento a fattor comune.

D: Regola di Ruffini.

E: Raccoglimento a fattor parziale.

Scelta multipla

Quali sono le condizioni di esistenza dell'equazione?

\sqrt{x - 2} = \frac{1}{\sqrt{3 - x}}

A:

2 \leq x < 3

B:

x < 3

C:

x > 0

D:

x \geq 2

E:

x \leq 2 \lor x > 3

Scelta multipla

L'equazione

x³ + ax² - x - a = 0

è di ________ grado nella variabile x ed è equivalente all'equazione

(x + ________)(x - ________)(x + ________) = 0.

Per esempio, se a = ________ , x = 3 è una sua radice.

Completamento aperto

Fra le seguenti affermazioni relative all'equazione

\sqrt{x} + \sqrt{x - 1} = \sqrt{3 x - 2}

qual è l'unica vera?

A: L'equazione data è equivalente all'equazione

\sqrt{x + x - 1} = \sqrt{3 x - 2}

B: Elevando ambo i membri al quadrato, si ottiene l'equazione

x + x - 1 = 3 x - 2

.

C: Eliminati tutti i radicali, si ottiene un'equazione di secondo grado le cui soluzioni sono

x = 1

e

x = - 1

.

D: Le condizioni di esistenza sono:

x \geq 0

.

E: Eliminati tutti i radicali, si ottiene un'equazione di secondo grado.

Scelta multipla

Una delle seguenti equazioni ammette come soluzioni +2, -2, +3, -3. Quale?

A: 4x⁴ - 9x² = 0

B: x⁴ + 13x² + 36 = 0

C: (x² + 4)(x² + 9) = 0

D: x⁴ - 13x² + 36 = 0.

E: (x + 2)(x - 2)(x² + 9) = 0

Scelta multipla

Solo uno dei seguenti sistemi è di secondo grado sia nelle incognite

x

e

y

che nelle incognite

a

e

b

. Quale?

A:

{\begin{aligned} a b = x^{2} - y^{2} \\ a + b = x y \end{aligned}

B:

{\begin{aligned} x^{2} + y^{2} = (a^{2} + b^{2})^{2} \\ x + a = y + b \end{aligned}

C:

{\begin{aligned} x y + a = b \\ x + 2 a = y \end{aligned}

D:

{\begin{aligned} x - a = y - b \\ x y = a^{2} - b^{2} \end{aligned}

E:

{\begin{aligned} a^{2} + b^{2} - x = y \\ a + b = 2 x \end{aligned}

Scelta multipla

Quale dei seguenti sistemi è la traduzione del problema:

"Determina due numeri interi consecutivi, sapendo che il doppio della somma dei loro quadrati è 122"?

A:

{\begin{aligned} x + y = 1 \\ x^{2} + y^{2} = 244 \end{aligned}

B:

{\begin{aligned} x + y = 1 \\ 2 (x^{2} + y^{2}) = 122 \end{aligned}

C:

{\begin{aligned} x + y = 1 \\ 2 (x + y)^{2} = 122 \end{aligned}

D:

{\begin{aligned} x - y = 1 \\ 2 (x^{2} + y^{2}) = 122 \end{aligned}

E:

{\begin{aligned} x - y = 1 \\ 2 (x + y)^{2} = 122 \end{aligned}

Scelta multipla

Se l'equazione ausiliaria di un'equazione biquadratica ha soluzioni discordi, allora la biquadratica:

A: ammette 4 soluzioni reali opposte a due a due.

B: non ammette soluzioni reali.

C: ammette 2 soluzioni reali opposte.

D: ammette 4 soluzioni reali positive.

E: ammette 4 soluzioni reali negative.

Scelta multipla

Considera il sistema ________ costituito dalle due equazioni

$y = \frac{3}{x}$ $2 y = 7 - 2 x$

I coefficienti dell'equazione risolvente associata al sistema

az² + bz + c = 0

sono:

a = ________.
b = ________.
c = ________.

Completamento chiuso

{\begin{aligned} x^{2} + y^{2} = 5 \\ x + y = - 3 \end{aligned}

Trova il sistema equivalente a quello dato.

A:

{\begin{aligned} (x + y)^{2} = 5 \\ x + y = - 3 \end{aligned}

B:

{\begin{aligned} x y = 2 \\ x + y = - 3 \end{aligned}

C:

{\begin{aligned} x^{2} + (x - 3)^{2} = 5 \\ x + y = - 3 \end{aligned}

D:

{\begin{aligned} (x + y)^{2} + 2 x y = 5 \\ x + y = - 3 \end{aligned}

E:

{\begin{aligned} (x + y) (x - y) = 5 \\ x + y = - 3 \end{aligned}

Scelta multipla

Una delle seguenti affermazioni è vera. Quale?
Il numero delle soluzioni di un'equazione binomia di grado n è:

A: 1 se n è dispari.

B: n soluzioni distinte.

C: 1 se n è pari.

D: 2 se n è dispari.

E: 2 se n è pari.

Scelta multipla

Per risolvere l´equazione trinomia

36 x^{4} - 25 x^{8} + 1 = 0

, utilizando l´incognita ausiliaria

z

, poniamo:

A:

z = x^{4}

B:

x^{2} = z^{4}

C:

x = z^{4}

D:

z = x^{8}

E:

x = z^{8}

Scelta multipla

Delle equazioni reciproche

4x³ - 5x² - 5x + 4 = 0
4x³ - 5x² + 5x - 4 = 0

possiamo dire che:

A: sono equivalenti.

B: entrambe ammettono la soluzione -1.

C: entrambe ammettono le soluzioni -1 e +1.

D: la prima ammette soluzione -1, la seconda +1.

E: entrambe ammettono la soluzione +1.

Scelta multipla

Data l'equazione

\sqrt{5 - x} = 2 x

, soltanto una delle seguenti equivalenze è vera. Quale?

A:

5 - x = 4 x^{2}

equivale soltanto a

\sqrt{5 - x} = - 2 x

B:

5 - x = 4 x^{2}

equivale soltanto a

\sqrt{5 - x} = 2 x

C:

5 - x = 4 x^{2}

equivale a

\sqrt{5 - x} = 2 x \lor \sqrt{5 - x} = - 2 x

D:

\sqrt{5 - x} = - 2 x

equivale a

5 - x = 4 x^{2}

E:

\sqrt{5 - x} = 2 x

equivale a

5 - x = 4 x^{2}

Scelta multipla

Quale dei seguenti sistemi è simmetrico di secondo grado?

A:

{\begin{aligned} 7 x - 7 y = 5 & x^{2} + y^{2} = 22 \end{aligned}

B:

{\begin{aligned} x^{2} + y^{2} = 5 & 3 x = 4 - 3 y \end{aligned}

C:

{\begin{aligned} 4 x y = 5 & x^{2} + y^{2} = 7 \end{aligned}

D:

{\begin{aligned} 2 x + 2 y = - 5 & x + y = 5 \end{aligned}

E:

{\begin{aligned} x + y = 12 & x^{2} - y^{2} = 24 \end{aligned}

Scelta multipla

Per risolvere l'equazione

\sqrt{x^{2} - 3} = \sqrt[3]{3 - 4 x^{2}}

bisogna elevare entrambi i membri:

A: solo alla terza.

B: solo alla quinta.

C: solo alla sesta.

D: solo alla seconda.

E: solo all´ottava.

Scelta multipla

Le soluzioni dell'equazione

\sqrt{4 - x} + \sqrt{x - 2} = 2

possono appartenere soltanto ad uno dei seguenti insiemi. Quale?

A:

2 < x < 3

B:

x > 4 \lor x < 2

C:

2 < x < 4

D:

x < 2

E:

0 < x < 4

Scelta multipla

x^{2} - 7 x + 10 = 0

è l´equazione risolvente di uno dei seguenti sistemi simmetrici. Quale?

A:

{\begin{aligned} x + y = 7 & x y = 10 \end{aligned}

B:

{\begin{aligned} x + y = - 10 & x y = - 7 \end{aligned}

C:

{\begin{aligned} x + y = 7 & x y = - 10 \end{aligned}

D:

{\begin{aligned} x + y = - 7 & x y = 10 \end{aligned}

E:

{\begin{aligned} x + y = 10 & x y = - 7 \end{aligned}

Scelta multipla

Solo una delle seguenti proposizioni è falsa. Quale?

L'equazione

a x^{4} + b x^{2} = 0

...

A: ha quattro soluzioni reali se

a > 0

e

b < 0

.

B: ha sempre due soluzioni reali coincidenti.

C: non ammette alcuna soluzione reale se

a > 0

e

b > 0

.

D: ha, al massimo, quattro soluzioni reali.

E: ha quattro soluzioni reali se

a b < 0

.

Scelta multipla

Sono dati i seguenti sistemi:

{\begin{aligned} x^{2} + 3 y^{2} = - 3 & x + y = 2 \end{aligned}

{\begin{aligned} x^{2} + y^{2} = - 13 & x - y = 2 \end{aligned}

Possiamo dire che:

A: solo il primo è simmetrico.

B: entrambi sono simmetrici di secondo grado.

C: solo il secondo è simmetrico.

D: nessuno dei due è simmetrico e solo il secondo ammette soluzioni reali.

E: entrambi non ammettono soluzioni reali.

Scelta multipla

Quale delle seguenti affermazioni è falsa, se riferita all´equazione ax⁴ + bx² + c = 0?

A: Se b² - 4ac

<

0, non ammette soluzioni reali.

B: è un'equazione trinomia.

C: Può ammettere quattro soluzioni reali.

D: Se b²-4ac

\geq

0, ammette sempre quattro soluzioni reali.

E: Può ammettere due sole soluzioni reali.

Scelta multipla

L'equazione A(x) = B(x) è equivalente all'equazione [A(x)]ⁿ = [B(x)]ⁿ...

A: per nessun valore di n.

B: se n è pari.

C: se n è negativo.

D: se n è positivo.

E: se n è dispari.

Scelta multipla

Il sistema

{\begin{aligned} x = - 2 y \\ x^{2} = 27 + y^{2} \end{aligned}

risolve uno dei seguenti problemi. Quale?

"Determina due numeri sapendo che...

A: la somma dei loro quadrati è 27 e il loro prodotto è -2".

B: la differenza dei loro quadrati è 27 e uno è il doppio dell'altro".

C: sono opposti e la somma dei loro quadrati è 27".

D: la somma dei loro quadrati è 27 e il loro quoziente è -2".

E: la differenza dei loro quadrati è 27 e il loro quoziente è -2".

Scelta multipla

In quale caso l'equazione x³ = a ammette soluzioni?

A: Solo per a

\geq

0.

B: Per nessun valore di a.

C: Per ogni valore di a.

D: Solo per a = 0.

E: Solo per a

<

0.

Scelta multipla

Quale tra le seguenti affermazioni è corretta?

A: Un'equazione reciproca di quarto grado ammette sempre, fra le sue soluzioni, +1 e -1.

B: Un'equazione reciproca di terzo grado ammette sempre, fra le sue soluzioni, +1 e -1.

C: Un'equazione reciproca di quarto grado ammette sempre quattro soluzioni.

D: Un'equazione reciproca di quarto grado non ammette mai la soluzione nulla.

E: Se x = a è soluzione di un'equazione reciproca, anche x = -a è soluzione.

Scelta multipla

L'equazione irrazionale

\sqrt[3]{x^{3} - 4} = 1 - x

è equivalente a:

A:

{\begin{aligned} 1 - x \geq 0 \\ x^{3} - 4 = (1 - x)^{2} \end{aligned}

B:

x^{3} - 4 = (1 - x)^{3}

C:

x^{3} - 4 = 1 - x^{3}

D:

{\begin{aligned} x^{3} - 4 \geq 0 \\ x^{3} - 4 = (1 - x)^{3} \end{aligned}

E:

{\begin{aligned} 1 - x \geq 0 \\ x^{3} - 4 = (1 - x)^{3} \end{aligned}

Scelta multipla

L'equazione

\sqrt{x} = - x

ha come soluzione:

A: 0.

B: 0, -1.

C: 1.

D: 0, 1.

E: 1, -1.

Scelta multipla

Solo una fra le seguenti equazioni irrazionali non è impossibile. Quale?

A:

\sqrt{x^{2} - 2} = x - 3

B:

\sqrt{2 x^{2} - 3} = 4

C:

\sqrt{- 2 x^{2} - 3} = 4

D:

\sqrt{3 + x} + \sqrt{2 x + 1} = 0

E:

2 \sqrt[5]{x^{4}} = - 3

Scelta multipla

L'equazione irrazionale

\sqrt{x^{2} - 5 x + 6} - x = 1

si risolve considerando il sistema:

A:

{\begin{aligned} x^{2} - 5 x + 6 - x > 0 \\ x^{2} - 5 x + 6 - x = 1 \end{aligned}

B:

{\begin{aligned} x^{2} - 5 x + 6 \geq 0 \\ x^{2} - 5 x + 6 = (x + 1)^{2} \end{aligned}

C:

{\begin{aligned} 1 - x > 0 \\ x^{2} - 5 x + 6 = (x + 1)^{2} \end{aligned}

D:

{\begin{aligned} x + 1 \geq 0 \\ x^{2} - 5 x + 6 = (x + 1)^{2} \end{aligned}

E:

{\begin{aligned} x + 1 \geq 0 \\ x^{2} - 5 x + 6 - x = 1 \end{aligned}

Scelta multipla

Quale delle seguenti affermazioni relative all'equazione

x^{3} - \sqrt{2} = 0

è vera?

A: È equivalente all'equazione

x^{6} = 2

.

B: L'insieme soluzione è

S = {\sqrt[6]{2}}

.

C: Ha tre radici reali.

D:

\sqrt[3]{2}

è una sua radice.

E: Non ha radici reali.

Scelta multipla

L'equazione irrazionale

\sqrt{x - 2} = \sqrt{2 - x}

A: ha la sola soluzione x = 2.

B: non ha soluzioni.

C: ha la sola soluzione x = 0.

D: ha infinite soluzioni.

E: ha la sola soluzione x = 4.

Scelta multipla

L'equazione

x⁴ - 7x² + 12 = 0

è ________.

Posto x² = z, le radici dell'equazione nella variabile z sono ________ e ________. Pertanto l'equazione di partenza ha ________ radici reali.

Completamento chiuso

L'equazione

\sqrt[4]{x^{2} + 9} = \sqrt{x^{2} + 1}

è equivalente a un'equazione...

A: risolvibile solo con la regola di Ruffini.

B: trinomia di ottavo grado.

C: biquadratica.

D: di sesto grado.

E: priva di termine noto.

Scelta multipla

Per quale valore reale di a l'equazione è reciproca?

4x³ + (a - 5)x² + (2a - 1)x - 4 = 0

A: Per a = 2

B: Per a = - 4

C: Per a = - 2

D: Per a = 4

E: Per nessun valore di a.

Scelta multipla

Senza eseguire sostituzioni, quale potrebbe essere una radice della seguente equazione?

x³ - 105x² + 50x = 96

A: - 10

B: 7

C: 23

D: 25

E: 16

Scelta multipla

Considera le seguenti equazioni e scegli l'affermazione corretta.

\sqrt{x} = x

\sqrt[3]{x} = x

\sqrt[4]{x} = x

A: In tutti e tre i casi, dopo aver eliminato i radicali si ottengono equazioni binomie.

B: La terza equazione ha quattro soluzioni reali.

C: La prima e la terza equazione hanno le stesse soluzioni reali.

D: x = - 1 non è soluzione della secondia equazione.

E: La condizione di esistenza per le tre equazioni è:
x

\geq

0.

Scelta multipla

Quale dei seguenti sistemi è la traduzione del problema:

"Determina il perimetro di un triangolo rettangolo, sapendo che un cateto misura 12 cm e che la differenza fra il doppio dell'altro cateto e l'ipotenusa misura 3 cm".

A:

{\begin{aligned} a^{2} - b^{2} = 144 \\ 2 b - a = 3 \end{aligned}

con

a

= ipotenusa e

b

= cateto

B:

{\begin{aligned} z^{2} = t^{2} + 144 \\ 2 z - t = 3 \end{aligned}

con

z

= ipotenusa e

t

= cateto

C:

{\begin{aligned} x + 12 = y \\ 2 x - y = 3 \end{aligned}

con

x

= cateto e

y

= ipotenusa

D:

{\begin{aligned} (x + 12)^{2} = y^{2} \\ 2 y - x = 3 \end{aligned}

con

x

= cateto e

b

= ipotenusa

E:

{\begin{aligned} x^{2} + 144 = y^{2} \\ 2 y - x = 3 \end{aligned}

con

x

= ipotenusa e

y

= cateto

Scelta multipla

Associa a ciascuna equazione il metodo per risolverla nel modo più veloce.
x³ + 3x² - 2x - 6 = 0 ________
x⁴ - x³ - 2x - 4 = 0 ________
2x⁴ - 3x² + 1 = 0 ________

Posizionamento

Abbina a ciascun sistema la sua equazione risolvente.
A ________
B ________
C ________

Posizionamento

Per quali valori di

a

e

b

il sistema è simmetrico?

{\begin{aligned} (a - 1) x + 4 = 2 y \\ x^{2} = (b - 3) y^{2} + 5 \end{aligned}

A:

a = 3 \land b = 4

B:

a = - 1 \land b = 4

C:

a = 5 \land b = 2

D:

a = 1 \land b = 3

E:

a = - 1 \land b = 2

Scelta multipla